Công thức tính tích phân cơ bản đầy đủ, chi tiết nhất – Toán 12

Công thức tính tích phân cơ bản đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

1. Lý thuyết

a) Định nghĩa:

Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a;b]; Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [ a;b]. Hiệu số F(b)-F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a;b] của hàm số f(x), kí hiệu là $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx.$

Ta dùng kí hiệu ${\left.F\left(x\right)\right|}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)$ để chỉ hiệu số F(b)-F(a).

Vậy $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx={\left.F\left(x\right)\right|}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ hay $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(t\right)dt.$ Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.

- Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là: $S={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$

b) Tính chất của tích phân

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

a) $I=\underset{2}{\overset{5}{\int }}\frac{dx}{x}$

b) $I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x^2+x-3\right)dx$

c) $I=\underset{-2}{\overset{0}{\int }}\left(4-e^{-x/2}\right)dx$

d) $I=\underset{0}{\overset{3\pi }{\int }}\sin xdx$

Lời giải

Ví dụ 2:

a) $\text{I}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{{(1+x)}^3}$

b) $\text{I}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x}{x+1}dx$

c) $I=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\frac{x^2+4x-1}{x+3}dx$

Lời giải