Công thức nguyên hàm lượng giác. Cách tìm nguyên hàm lượng giác (chính xác nhất)

Công thức nguyên hàm hàm lượng giác chi tiết nhất - Toán lớp 12

I. Bảng công thức nguyên hàm của hàm số lượng giác

Một số biến đổi lượng giác cơ bản:

Công thức hạ bậc hai

Ví dụ 1:

a) $I=\int \sin 2xdx$

b) $I=\int \cos \left(3x+\frac{\pi }{6}\right)dx$

c) $I=\int \sin 3x.\cos x.dx$

Lời giải

Ví dụ 2:

a) $I=\int {\cos }^2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)dx$

b) $\int {\left(1+\sin x\right)}^{2}dx$

c) $I=\int \left(e^{2x+1}-2^{5x+3}\right)dx$

Lời giải

II. Các dạng bài tập và phương pháp giải

1. Dạng $\int {\sin }^{m}x.{\cos }^{n}xdx$ trong đó m, n là các số tự nhiên

Trường hợp 1: Trong hai số m, n có ít nhất một số lẻ.

Trường hợp 2: Cả hai số m, n đều là số chẵn: Ta sử dụng công thức hạ bậc để giảm một nửa số mũ của , để làm bài toán trở nên đơn giản hơn.

2. Dạng $\int \sin ax.\cos bxdx$;

$\int \sin ax.\sin bxdx$; $\int \cos ax.\cos bxdx$;

$\int \cos ax.\sin bxdx$.

Ta sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng trong lượng giác.

3. Dạng $\int \frac{{\tan }^{m}x}{{\cos }^{n}x}dx$ trong đó m, n là các số nguyên

4. Đổi biến số với hàm lượng giác

Khi nguyên hàm, tích phân của các hàm số mà biểu thức của nó có chứa các dạng $\sqrt{x^2+a^2},\sqrt{x^2-a^2},\sqrt{a^2-x^2}$, thì ta có cách biến đổi lượng giác như sau:

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Nguyên hàm của hàm số y = 4.cos(-2x) + 4sin(-4x) có dạng F(x) = a.sin2x + b.cos4x. Tính a + b?

A. –1.

B. 3.

C. 2.

D. -2.

Lời giải:

Ta có nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Chọn B.

Câu 2: Tìm nguyên hàm của hàm số:

Lời giải:

Ta có:

Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Chọn B.

Câu 3: Tìm nguyên hàm của hàm số sau:

Lời giải:

Ta có:

⇒ Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Chọn A.

Câu 4: Tìm nguyên hàm của hàm số y = tan⁸x.dx

Lời giải:

Ta có nguyên hàm của hàm số đã cho là:

∫tan⁸x dx = ∫[tan⁶x.(1 + tan²x) - tan⁴(1 + tan²x) + tan²x.(1 + tan²x) - (1 + tan²x) + 1]dx

= ∫(tan⁶x - tan⁴x + tan² - 1)dtanx + ∫dx.

Chọn D.

Câu 5.

A.$\int e^{x}dx=e^x+C$

B.$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C\left(0<a\ne 1\right)$

C.$\int \cos xdx=\sin x+C$

D.$\int \sin xdx=\cos x+C$

Câu 6.

A.$\frac{\sin 6x}{12}+\frac{\sin 8x}{16}$

B.$-\frac{\sin 6x}{12}+\frac{\sin 8x}{16}$

C.$\frac{\sin 6x}{12}-\frac{\sin 8x}{16}$

D.$-\left.\frac{\sin 6x}{12}+\frac{\sin 8x}{16}\right]$

Câu 7.$\int \frac{1}{{\sin }^{2}x.{\cos }^{2}x}dx$bằng:

A.$2\tan 2x+C$

B.-4$\cot 2x+C$

C.4$\cot 2x+C$

D.2$\cot 2x+C$

Câu 8.$\int {\left(\sin 2x-c\text{os}2x\right)}^{2}dx$bằng:

A.$\frac{{\left(\sin 2x-c\text{os}2x\right)}^3}{3}+C$

B.${\left(-\frac{1}{2}c\text{os}2x+\frac{1}{2}\sin 2x\right)}^2+C$

C.$x-\frac{1}{2}\sin 2x+C$

D.$x+\frac{1}{4}c\text{os}4x+C$

Câu 9.$\int c{\text{os}}^2\frac{2x}{3}dx$bằng:

A.$\frac{3}{2}c{\text{os}}^4\frac{2x}{3}+C$

B.$\frac{1}{2}c{\text{os}}^4\frac{2x}{3}+C$

C.$\frac{x}{2}+\frac{3}{8}\text{sin}\frac{4x}{3}+C$

D.$\frac{x}{2}-\frac{4}{3}c\text{os}\frac{4x}{3}+C$