Phương trình mặt cầu (lý thuyết và cách giải các dạng bài tập)

Phương trình mặt cầu (lý thuyết và cách giải các dạng bài tập)

I. Lý thuyết Phương trình mặt cầu

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I (a; b; c) và bán kính R có phương trình là

$\left(S\right):{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2+{\left(z-c\right)}^2=R^2$(1).

Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng

$\left(S\right):x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0$ (2) với $d=a^2+b^2+c^2-R^2$

Từ đó ta có phương trình (2) với điều kiện $a^2+b^2+c^2-d>0$ là phương trình mặt cầu tâm I (-a; -b; -c) có bán kính là $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$

Đặc biệt nếu mặt cầu (S) có $\begin{array}{l}\text{tâm }O\left(0;0;0\right)\\ \text{bán kính }R\end{array}$ thì phương trình mặt cầu (S) là

$\left(S\right):x^2+y^2+z^2=R^2$

II. Các dạng bài tập và cách viết phương trình mặt cầu

Dạng 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu – Điều kiện để (S) là một mặt cầu

Phương pháp giải:

Xét phương trình :

$\left(S\right):{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2+{\left(z-c\right)}^2=R^2$

Khi đó mặt cầu có tâm I (a; b; c), bán kính R

+) Xét phương trình :

$\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$

Khi đó mặt cầu có:

$\begin{array}{l}\text{tâm }I\left(a;b;c\right)\\ \text{bán kính }R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}\end{array}$

Điều kiện để (S) là phương trình mặt cầu là $a^2+b^2+c^2-d>0$

+) Đặc biệt: $\left(S\right):x^2+y^2+z^2=R^2$, suy ra (S) có $\begin{array}{l}\text{tâm }O\left(0;0;0\right)\\ \text{bán kính }R\end{array}$

Ví dụ 1:

A. I (-1; 2; 1) và R = 3

B. I (1; -2; -1) và R = 3

C. I (-1; 2; 1) và R = 9

D. I (1; -2; -1) và R = 9

Hướng dẫn giải

Dựa vào phương trình mặt cầu $\left(S\right):{\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=9$, ta có tâm $I(-1;2;1)$ và $R=\sqrt{9}=3$.

Chọn A.

Ví dụ 2:

A. Tâm I (-1; 2; -3) và bán kính R = 4

B. Tâm I (1; -2; 3) và bán kính R = 4

C. Tâm I (-1; 2; 3) và bán kính R = 4

D. Tâm I (1; -2; 3) và bán kính R = 16.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ví dụ 3: Cho phương trình $\left(S\right):x^2+y^2+z^2+2\left(3-m\right)x-2\left(m+1\right)y-2mz+2m^2+7=0$. Tìm tất cả giá trị của m để (S) là một phương trình mặt cầu.

A. $\begin{array}{l}m<2\\ m>3\end{array}$

B. $1\le m\le 3$

C. $\begin{array}{l}m<1\\ m>3\end{array}$

D. $\begin{array}{l}m=1\\ m=3\end{array}$

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định tâm I (a; b; c).

Bước 2: Xác định bán kính R của (S).

Bước 3: Thế vào phương trình (S):

Dạng phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c) và bán kính R.

$\left(S\right):{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2+{\left(z-c\right)}^2=R^2$

Ví dụ 4:

A. $\left(S\right):{\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+z^2=16$

B. $\left(S\right):{\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+z^2=4$

C. $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+z^2=16$

D. $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+z^2=4$

Hướng dẫn giải

Dạng phương trình mặt cầu :

$\left(S\right):{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2+{\left(z-c\right)}^2=R^2$

Tâm là A suy ra a = -1, b = 2, c = 0 và R = 4

Thế vào phương trình mặt cầu (S) ta được :

$\left(S\right):{\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+z^2=16$

Chọn A.

Ví dụ 5:

A. $\left(S\right):{\left(x-2\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2+{(z-2)}^2=\sqrt{24}$

B. $\left(S\right):{\left(x-2\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2+{(z-2)}^2=24$

C. $\left(S\right):{\left(x+2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+z^2=24$

D. $\left(S\right):{\left(x-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{(z-2)}^2=24$

Hướng dẫn giải

Dạng phương trình mặt cầu :

$\left(S\right):{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2+{\left(z-c\right)}^2=R^2$

Tâm B (2; -1; 2).

Bán kính :

$R=\left.\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{{\left(2+2\right)}^2+{\left(-1-1\right)}^2+{\left(2-0\right)}^2}=\sqrt{24}$

Vậy phương trình mặt cầu là:

$\left(S\right):{\left(x-2\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2+{(z-2)}^2=24$

Chọn B.

Dạng 3: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và tiếp xúc với mặt phẳng

Phương pháp giải:

Cho điểm I (a; b; c) và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0

Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng nên ta có

$R=d\left(I;\left(P\right)\right)=\frac{|Aa+Bb+Cc+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Từ đó viết được phương trình mặt cầu tâm I và bán kính R đã tính phía trên.

Ví dụ 6:

A. ${\left(\text{x }–2\right)}^2+{\left(\text{y}-1\right)}^2+{\left(\text{z}-1\right)}^2=4$

B. ${\left(\text{x}-2\right)}^2+{\left(\text{y}-1\right)}^2+{\left(\text{z}-1\right)}^2=9$

C. ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=3$

D. ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=5$

Hướng dẫn giải :

Vì mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên bán kính của mặt cầu là

$R=d\left(A;\left(P\right)\right)=\frac{|2.2-1+2.1+1|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2+2^2}}=2$

Vậy phương trình mặt cầu là :

${\left(\text{x }–2\right)}^2+{\left(\text{y}-1\right)}^2+{\left(\text{z}-1\right)}^2=4$

Chọn A.

Dạng 4: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và tiếp xúc với đường thẳng

Phương pháp giải:

Cho điểm I (a; b; c) và đường thẳng d.

Gọi H là tiếp điểm của đường thẳng d và mặt cầu tâm I. Tìm H.

Khi đó bán kính của mặt cầu R = IH.

Ví dụ 7:

A. ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=5\sqrt{2}.$

B. ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=50.$

C. ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=50$

D. ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=50$

Hướng dẫn giải

Gọi H là tiếp điểm của đường tròn lớn tâm I và đường thẳng d.

Vì H thuộc d nên H (-1 + 2t; 2 + t; -3 – t). Suy ra $\overrightarrow{IH}=\left(2t-2;t+4;-t-6\right)$.

Vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{u_d}=\left(2;1;-1\right)$

Vì IH vuông góc với đường thẳng d nên

$\overrightarrow{IH}.\overrightarrow{u_d}=0$

$\iff$(2t – 2).2 + (t + 4).1 + (-t – 6 ).(-1) = 0

$\iff$t = -1

Suy ra $\overrightarrow{IH}=\left(-4;3;-5\right)$.

Vì mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng nên bán kính của mặt cầu:

R = IH

= $\sqrt{{\left(-4\right)}^2+3^2+{\left(-5\right)}^2}=5\sqrt{2}$

Vậy phương trình mặt cầu là ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=50.$

Chọn B.

Dạng 5: Viết phương trình mặt cầu (S) biết tâm I và đường thẳng d cắt mặt cầu theo dây cung AB

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d

Bước 2: Dựa vào giả thuyết đề cho, ta tính độ dài dây cung AB. Suy ra độ dài AH (với H là trung điểm AB)

Bước 3: Tính IA theo định lý Pytago cho tam giác vuông AIH. Suy ra bán kính R = IA.

Bước 4: Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I và bán kính R đã tính bên trên.

Ví dụ 8:

A. ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=76$

B. ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=76$

C. ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=66$

D. ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=56$

Hướng dẫn giải:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên đường thẳng d.

Vì H thuộc d nên H (-1 + t; 1 – 4t; t). Suy ra $\overrightarrow{IH}=\left(t-3;-4t-2;t+1\right)$

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_d}=\left(1;-4;1\right)$

Vì IH vuông góc với đường thẳng d nên

$\overrightarrow{IH}.\overrightarrow{u_d}=0$

$\iff$(t – 3).1 + (-4t – 2).(-4) + (t + 1).1 = 0

$\iff t=-\frac{1}{3}$.

Suy ra $\overrightarrow{IH}=\left(-\frac{10}{3};-\frac{2}{3};\frac{2}{3}\right)$ nên

$IH=\sqrt{{\left(-\frac{10}{3}\right)}^2+{\left(-\frac{2}{3}\right)}^2+{\left(\frac{2}{3}\right)}^2}=2\sqrt{3}$

Vì AB = 16 nên $HA=\frac{1}{2}AB=8$

Áp dụng định lí Py – ta – go trong tam giác vuông IAB ta có:

$I{A}^2=I{H}^2+H{A}^2={\left(2\sqrt{3}\right)}^2+8^2=76\Rightarrow IA=2\sqrt{19}$

Vậy bán kính mặt cầu là R = IA = $2\sqrt{19}$

Khi đó phương trình mặt cầu là ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=76$

Chọn A.

Dạng 6: Viết phương trình mặt cầu (S) biết tâm I và mặt cầu cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn (C)

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P)

Bước 2: Dựa vào giả thuyết đề cho, ta tính bán kính r của đường tròn giao tuyến. Suy ra bán kính mặt cầu $R=\sqrt{d^2(I,(P\left)\right)+r^2}$

Bước 3: Kết luận phương trình mặt cầu (S)

Ví dụ 9:

A. ${\left(x-1\right)}^2+y^2+{\left(z+1\right)}^2=\frac{110}{3}$

B. ${\left(x-1\right)}^2+y^2+{\left(z-1\right)}^2=\frac{110}{3}$

C. ${\left(x-1\right)}^2+y^2+{\left(z-1\right)}^2=\frac{100}{3}$

D. ${\left(x-1\right)}^2+y^2+{\left(z-1\right)}^2=110$

Hướng dẫn giải:

Ta có :

$d\left(I,\left(Q\right)\right)=\frac{|2.1-0+1+7|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2+1^2}}=\frac{5\sqrt{6}}{3}$

Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến của (S) và mặt phẳng (Q). Ta có diện tích đường tròn giao tuyến là $20\pi =\pi r^2\iff r=2\sqrt{5}.$

Gọi R là bán kính mặt cầu (S) cần tìm.

Theo giả thiết:

$R=\sqrt{{\left.d\left(I,\left(Q\right)\right)\right]}^2+r^2}=\sqrt{{\left(\frac{5\sqrt{6}}{3}\right)}^2+{\left(2\sqrt{5}\right)}^2}=\frac{\sqrt{330}}{3}.$

Vậy (S):

${\left(x-1\right)}^2+y^2+{\left(z-1\right)}^2=\frac{110}{3}$

Chọn B.

Dạng 7: Phương trình mặt cầu biết tâm thuộc một đường thẳng và thỏa mãn một điều kiện cho trước

Phương pháp giải:

Bước 1: Rút tọa độ tâm I theo đường thẳng d đã cho trước.

Giả sử điểm I là tâm của mặt cầu và đường thẳng d có phương trình

$d:\begin{array}{c}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct\end{array}$

Khi đó nếu $I\in d$ thì ta có $I(x_0+at;y_0+bt;z_0+ct)$

Bước 2: Dựa vào yêu cầu bài toán lập một phương trình theo biến t để giải

$\Rightarrow$ Tọa độ tâm I

Bước 3: Xác định bán kính R của mặt cầu

Bước 4: Viết phương trình mặt cầu (S).

Ví dụ 10:

A. ${\left(x+3\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=\frac{4}{9}$

B. ${\left(x-3\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=\frac{4}{9}$

C. ${\left(x+3\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=\frac{4}{9}$

D. ${\left(x-3\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=\frac{4}{9}$

Hướng dẫn giải:

Do I thuộc d nên tâm mặt cầu có tọa độ dạng I (t; -1; -t). Khi đó do (S) tiếp xúc với (P), (Q) nên khoảng cách từ I tới (P), (Q) là bằng nhau và cùng bằng bán kính mặt cầu.

$d\left(I;\left(P\right)\right)=d\left(I;\left(Q\right)\right)\iff \frac{\left.t+2.\left(-1\right)+2.\left(-t\right)+3\right|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{\left.t+2.\left(-1\right)+2.\left(-t\right)+7\right|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=R$

Hay $\left.-t+1\right|=\left.-t+5\right|$

$\iff \begin{array}{c}-t+1=-t+5\\ -t+1=t-5\end{array}$

$\Rightarrow$t = 3 $\Rightarrow$I (3; -1; -3).

Thay vào phương trình khoảng cách ta được $R=\frac{2}{3}$. Vậy phương trình mặt cầu: ${\left(x-3\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=\frac{4}{9}$

Chọn D

III. Bài tập vận dụng

Câu 1 : Mặt cầu:

$\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+z^2=9$ có tâm I là :

A. I (1 ; -2 ; 0)

B. I (-1 ; 2 ; 0)

C. I (1 ; 2 ; 0)

D. I (-1 ; -2 ; 0).

Câu 2 :

$\left(S\right):x^2+y^2+z^2-8x+2y+1=0$ có tâm I là :

A. I (8 ; -2 ; 0)

B. I (-4 ; 1 ; 0)

C. I (-8 ; 2 ; 0)

D. I (4 ; -1 ; 0).

Câu 3 :

$\left(S\right):x^2+y^2+z^2-4x+1=0$ có tọa độ tâm I và bán kính R là :

A. I (2; 0; 0), $R=\sqrt{3}.$

B. I (2; 0; 0), $R=3.$

C. I (0; 2; 0), $R=\sqrt{3}.$

D. I (-2; 0; 0), $R=\sqrt{3}.$

Câu 4:

A. $x^2+y^2+z^2-2x=0.$

B. $x^2+y^2-z^2+2x-y+1=0.$

C. $2x^2+2y^2={\left(x+y\right)}^2-z^2+2x-1.$

D. ${\left(x+y\right)}^2=2xy-z^2-1.$

Câu 5:

A. $\begin{array}{l}a=-2\\ a=8\end{array}$

B. $\begin{array}{l}a=2\\ a=-8\end{array}$

C. $\begin{array}{l}a=-2\\ a=4\end{array}$

D. $\begin{array}{l}a=2\\ a=-4\end{array}$

Câu 6:

A. ${(x-1)}^2+{(y-3)}^2+{(x-2)}^2=4$

B. $(x-1)+(y-3)+(x-2)=16$

C. ${(x-1)}^2+{(y-3)}^2+{(x-2)}^2=16$

D. ${(x-1)}^2+{(y-3)}^2+{(x-2)}^2=8$

Câu 7:

A. $\left(S\right):{\text{ x}}^2+y^2+{(z-1)}^2=24$

B. $\left(S\right):{\text{ x}}^2+y^2+{(z-1)}^2=\sqrt{6}$

C. $\left(S\right):{\text{ x}}^2+y^2+{(z-1)}^2=6$

D. $\left(S\right):{\text{ x}}^2+y^2+{(z-1)}^2=\sqrt{24}$

Câu 8:

A. ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=\sqrt{53}.$

B. ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=53.$

C. ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=53.$

D. ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=53.$

Câu 9:

A. ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=3$

B. ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=9$

C. ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=3$

D. ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=9$

Câu 10:

$\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x+4y-4=0$ cắt mặt phẳng (P): x + y – z + 4 = 0 theo giao tuyến là đường tròn (C). Tính diện tích S của hình tròn giới hạn bởi (C).

A. $S=6\pi$

B. $S=\frac{2\pi \sqrt{78}}{3}$

C. $S=\frac{26\pi }{3}$

D. $S=2\sqrt{6}\pi$

Câu 11:

A. ${\left(x-\frac{32}{3}\right)}^2+{\left(y+\frac{58}{3}\right)}^2+{\left(z+\frac{44}{3}\right)}^2=932$

B. ${\left(x-1\right)}^2+y^2+{\left(z+5\right)}^2=\frac{244}{9}$

C. ${\left(x+\frac{32}{3}\right)}^2+{\left(y-\frac{58}{3}\right)}^2+{\left(z-\frac{44}{3}\right)}^2=932$

D. ${\left(x-3\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=932$

ĐÁP ÁN