50 bài toán về tương giao của đồ thị hàm số (có đáp án 2024) – Toán 12

Bài toán tương giao của đồ thị hàm số và cách giải - Toán lớp 12

A. LÝ THUYẾT.

Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C₁) và y = g (x) có đồ thị (C₂) .

Phương trình hoành độ giao điểm của (C₁) và (C₂) là f (x) = g (x).

Khi đó:

- Số giao điểm của (C₁) và (C₂) bằng với số nghiệm của phương trình (1) .

- Nghiệm x₀ của phương trình (1) chính là hoành độ x₀ của giao điểm.

- Để tính tung độ y₀ của giao điểm, ta thay hoành độ x₀ vào y = f (x).

- Điểm M (x₀ ; y₀) là giao điểm của (C₁) và (C₂).

B. CÁC DẠNG TOÁN HAY GẶP VÀ CÁC KỸ NĂNG CẦN THIẾT.

Dạng 1. Tìm toạ độ giao điểm của các đồ thị hàm số cho trước.

1. Phương pháp giải.

Cho 2 hàm số $y=f\left(x\right),y=g\left(x\right)$ có đồ thị lần lượt là (C) và (C’).

Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’): $f\left(x\right)=g\left(x\right)$

Bước 2: Giải phương trình tìm x từ đó suy ra y và toạ độ giao điểm.

Bước 3: Số nghiệm của (*) là số giao điểm của (C) và (C’). Thay trở lại $y=f\left(x\right)(y=g(x\left)\right)$, ta sẽ được toạ độ giao điểm.

2. Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1.

A. $y_0=4$

B. $y_0=0$

C. $y_0=2$

D. $y_0=-1$.

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm:

$-2x+2=x^3+x+2$

$\iff x^3+3x=0\iff x=0\stackrel{}{\to }y=2$

Chọn C.

Ví dụ 2.

A. $y_1+y_2=4.$

B. $y_1+y_2=6.$

C. $y_1+y_2=0.$

D. $y_1+y_2=2.$

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm:

Chọn A.

3. Bài tập tự luyện.

Câu

A. (C) không cắt trục hoành.

B. (C) cắt trục hoành tại một điểm.

C. (C) cắt trục hoành tại hai điểm.

D. (C) cắt trục hoành tại ba điểm.

Câu 2.

A. $AB=3.$

B. $AB=2\sqrt{2}.$

C. $AB=2.$

D. $AB=1.$

Câu 3.

A. 0

B. 2

C. 3

D. 4

Câu

A. $M\left(0;0\right)$

B. $M\left(0;-2018\right)$

C. $M\left(2018;0\right)$

D. $M\left(2018;-2018\right)$.

Câu 5. Đường thẳng $y=2x+2016$ và đồ thị hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$ có tất cả bao nhiêu điểm chung?

A. 0.

B. 1

C. 2.

D. 3.

Câu

A. $x_I=\frac{5}{2}$

B. $x_I=2$

C. $x_I=1$

D. $x_I=-\frac{5}{2}$

Câu 7.

A. $A\left(-1;0\right)$ và $B\left(-1;6\right)$.

B. $A\left(0;2\right)$ và $B\left(-2;4\right)$.

C. $A\left(1;4\right)$ và $B\left(-3;2\right).$

D. Không tồn tại.

Câu 8.

A. $A\left(3;-\frac{16}{3}\right)$ và $B\left(-3;-\frac{16}{3}\right)$.

B. $A\left(3;-\frac{16}{3}\right)$ và $B\left(-3;\frac{16}{3}\right)$.

C. $A\left(\frac{16}{3};3\right)$ và $B\left(-\frac{16}{3};3\right)$.

D. Không tồn tại.

Câu 9.

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3.

Câu 10. Tìm trên đồ thị hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$ những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến trục hoành.

A. $M\left(2;1\right),M\left(4;3\right).$

B. $M\left(0;-1\right),M\left(4;3\right)$

C. $M\left(0;-1\right),M\left(3;2\right)$

D. $M\left(2;1\right),M\left(3;2\right)$

Câu 11.

A. 2

B. 3

C. 1

D. .0

Câu 12.

A. 1

B. 0

C. 2

D. 3

Đáp án

Dạng 2. Tìm m để sự tương giao của các đồ thị hàm số thoả mãn điều kiện cho trước.

1. Phương pháp giải.

BÀI TOÁN 1: TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM BẬC 3.

Phương pháp 1: Bảng biến thiên (đồ thị hàm số).

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng $F\left(x,m\right)=0$ (phương trình ẩn x tham số m)

+) Cô lập m đưa phương trình về dạng $m=f\left(x\right)$

+) Lập BBT cho hàm số $y=f\left(x\right)$.

+) Dựa và giả thiết và BBT từ đó suy ra m.

* Dấu hiệu: Sử dụng phương pháp bảng biến thiên khi m độc lập với x.

Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm – tam thức bậc 2.

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm $F\left(x,m\right)=0$

+) Nhẩm nghiệm: (Khử tham số). Giả sử $x=x_0$ là 1 nghiệm của phương trình.

+) Phân tích:

$F\left(x,m\right)=0\iff \left(x-x_0\right).g\left(x\right)=0\iff \begin{array}{l}x=x_0\\ g\left(x\right)=0\end{array}$

(là $g\left(x\right)=0$ là phương trình bậc 2 ẩn x tham số m ).

+) Dựa vào yêu cầu bài toán đi xử lý phương trình bậc 2: $g\left(x\right)=0$.

Phương pháp 3: Cực trị.

* Nhận dạng: Khi bài toán không cô lập được m và cũng không nhẩm được nghiệm.

* Quy tắc:

- Lập phương trình hoành độ giao điểm $F\left(x,m\right)=0$ (1). Xét hàm số $y=F\left(x,m\right)$.

- Để (1) có đúng 1 nghiệm thì đồ thị $y=F\left(x,m\right)$ cắt trục hoành tại đúng 1 điểm. (2TH)

+ Hoặc hàm số luôn đơn điệu trên R $\iff$ hàm số không có cực trị $\iff y\text{'}=0$ hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm kép $\iff {\Delta }_{y\text{'}}\le 0$

+ Hoặc hàm số có CĐ, CT và $y_{cd}.y_{ct}>0$ (hình vẽ)

- Để (1) có đúng 3 nghiệm thì đồ thị $y=F\left(x,m\right)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt $\iff$ Hàm số có cực đại, cực tiểu và $y_{cd}.y_{ct}<0$.

- Để (1) có đúng 2 nghiệm thì đồ thị $y=F\left(x,m\right)$ cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt $\iff$ Hàm số có cực đại, cực tiểu và $y_{cd}.y_{ct}=0$.

Mở rộng: Tìm m để đồ thị hàm bậc 3 cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành 1 cấp số cộng.

1. Định lí Vi - ét.

*) Cho bậc 2: Cho phương trình $a{x}^2+bx+c=0$ có 2 nghiệm $x_1,x_2$ thì ta có:

$\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ x_1{x}_2=\frac{c}{a}\end{array}$

*) Cho bậc 3: Cho phương trình $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$ có 3 nghiệm $x_1,x_2,x_3$ thì ta có:

$\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a},\\ x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1=\frac{c}{a},\\ x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}\end{array}$

2.Tính chất của cấp số cộng: Cho 3 số a,b,c theo thứ tự đó lập thành 1 cấp số cộng thì:

a + c = 2b

3. Phương pháp giải.

+) Điều kiện cần: $x_0=-\frac{b}{3a}$ là 1 nghiệm của phương trình. Từ đó thay vào phương trình để tìm m.

+) Điều kiện đủ: Thay m tìm được vào phương trình và kiểm tra.

BÀI TOÁN 2: TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ PHÂN THỨC.

Phương pháp : Cho hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}\left(C\right)$ và đường thẳng $d:y=px+q$. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): $\frac{ax+b}{cx+d}=px+q\iff F\left(x,m\right)=0$ (phương trình bậc 2 ẩn x tham số m).

* Các câu hỏi thường gặp:

1. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt $\iff$(1) có 2 nghiệm phân biệt khác $-\frac{d}{c}$

2. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt cùng thuộc nhánh phải của (C) $\iff$ (1) có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ và thỏa mãn $:-\frac{d}{c}<x_1^{}<x_2$.

3. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt cùng thuộc nhánh trái của (C) $\iff$(1) có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ và thỏa mãn $x_1^{}<x_2<-\frac{d}{c}$.

4. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh của (C) $\iff$ (1) có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ và thỏa mãn $x_1^{}<-\frac{d}{c}<x_2$.

5. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B thỏa mãn điều kiện hình học cho trước:

+) Đoạn thẳng AB = k

+) Tam giác ABC vuông.

+) Tam giác ABC có diện tích $S_0$

* Chú ý: Công thức tính khoảng cách:

BÀI TOÁN 3: TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ BẬC 4.

Phương pháp 1: Nhẩm nghiệm.

- Nhẩm nghiệm: Giả sử $x=x_0$ là một nghiệm của phương trình.

- Khi đó ta phân tích:

$f\left(x,m\right)=\left(x^2-x_0^2\right)g\left(x\right)=0\iff \begin{array}{l}x=\pm x_0\\ g\left(x\right)=0\end{array}$

- Dựa vào giả thiết xử lý phương trình bậc 2 : $g\left(x\right)=0$

Phương pháp 2: Ẩn phụ - tam thức bậc 2.

- Đặt $t=x^2,\left(t\ge 0\right)$. Phương trình: $a{t}^2+bt+c=0$ (2).

- Để (1) có đúng 1 nghiệm thì (2) có nghiệm $t_1,t_2$ thỏa mãn: $\begin{array}{c}{t}_1<0=t_2\\ t_1=t_2=0\end{array}$

- Để (1) có đúng 2 nghiệm thì (2) có nghiệm $t_1,t_2$ thỏa mãn: $\begin{array}{c}{t}_1<0<t_2\\ 0<t_1=t_2\end{array}$

- Để (1) có đúng 3 nghiệm thì (2) có nghiệm $t_1,t_2$ thỏa mãn: $0=t_1<t_2$

- Để (1) có đúng 4 nghiệm thì (2) có nghiệm $t_1,t_2$ thỏa mãn: $0<t_1<t_2$

Mở rộng: tìm m để $\left(C\right):y=a{x}^4+b{x}^2+c$ cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.

- Đặt $t=x^2,\left(t\ge 0\right)$. Phương trình: $a{t}^2+bt+c=0$(2).

- Để (1) cắt (Ox) tại 4 điểm phân biệt thì (2) phải có 2 nghiệm dương $t_1,t_2\left(t_1<t_2\right)$ thỏa mãn $t_2=9t_1$.

- Kết hợp $t_2=9t_1$ với định lý vi – ét tìm được m.

* Giải nhanh : $\boxed{b^2=\frac{100}{9}ac}$

2. Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1.

A. $m\in \left(4;+\infty \right).$

B. $m\in \left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right)\cup \left(-\frac{1}{2};0\right).$

C. $m\in \left(0;4\right).$

D. $m\in \left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right)\cup \left(-\frac{1}{2};0\right)\cup \left(4;+\infty \right).$

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\left(x-1\right)\left(x^2+mx+m\right)=0\iff \begin{array}{l}x=1\\ x^2+mx+m=0\left(1\right)\end{array}$

Yêu cầu bài toán $\iff$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác

$1\iff \begin{array}{l}{1}^2+m.1+m\ne 0\\ \Delta =m^2-4m>0\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}2m+1\ne 0\\ m\left(m-4\right)>0\end{array}\iff \begin{array}{l}m\ne -\frac{1}{2}\\ \begin{array}{l}m>4\\ m<0\end{array}\end{array}\iff \begin{array}{l}m>4\\ \begin{array}{l}m\ne -\frac{1}{2}\\ m<0\end{array}\end{array}$

Chọn D.

Ví dụ 2. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình $x^4-2x^2+2017-m=0$ có đúng ba nghiệm.

A. $m=2015$

B. $m=2016$

C. $m=2017$

D. $m=2018$.

Lời giải

Ta có

$x^4-2x^2+2017-m=0\iff x^4-2x^2=m-2017$

Xét hàm số $y=x^4-2x^2$, có

$y\text{'}=4x^3-4x\stackrel{}{\to }y\text{'}=0\iff \begin{array}{l}x=0\stackrel{}{\to }y\left(0\right)=0\\ x=\pm 1\stackrel{}{\to }y\left(\pm 1\right)=-1\end{array}.$

Yêu cầu bài toán :

$\iff m-2017=y_{\text{CD}}\iff m-2017=0\iff m=2017.$

Chọn D.

Ví dụ 3.

A. m = 1

B. m =0

C. m >1

D. m <0

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\frac{2x-2}{2x+1}=2mx+m+1\left(x\ne -\frac{1}{2}\right)\iff 2x-2=\left(2mx+m+1\right)\left(2x+1\right)\iff 4m{x}^2+4mx+m+3=0.\left(*\right)$

Để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt $\iff$ phương trình $\left(*\right)$ có hai nghiệm phân biệt :

$\iff \begin{array}{l}m\ne 0\\ \Delta \text{'}=-12m>0\end{array}\iff m<0$

Chọn D.

3. Bài tập tự luyện.

Câu 1

A. $-4<m<0.$

B. $m>0.$

C. $m<-4.$

D. $\begin{array}{l}m<-4\\ m>0\end{array}.$

Câu 2

A. $\frac{1}{3}<m<4$

B. $1<m<\frac{3}{2}$

C. $0<m<\frac{1}{2}$

D. $-1<m<\frac{3}{4}$.

Câu 3

A. $m=-\frac{1}{2}$ hoặc $m=-1$.

B. $m=-\frac{1}{2}$ hoặc $m=—\frac{5}{2}$.

C. $m=\frac{1}{2}$ hoặc $m=\frac{5}{2}$.

D. $m=1$ hoặc $m=—\frac{5}{2}$.

Câu 4.

A. $m\ne 0.$

B. $m>3.$

C. $m\ne 3.$

D. $m>0.$

Câu 5

A. $0<m<1$

B. $m<1$.

C. $m\le 0$

D. $m>1.$

Câu 6.

A. $x=2$

B. $x=1$

C. $x=m$

D. $x=0$.

Câu 7.

A. $m\ne 0.$

B. $m<\frac{9}{4}.$

C. $0\ne m<\frac{9}{4}$

D. $m=0$ hoặc $m>\frac{9}{4}.$

Câu 8

A. $m>-3.$

B. $m=-3.$

C. $m>-2.$

D. $m=-2.$

Câu 9

A. $m=2$ hoặc $m=3$.

B. $m=3$.

C. $m=—2$hoặc $m=-3$.

D. $m=—2$ hoặc $m=3$.

Câu 10.

A. $m\in (-\infty ;0)\cup \text{[}4;+\infty )$

B. $m\in ℝ$

C. $m\in \left(-\frac{5}{4};+\infty \right)$

D. $m\in (-2;+\infty )$

Câu 11.

A. m = 1

B. $m\in (-\infty ;-1)$

C. $m\in (-\infty ;+\infty )$

D. $m\in (1;+\infty )$

Câu 12.

A. $0<k<2$

B. $k<3$

C. $-1<k<1$

D. $0<k<1$.

Câu 13.

A. $m=2015$

B. $m=2016$.

C. $m=2017$

D. $m=2018$.

Câu 14.

A. $m>-3$ hoặc $m=-4$.

B. $m<-4$ hoặc $m=-3$.

C. $-4<m<-3$

D. $m>-4$

Câu 15

A. $m>-\frac{3}{2}.$

B. $m\ne -1.$

C. $m>-1.$

D. $-\frac{3}{2}<m\ne -1.$

Câu 16.

A. $0<m<1$.

B. $\begin{array}{l}m<-2\\ m>5\end{array}$

C. $1<m<\frac{3}{2}$.

D. $0<m<\frac{1}{3}$.

Câu 17

A. $m\ne 0.$

B. $m>0.$

C. $m<0.$

D. $0<m\ne 1.$

Câu 18

A. $m=1;m=-2$

B. $m=1;m=-7$.

C. $m=-7;m=5$

D. $m=1;m=-1$.

Câu 19

A. $m=-3$

B. $m=-1$

C. $m=3$

D. $m=1$.

Câu 20.

A. $k=-1$

B. $k=-3$

C. $k=-4$

D. $k=-2$.

Câu 21.

A. $m=-2.$

B. $m=-\frac{1}{2}.$

C. $m=0.$

D. $m=1.$

Câu 22.

A. $m=-2$

B. $m=-\frac{1}{5}.$

C. $m=-\frac{11}{5}.$

D. $m=0.$

Câu 23.

A. $m=\frac{7}{2}.$

B. $m=-\frac{7}{12}.$

C. $m=\frac{7}{12}.$

D. $m=-\frac{7}{2}.$

Câu 24

A. $m=3;m=-5$

B. $m=3;m=-3$

C. $m=3;m=-1$

D. $m=-3;m=-1$.

Câu 25.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ cắt đường thẳng $y=2m-1$ tại hai điểm phân biệt.

A. $1\le m<\frac{3}{2}.$

B. $1<m<2.$

C. $1\le m\le \frac{3}{2}.$

D. $1<m<\frac{3}{2}.$

Câu 26.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng $y=2m+1$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt.

A. $m\le -2.$

B. $m\ge 1.$

C. $m\le -2$, $m\ge 1.$

D. $m<-2$,$m>1.$

Câu 27.

A. $m=1.$

B. $m=2,m=-1.$

C. $m=-1.$

D. $m=2.$

Câu 28.

A. $m>1.$

B. $m>-\sqrt{2}.$

C. $m>\sqrt{2}.$

D. $0<m\ne 1.$

Câu 29. Cho hàm số $y=-x^4+2\left(2+m\right)x^2-4-m$ với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số đã cho không có điểm chung với trục hoành?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 30.

A. $m=1.$

B. $m=\frac{3}{4}.$

C. $m=-\frac{3}{4},m=3.$

D. $m=3.$

Đáp án