50 bài toán về công thức lũy thừa, logarit và cách giải (có đáp án 2024) – Toán 12

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải bài tập - Toán lớp 12

I. LÝ THUYẾT

a. Lũy thừa

+ Lũy thừa với số mũ nguyên

Ở đây $n\in {\mathbb{Z}}^{+},n>1$. Quy ước $a^1=a$

$\left(a\ne 0\right):a^0=1,a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ với $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$

+ Số căn bậc n

Với n lẻ và $b\in ℝ$: Có một căn bậc n của b là $\sqrt[n]{b}$.

Với n chẵn

b < 0: Không tồn tại căn bậc n của b.

b = 0: Có một căn bậc n của b là 0.

b > 0: Có hai bậc n của b là $\pm \sqrt[n]{b}$.

+ Tính chất căn bậc n

Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:

+ Lũy thừa số mũ hữu tỷ:

$\boxed{a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m},\left(a>0\right)}$

+ Lũy thừa số thực

$a^{\alpha }=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}^{r_n}$( $\alpha$ là số vô tỉ, r_n là số hữu tỉ và lim r_{n =} $\alpha$)

+ Tính chất

Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:

b. Logarit

+ Định nghĩa:

+ Các công thức:

Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:

II. CÁC DẠNG BÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1. Rút gọn biểu thức và tính giá trị của biểu thức

A. Phương pháp

Cách 1. Sử dụng định nghĩa và tính chất của lũy thừa và lôgarit

* Rút gọn biểu thức và tính biểu thức của lũy thừa.

+ Lũy thừa với số mũ nguyên

+ Số căn bậc n

Với n lẻ và $b\in ℝ$: Có một căn bậc n của b là $\sqrt[n]{b}$.

Với n chẵn

b < 0: Không tồn tại căn bậc n của b.

b = 0: Có một căn bậc n của b là 0.

b > 0: Có hai bậc n của b là $\pm \sqrt[n]{b}$

+ Tính chất căn bậc n

Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:

+ Lũy thừa số mũ hữu tỷ

$\boxed{a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m},\left(a>0\right)}$

+ Lũy thừa số thực

$a^{\alpha }=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}^{r_n}$ ( $\alpha$ là số vô tỉ, là số hữu tỉ và $\lim r_n=\alpha$).

+ Tính chất

Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:

* Rút gọn biểu thức và tính biểu thức của logarit.

+ Định nghĩa:

+ Các công thức:

Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:

Cách 2. Sử dụng máy tính cầm tay.

B. Ví dụ minh họa

Câu 1.

A. $a^{\frac{5}{6}}$

B. $a^5$

C. $a^{\frac{2}{3}}$

D. $a^{\frac{7}{6}}$ .

Lời giải

Chọn D

Với a >0, ta có:

$P=a^{\frac{2}{3}}\sqrt{a}=a^{\frac{2}{3}}{a}^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{7}{6}}$ .

Câu 2. Rút gọn biểu thức $P=\frac{{\left(a^{\sqrt{3}-1}\right)}^{\sqrt{3}+1}}{a^{4-\sqrt{5}}.a^{\sqrt{5}-2}}$.

A. $P=2$

B. $P=a^2$

C. $P=1$

D. $P=a$ .

Lời giải

Chọn C

Ta có:

$P=\frac{{\left(a^{\sqrt{3}-1}\right)}^{\sqrt{3}+1}}{a^{4-\sqrt{5}}.a^{\sqrt{5}-2}}=\frac{a^{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}}{a^{4-\sqrt{5}+\sqrt{5}-2}}=\frac{a^2}{a^2}=1$

Cách 2: sử dụng máy tính cầm tay

Nhập vào máy tính:

Sau đó bấm CALC thay một giá trị bất kì thỏa mãn a >0 và $a\ne 1$ và các đáp án phải khác nhau. Ta chọn A=3. Khi đó ta có kết quả.

Câu 3.

A. $\sqrt{{10}^{\alpha }}={10}^{\frac{\alpha }{2}}$

B. ${\left({10}^{\alpha }\right)}^2={\left(100\right)}^{\alpha }$

C. $\sqrt{{10}^{\alpha }}={\left(\sqrt{10}\right)}^{\alpha }$

D. ${\left({10}^{\alpha }\right)}^2={10}^{{\alpha }^2}$

Lời giải

Chọn D

+) Có $\sqrt{{10}^{\alpha }}={10}^{\frac{\alpha }{2}}$ với mọi $\alpha$, nên A đúng.

+) Có ${\left({10}^{\alpha }\right)}^2={\left(100\right)}^{\alpha }$ với mọi $\alpha$, nên B đúng.

+) Có $\sqrt{{10}^{\alpha }}={\left(\sqrt{10}\right)}^{\alpha }$ với mọi $\alpha$, nên C đúng.

+) Ta có ${\left({10}^{\alpha }\right)}^2={10}^{2\alpha }\ne {10}^{{\alpha }^2}$. Do đó D sai.

Câu 4. Biểu thức $P=\sqrt{x^3.\sqrt[3]{x^2}}.\sqrt[6]{x^5}\left(x>0\right)$ viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ là

A. $P=x^{\frac{8}{3}}$

B. $P=x^{\frac{5}{6}}$

C. $P=x^{\frac{1}{3}}$

D. $P=x^3$

Lời giải

Chọn A

Ta có:

$P={\left(x^3{\left(x\right)}^{\frac{2}{3}}\right)}^{\frac{1}{2}}.x^{\frac{5}{6}}=x^{\frac{3}{2}}.x^{\frac{1}{3}}.x^{\frac{5}{6}}=x^{\frac{8}{3}}.$

Câu 5. Tính giá trị biểu thức $A={\left(\frac{1}{625}\right)}^{\frac{-1}{4}}+{16}^{\frac{3}{4}}-2^{-2}{.64}^{\frac{1}{3}}$.

A. 14.

B. 12.

C. 11.

D. 10.

Lời giải

Chọn B

Ta có

$A=5^{(-4).\frac{-1}{4}}+2^{4.\frac{3}{4}}-2^{-2}{.2}^{6.\frac{1}{3}}=5+2^3-2^0=12$

Câu 6. Cho a là số thực dương và $a\ne 1$. Giá trị của biểu thức $M={\left(a^{1+\sqrt{2}}\right)}^{1-\sqrt{2}}$ bằng

A. $a^2.$

B. $a^{2\sqrt{2}}.$

C. a

D. $\frac{1}{a}.$

Lời giải

Chọn D

Ta có:

$M={\left(a^{1+\sqrt{2}}\right)}^{1-\sqrt{2}}=a^{1-2}=a^{-1}=\frac{1}{a}$

Vậy $M=\frac{1}{a}$.

Câu 7.

A. -3

B. 3

C. $\frac{1}{3}$

D. $-\frac{1}{3}$ .

Lời giải

Chọn C

Ta có:

$D={\log }_{a^3}a=\frac{1}{3}{\log }_{a}a=\frac{1}{3}$

Câu 8. Với a và b là hai số thực dương, $a\ne 1$. Giá trị của $a^{{\log }_a{b}^3}$ bằng

A. $b^{\frac{1}{3}}$

B. $\frac{1}{3}b$

C. 3b

D. $b^3$ .

Lời giải

Chọn D

Áp dụng công thức: $a^{{\log }_{a}b}=b$

Ta có: $a^{{\log }_a{b}^3}=b^3$.

Câu 9. Tính giá trị của $a^{{\log }_{\sqrt{a}}4}$ với $a>0,a\ne 1$.

A. 16

B. 8

C. 4

D. 2.

Lời giải

Chọn A

Ta có:

$a^{{\log }_{\sqrt{a}}4}=a^{2{\log }_{a}4}=a^{{\log }_a{4}^2}=16$

Câu 10. Cho a là số thực dương khác 4. Tính $a^{{\log }_{\sqrt{a}}4}=a^{2{\log }_{a}4}=a^{{\log }_a{4}^2}=16$.

A. $I=-\frac{1}{3}$

B. $I=-3$

C. $I=3$

D. $I=\frac{1}{3}$ .

Lời giải

Chọn C

$I={\log }_{\frac{a}{4}}\left(\frac{a^3}{64}\right)={\log }_{\frac{a}{4}}{\left(\frac{a}{4}\right)}^3=3$

Câu 11. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?

A. $\ln \left(2{\text{e}}^2\right)=2+\ln 2$

B. $\ln \left(\frac{2}{\text{e}}\right)=\ln 2-1$

C. $\ln \sqrt{4\text{e}}=1+\ln 2$

D. $\ln \left(\text{e}\right)=1$

Lời giải

Chọn C

$\ln \sqrt{4\text{e}}=\ln \sqrt{4}+\ln \sqrt{e}=\ln 2+\frac{1}{2}$

Câu 12.

A. $\sqrt{3}$

B. 1.

C. $\sqrt{2}$ .

D. 2.

Lời giải

Chọn B

Ta có:

Dạng 2. So sánh các lũy thừa, logarit

A. Phương pháp giải.

Cách 1. Sử dụng tính chất của lũy thừa, lôgarit

a. So sánh các lũy thừa

Nếu a > 1 thì $a^{\alpha }>a^{\beta }$ khi và chỉ khi $\alpha >\beta$

Nếu a < 1 thì $a^{\alpha }>a^{\beta }$ khi và chỉ khi $\alpha <\beta$

b. So sánh các logarit

${\log }_{a}b>{\log }_{a}c\iff \begin{array}{c}\begin{array}{c}a>1\\ b>c>0\end{array}\\ \begin{array}{c}0<a<1\\ 0<b<c\end{array}\end{array}$

Cách 2. Sử dụng máy tính casio

B. Ví dụ minh họa

Câu 1. Cho $a>1$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $\frac{\sqrt[3]{a^2}}{a}>1$

B. $a^{-\sqrt{3}}>\frac{1}{a^{\sqrt{5}}}$

C. $a^{\frac{1}{3}}>\sqrt{a}$

D. $\frac{1}{a^{2016}}<\frac{1}{a^{2017}}$

Lời giải

Chọn B

Vì cơ số a >1 nên ta có:

$a^m>a^n\iff m>n$

Xét phương án A: $\frac{\sqrt[3]{a^2}}{a}=a^{\frac{2}{3}-1}=a^{\frac{-1}{3}}<a^0\Rightarrow$ phương án A sai.

Xét phương án B: $\sqrt{5}-\sqrt{3}>0$$\iff a^{\sqrt{5}-\sqrt{3}}>a^0=1$ hay $a^{-\sqrt{3}}>\frac{1}{a^{\sqrt{5}}}\Rightarrow$ phương án B đúng.

Xét phương án C: $\frac{1}{3}<\frac{1}{2}\Rightarrow a^{\frac{1}{3}}<a^{\frac{1}{2}}$ hay $a^{\frac{1}{3}}<\sqrt{a}\Rightarrow$phương án C sai.

Xét phương án D: $2016<2017$$\iff a^{2016}<a^{2017}$$\iff \frac{1}{a^{2017}}<\frac{1}{a^{2016}}\Rightarrow$ phương án D sai.

Vậy phương án đúng là phương án B

Câu 2. Cho ${\pi }^{\alpha }>{\pi }^{\beta }$ với $\alpha ,\beta \in ℝ$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. $\alpha >\beta$

B. $\alpha <\beta$

C. $\alpha =\beta$

D. $\alpha \le \beta$ .

Lời giải

Chọn A

Do $\pi >1$ nên ${\pi }^{\alpha }>{\pi }^{\beta }\iff \alpha >\beta$.

Câu 3.

A. $0<a<1$

B. $a<0$

C. $a>1$

D. $a=1$ .

Lời giải

Chọn A

Ta có $a^3>a^{\pi }$ mà $3<\pi$ nên $0<a<1$.

Câu 4.

A. ${\left(\frac{4}{3}\right)}^{-7}>{\left(\frac{4}{3}\right)}^{-6}$

B. ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{-6}<{\left(\frac{2}{3}\right)}^{-5}$ .

C. ${\left(\frac{3}{4}\right)}^5>{\left(\frac{3}{4}\right)}^6$

D. ${\left(\frac{3}{2}\right)}^6>{\left(\frac{3}{2}\right)}^7$ .

Lời giải

Chọn C

Vì cơ số là $\frac{3}{4}$, $\left(0<\frac{3}{4}<1\right)$.

Do đó 5 < 6 nên ${\left(\frac{3}{4}\right)}^5>{\left(\frac{3}{4}\right)}^6$ là mệnh đề đúng.

Câu 5. Nếu $a^{\frac{\sqrt{3}}{3}}>a^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ và ${\log }_b\frac{3}{4}<{\log }_b\frac{4}{5}$ thì

A. $0<a<1,0<b<1.$

B. $0<a<1,b>1.$

C. $a>1,b>1.$

D. $a>1,0<b<1.$

Lời giải

Chọn B

Câu 6.

A. $\log x\ge 0\iff x\ge 1$

B. ${\log }_{3}x\le 0\iff 0<x\le 1$

C. ${\log }_{\frac{1}{3}}a>{\log }_{\frac{1}{3}}b\iff a>b>0$

D. ${\log }_{\frac{1}{3}}a={\log }_{\frac{1}{3}}b\iff a=b>0$

Lời giải

Chọn C

Ta có $\log x\ge 0\iff x\le {10}^0$ nên $x\le 1$ là khẳng định đúng.

${\log }_{3}x\le 0\iff 0<x\le 3^0$ nên $0<x\le 1$ là khẳng định đúng.

${\log }_{\frac{1}{3}}a>{\log }_{\frac{1}{3}}b\iff b>a>0$ nên khẳng định C sai.

D đúng do tính đơn điệu của hàm số $y={\log }_{\frac{1}{3}}x$

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1.

A. 15.

B. 28.

C. -11.

D. 10.

Câu 2.

A. 0,027

B. 28

C. -11

D. 10

Câu 3.

A. $\frac{2}{3}$

B. $\frac{8}{3}$

C. $\frac{5}{3}$

D. $\frac{33}{13}$ .

Câu 4.

A. ${\left(1,3\right)}^{-\frac{3}{4}}$

B. ${\left(-3\right)}^{\frac{2}{3}}$

C. ${\left(-2\right)}^{-3}$

D. ${\left(\sqrt{2}\right)}^{\frac{2}{3}}$ .

Câu 5.

A. $\frac{5^a}{5^b}=5^{a-b}$

B. $\frac{5^a}{5^b}=5^{\frac{a}{b}}$

C. $\frac{5^a}{5^b}=5^{ab}$

D. $\frac{5^a}{5^b}=5^{a+b}$

Câu 6.

A. $3^x{.3}^y=3^{x+y}$

B. ${\left(5^x\right)}^y={\left(5^y\right)}^x$

C. $4^{\frac{x}{y}}=\frac{4^x}{4^y}$

D. ${\left(2.7\right)}^x=2^x{.7}^x$

Câu 7.

A. $A=\sqrt{7}$

B. $A=1$

C. $A=a$

D. $A=\frac{2}{a^{\sqrt{7}}}$ .

Câu 8.

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{1}{2}$

C. 1

D. -1.

Câu 9.

A. $a^{m+n}={\left(a^m\right)}^n$

B. $a^{m+n}=\frac{a^m}{a^n}$

C. $a^{m+n}=a^m.a^n$

D. $a^{m+n}=a^m+n$

Câu 10.

A. $a^m.a^n=a^{m-n}$

B. $a^m.a^n={\left(a^m\right)}^n$

C. $a^m.a^n=a^{m+n}$

D. $a^m.a^n=a^{m.n}$

Câu 11.

A. $a^{\frac{4}{3}}$

B. $a^{-\frac{4}{3}}$

C. $a^{\frac{3}{4}}$

D. $a^{-\frac{3}{4}}$ .

Câu 12. Tính giá trị của biểu thức $P=2^{{\log }_{2}a}+{\log }_a\left(a^b\right)$ $\left(a>0,a\ne 1\right)$

A. $P=a-b$

B. $P=2^a+b$

C. $P=a+b$

D. $P=2a+b$ .

Câu 13.

A. $P=\frac{1}{2}$

B. $P=-2$

C. $P=2$

D. $P=0$ .

Câu 14.

A. $a^5+b$

B. $a^{5}b$

C. $10a\sqrt{b}$

D. $\frac{a^5}{b}$ .

Câu 15.

A. $\frac{8}{3}$

B. ${\log }_{3}8$

C. $\log \frac{8}{3}$

D. $\log \left(5a\right)$ .

Câu 16.

A. $m>n$

B. $m<n$

C. $m=n$

D. $m\le n$ .

Câu 17.

A. ${\log }_{3}5>0$

B. ${\log }_{2+x^2}2016<{\log }_{2+x^2}2017$

C. ${\log }_{0,3}0,8<0$

D. ${\log }_{3}4>{\log }_4\left(\frac{1}{3}\right)$

Câu 18.

A. $\log x<1\iff 0<x<10$

B. $\ln x\ge 0\iff x\ge 1$

C. ${\log }_4{x}^2>{\log }_{2}y\iff x>y>0$

D. ${\log }_{\frac{1}{\pi }}x<{\log }_{\frac{1}{\pi }}y\iff x>y>0$

Đáp án: