Cực trị của hàm số và cách giải các dạng bài tập (2024) mới nhất

Cực trị của hàm số và cách giải bài tập – Toán lớp 12

A. LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa.

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) và điểm $x_0\in (a;b)$ .

- Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f (x) < f (x₀) với mọi $x\in (x_0-h;x_0+h)$ và $x\ne x_0$ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x₀ .

- Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f (x) > f (x₀) với mọi $x\in (x_0-h;x_0+h)$ và $x\ne x_0$ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x₀ .

2. Điều kiện cần để hàm số có cực trị.

Định lý 1: Giả sử hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm x_o. Khi đó, nếu f(x) có đạo hàm tại điểm x_o thì f‘(x_o) = 0.

Lưu ý:

- Đạo hàm f‘(x) có thể bằng 0 tại điểm x_o nhưng hàm số f(x) không đạt cực trị tại điểm x_o.

- Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.

- Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0, hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.

- Hàm số đạt cực trị tại x_o và nếu đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại điểm (x_o ; f(x_o)) thì tiếp tuyến đó song song với trục hoành.

Ví dụ : Hàm số y = |x| và hàm số y = x³

3. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị.

Định lý 2: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên K = ( x₀ -h: x₀ +h ) và có đạo hàm trên K hoặc trên$K\backslash \text{{}{x}_0\text{}}$ , với h >0 .

- Nếu f '(x) > 0 trên khoảng (x₀ - h; x₀) và trên $(x_0;x_0+h)$ thì x₀ là một điểm cực đại của hàm số f(x) .

- Nếu f '(x) < 0 trên khoảng (x₀ - h; x₀) và f '(x) > 0 trên $(x_0;x_0+h)$ thì x₀ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x) .

Minh họa bằng bảng biến thiến

Lưu ý:

- Như vậy: Điểm cực trị phải là một điểm trong của tập hợp D (D ⊂ℝ). Nếu f’(x) không đổi dấu thì hàm số không có cực trị.

(Nhấn mạnh: x_o ∈ (a; b)⊂ D nghĩa là x_o là một điểm nằm ở giữa trong của D).

Ví dụ: Hàm số xác định trên D= [0,+∞). Ta có y ≥ y (0) với mọi x, nhưng x = 0 không phải là cực tiểu của hàm số vì D không chứa bất kì 1 lân cận nào của điểm 0.

^- Nếu hàm số y = f (x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x₀ thì x₀ được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f (x₀) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là f _CĐ ( f_CT ), còn điểm M (x₀;f( x₀)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

^- Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

- Giá trị cực đại (cực tiểu) f(x_o) nói chung không phải là GTLN (GTNN) của f(x) trên tập hợp D.

- Hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập hợp D. Hàm số cũng có thể không có điểm cực trị.

- x_o là một điểm cực trị của hàm số f(x) thì điểm (x_o ; f(x_o)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f(x) .

4. Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a; b) chứa điểm x_o ; f ‘(x_o) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x_o

a) Nếu f ”(x_o) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x_ob) Nếu f ”(x_o) < 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x_o

Lưu ý:

- Không cần xét hàm số f(x) có hay không có đạo hàm tại điểm x = x_o nhưng không thể bỏ qua điều kiện hàm số liên tục tại điểm x_o.

B. CÁC KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CƠ BẢN.

1. Quy tắc tìm cực trị của hàm số.

Quy tắc 1.

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Tính f '(x) . Tìm các điểm tại đó f '(x) bằng 0 hoặc f '(x) không xác định.

Bước 3: Lập bảng biến thiên.

Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2.

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 3: Tính f ”(x) và f ”(x_i ) .

Bước 4: Dựa vào dấu của f ”(x_i ) suy ra tính chất cực trị của điểm x_i .

2. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm số bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ ($a\ne 0$).

- Ta có $y^{\text{'}}=3a{x}^2+2bx+c$

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt .

$\iff b^2-3ac>0$

Và không có cực trị ⇔Δ’ = b² − 3ac ≤ 0

- Cho hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có hai điểm cực trị phân biệt là A, B . Khi đó:

Phương trình đường thẳng AB : y = $\frac{2}{3}$(c -$\frac{2b}{3a}$ )x + (d -$\frac{bc}{9a}$)

Độ dài đoạn thẳng AB = $\sqrt{\frac{4e+16e^3}{a}}$ với e = $\frac{b^2-3ac}{9a}$

Hoặc khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị liên quan tới: $y-\frac{y^{\text{'}}.y^{\text{'}\text{'}}}{18a}$ (CASIO hỗ trợ).

3. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm trùng phương.

Cho hàm số: $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ ($a\ne 0$) có đồ thị là (C) .

Ta có $y^{\text{'}}=4a{x}^3+2bx;$

$y^{\text{'}}=0\iff \begin{array}{l}x=0\\ x^2=-\frac{b}{2a}\end{array}$

(C) có ba điểm cực trị y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt $\iff -\frac{b}{2a}>0$ hay ab < 0

Hàm số có 3 cực trị là:

$A(0;c),B\left(-\sqrt{-\frac{b}{2a}};-\frac{\Delta }{4a}\right),C\left(\sqrt{-\frac{b}{2a}};-\frac{\Delta }{4a}\right)$ .

Độ dài các đoạn thẳng:

$AB=AC=\sqrt{\frac{b^4}{16a^2}-\frac{b}{2a}},BC=2\sqrt{-\frac{b}{2a}}$ .

C. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

Dạng 1. Tìm các điểm cực trị của hàm số.

1. Phương pháp giải.

Quy tắc 1: Áp dụng định lý 2

- Tìm f’(x)

- Tìm các điểm x_i (i = 1, 2, 3,…) tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm

- Xét dấu của f’(x). Nếu f’(x) đổi dấu khi x qua điểm x_o thì hàm số có cực trị tại điểm x_o

Quy tắc 2: Áp dụng định lý 3

- Tìm f’(x)

- Tìm các nghiệm x_i (i = 1, 2, 3,…) của phương trình f ‘(x) = 0

- Với mỗi x_i tính f ”(x_i)

- Nếu f ”(x_i) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x_i

- Nếu f ”(x_i) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x_i

2. Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1. (Đề thi THPTQG năm 2021) Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực đại của hàm số đã cho là

A. 3

B. -1

C. -5

D. 1

Lời giải

Dựa vào bảng biến thiên, giá trị cực đại của hàm số là $y=f(-1)=3$.

Chọn A.

Ví dụ 2.

A. 2

B. 3

C. 4

D. 1

Lời giải

$f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff x\left(x+1\right){\left(x-4\right)}^3=0\iff \begin{array}{l}x=0\\ x=-1\\ x=4\end{array}$

Lập bảng biến thiên của hàm số

Vậy hàm số đã cho có một điểm cực đại.

Chọn D.

Ví dụ 3. (Đề tốt nghiệp 2020 - Đợt 1 Mã đề 101) Cho hàm số bậc bốn có bảng biến thiên như sau:

Số điểm cực trị của hàm số là

A. 11

B. 9

C. 7

D. 5

Lời giải

Ta chọn hàm $f\left(x\right)=5x^4-10x^2+3$.

Đạo hàm

$\Rightarrow$Phương trình có bốn nghiệm phân biệt khác 0.

$\Rightarrow$Phương trình có bốn nghiệm phân biệt khác 0 và khác các nghiệm của phương trình ( *)

Vậy số điểm cực trị của hàm số g(x) là 9.

Chọn B.

Ví dụ 4.

A. $y=x-1.$

B. $y=x+1.$

C. $y=-x+1.$

D. $y=-x-1.$

Lời giải

Ta có :

$y^{\text{'}}=-6x^2+6x;y^{\text{'}}=0\iff \begin{array}{l}x=0\Rightarrow y=1\\ x=1\Rightarrow y=2\end{array}.$

Suy ra đồ thị hàm số đã hai điểm cực trị là A(0;1) và B(1;2).

Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị chính là đường thẳng AB có phương trình $y=x+1.$

Chọn B.

Cách 2. Lấy chia cho , ta được :

$\iff y=\frac{1}{3}\left(x-\frac{1}{2}\right)y^{\text{'}}+x+1$

Suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là phần dư trong phép chia, đó là $y=x+1$

3. Bài tập tự luyện.

Câu

A. Nếu f(x) đồng biến trên (a,b) thì hàm số không có cực trị trên (a,b).

B. Nếu f(x) nghịch biến trên (a,b) thì hàm số không có cực trị trên (a,b).

C. Nếu f(x) đạt cực trị tại điểm $x_0\in \left(a;b\right)$ thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)$ song song hoặc trùng với trục hoành.

D. Nếu f(x) đạt cực đại tại $x_0\in \left(a;b\right)$ thì f(x) đồng biến trên $\left(a;x_0\right)$ và nghịch biến trên $\left(x_0;b\right)$.

Câu 2.

A. Nếu f(x) không có đạo hàm tại $x_0$ thì f(x) không đạt cực trị tại $x_0$.

B. Nếu $f\text{'}\left(x_0\right)=0$ thì f(x) đạt cực trị tại điểm $x_0$.

C. Nếu $f\text{'}\left(x_0\right)=0$ và $f\text{'}\text{'}\left(x_0\right)=0$ thì f(x) không đạt cực trị tại điểm $x_0$.

D. Nếu $f\text{'}\left(x_0\right)=0$ và $f\text{'}\text{'}\left(x_0\right)\ne 0$ thì f(x) đạt cực trị tại điểm $x_0$.

Câu 3. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu $f\text{'}\left(x\right)$ đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm $x_0$ và f(x) liên tục tại $x_0$ thì hàm số y= f (x) đạt cực đại tại điểm $x_0$.

B. Hàm số y= f (x) đạt cực trị tại $x_0$ khi và chỉ khi $x_0$ là nghiệm của $f\text{'}\left(x\right)=0.$

C. Nếu $f\text{'}\left(x_0\right)=0$ và $f\text{'}\text{'}\left(x_0\right)=0$ thì $x_0$ không là điểm cực trị của hàm số y= f (x).

D. Nếu $f\text{'}\left(x_0\right)=0$ và $f\text{'}\text{'}\left(x_0\right)>0$ thì hàm số đạt cực đại tại $x_0$.

Câu 4.

A. Nếu $f\text{'}\left(x_0\right)=0$ và $f\text{'}\text{'}\left(x_0\right)>0$ thì $x_0$ là điểm cực tiểu của hàm số.

B. Nếu $f\text{'}\left(x_0\right)=0$ và $f\text{'}\text{'}\left(x_0\right)<0$ thì $x_0$ là điểm cực đại của hàm số.

C. Nếu $f\text{'}\left(x_0\right)=0$ và $f\text{'}\text{'}\left(x_0\right)=0$ thì $x_0$ không là điểm cực trị của hàm số.

D. Nếu $f\text{'}\left(x_0\right)=0$ và $f\text{'}\text{'}\left(x_0\right)=0$ thì chưa kết luận được $x_0$ có là điểm cực trị của hàm số.

Câu 5.

Điểm cực đại của hàm số đã cho là

A. x = 3

B. x = 2

C. x = -2

D. x = -1

Câu 6. (Đề tốt nghiệp 2020-Đợt 1 Mã đề 101) Cho hàm f(x) có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng

A. 3

B. -5

C. 0

D. 2

Câu 7. (Đề tốt nghiệp 2020-Đợt 1 Mã đề 101) Cho hàm số f(x) liên tục trên $ℝ$ và có bảng xét dấu của $f^{\text{'}}\left(x\right)$ như sau:

Số điểm cực đại của hàm số đã cho là

A. 4

B. 1

C. 2

D. 3

Câu 8.

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 5

B. 3

C. 2

D. 4.

Câu 9.

A. –1

B. –2.

C. 1.

D. 0.

Câu 10.

A. 0

B. 2

C. 1

D. 3

Câu 11.

Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 0.

B. 1.

C. 3.

D. 2.

Câu 12.

Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Câu 13.

A. $x=\frac{1}{3}$

B. 5

C. 3

D. 0

Câu 14.

A.4.

B. 1.

C. 0.

D. 3.

Câu 15.

A. 3.

B. 0.

C. 1.

D. 2.

Câu 16.

A. 13

B. 32

C. 4

D. 36

Câu 17.

A. T= 8

B. T=4

C. T=-11

D. T=3

Câu 18.

A. $y=-x^4-3x^2+4$

B. $y=x^3-6x^2+9x-5$

C. $y=x^3-3x^2+3x-5$

D. $y=2x^4-4x^2+1$

Câu 19.

A. $y=2x^4-4x^2+1.$

B. $y={(x^2+1)}^2.$

C. $y=x^3-6x^2+9x-5.$

D. $y=-x^4-3x^2+4.$

Câu 20.

A. 2

B. 4

C. 3

D. 5.

Câu 21.

A. P=-302

B. P=- 82

C. P=-207

D.P= 25

Câu 22.

A. $d=2\sqrt{5}$

B. $d=2$

C. $d=4$

D. $d=5\sqrt{2}$.

Câu 23.

Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

A. Phương trình $y^{\text{'}}=0$ vô nghiệm trên tập số thực.

B. Phương trình $y^{\text{'}}=0$ có đúng một nghiệm thực.

C. Phương trình $y^{\text{'}}=0$ có đúng hai nghiệm thực phân biệt.

D. Phương trình $y^{\text{'}}=0$có đúng ba nghiệm thực phân biệt.

Câu 24.

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số có hai điểm cực đại, một điểm cực tiểu.

B. Hàm số có một điểm cực đại, không có điểm cực tiểu.

C. Hàm số có một điểm cực đại, hai điểm cực tiểu.

D. Hàm số có một điểm cực đại, một điểm cực tiểu.

Câu 25*.

Hàm số $y=\left.f\left(x\right)\right|$ có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 5

B. 3

C. 4

D. 2

Câu 26

A. $P(1;0)$

B. $M(0;-1)$

C. $N(1;-10)$

D. $Q(-1;10)$

Câu 27.

A. $60°$

B. $S=\frac{10}{3}$

C. $V=\frac{9a^3}{8}$

D. $V=\frac{a^3}{8}$

Câu 28.

A. $2\sqrt{5}$

B. 2.

C. 4.

D. $5\sqrt{2}$.

Câu 29. Trong các đường thẳng dưới đây, đường thẳng nào đi qua trung điểm đoạn thẳng nối các điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+1$?

A. $y=2x-3$

B. $y=-\frac{x}{3}+\frac{1}{3}$

C. $y=2x+3$

D. $y=-2x-1$.

Câu 30.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4.

Câu 31.

A. 8.

B. - 8

C. 0.

D. $\frac{1}{2}$.

Câu 32.

A. $x_{\text{CD}}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

B. $x_{\text{CT}}=-\frac{\pi }{3}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

C. $x_{\text{CD}}=\frac{\pi }{6}+k\pi ;x_{\text{CT}}=-\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

D. $x_{\text{CD}}=\frac{\pi }{3}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Câu 33.

A. $\frac{5\pi }{6}+\sqrt{3}$

B. $\frac{5\pi }{6}-\sqrt{3}$

C. $\frac{\pi }{6}+\sqrt{3}$

D. $\frac{\pi }{6}-\sqrt{3}$.

Câu 34.

A. $x=\frac{5\pi }{6}$ là một nghiệm của phương trình.

B. Trên khoảng $\left(0;\pi \right)$ hàm số có duy nhất một cực trị.

C. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=\frac{5\pi }{6}$.

D. $y+y\text{'}\text{'}=0,\forall x\in ℝ$.

Câu 35.

A. 15mg.

B. 30mg.

C. 40mg.

D. 20mg.

Câu 36. Hỏi hàm số $y={\left.x\right|}^3-3x+1$ có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

A. Không có điểm cực trị.

B. Có một điểm cực trị.

C. Có hai điểm cực trị.

D. Có ba điểm cực trị.

Đáp án

Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị.

1. Phương pháp.

Sử dụng định lí 2 và định lí 3

a, Cực trị của hàm số bậc ba:

Cho hàm số y = ax³ + bx² + cx + d, a ≠ 0.

y’ = 0 ⇔ 3ax² + 2bx + c = 0 (1) ; Δ’_y’ = b² – 3ac

- Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số đã cho không có cực trị.

→ Hàm số bậc 3 không có cực trị ⇔ b² – 3ac ≤ 0

- Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì hàm số đã cho có 2 cực trị.

→ Hàm số bậc 3 có 2 cực trị ⇔ b² – 3ac > 0

b, Cực trị của hàm số bậc bốn trùng phương:

Cho hàm số: y = ax⁴ + bx² + c (a ≠ 0) có đồ thị là (C).

y' = 4ax³ + 2bx; y' = 0

⇔ $\begin{array}{l}x=0\\ x^2=-\frac{b}{2a}\end{array}$

- Nếu (C)có một điểm cực trị thì y' = 0 có 1 nghiệm x = 0 ⇔ -b/2a ≤ 0 ⇔ ab ≥ 0.

- Nếu (C)có ba điểm cực trị thì y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ -b/2a > 0 ⇔ ab < 0.

Chú ý

* Hàm số f (xác định trên D) có cực trị ⇔ ∃ x_o ∈ D thỏa mãn hai điều kiện sau:

- Tại đạo hàm của hàm số tại x_o phải bằng 0 hoặc hàm số không có đạo hàm tại x_o

- f ‘(x) phải đổi dấu qua điểm x_o hoặc f ”(x_o) ≠ 0.

2. Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1.

A. $m\in \left(0;2\right)$

B. $m\in \left(-\infty ;0\right)\cup \left(8;+\infty \right)$.

C. $m\in \left(-\infty ;0\right)\cup \left(2;+\infty \right)$ q

D. $m\in \left(0;8\right)$.

Lời giải

Ta có $y\text{'}=3x^2-6mx+6m$

$=3\left(x^2-2mx+2m\right)$

Để hàm số có hai điểm cực trị $\iff x^2-2mx+2m=0$ có hai nghiệm phân biệt

$\iff \Delta \text{'}=m^2-2m>0\iff \begin{array}{l}m<0\\ m>2\end{array}.$

Chọn C.

Ví dụ 2.

A. a,b cùng dấu và c bất kì.

B. a,b trái dấu và c bất kì.

C. b=0 và a,c bất kì.

D. c=0 và a,b bất kì.

Lời giải

Ta có :

$y\text{'}=4a{x}^3+2bx=2x\left(2a{x}^2+b\right);y\text{'}=0\iff \begin{array}{l}x=0\\ x^2=-\frac{b}{2a}\end{array}.$

Để hàm số có ba điểm cực trị $\iff x^2=-\frac{b}{2a}$ có hai nghiệm phân biệt khác 0

$\iff -\frac{b}{2a}>0\iff ab<0$

Khi đó a,b trái dấu và c bất kì.

Chọn B.

Ví dụ 3.

A. $m>0.$

B. $m\ge 0.$

C. $-1<m<0.$

D. $m>-1.$

Lời giải

TH1. Với $a=0\iff m=0$, khi đó $y=x^2+1$ có đồ thị là một parabol có bề lõm quay lên nên hàm số có duy nhất một điểm cực tiểu.

$\underset{}{\to }m=0$ thỏa mãn.

Chọn D.

Nhận xét. Bài toán hỏi hàm số có một điểm cực tiểu nên hàm số có thể có điểm cực đại hoặc không có điểm cực đại. Khi nào bài toán hỏi hàm số có đúng một cực tiểu và không có cực đại thì lúc đó ta chọn đáp án B.

Ví dụ 4.

A. m=0

B. m= 1

C. m=2

D. m=3.

Lời giải

Chọn C.

Ví dụ 5.

A. $N\left(2;21\right).$

B. $N\left(-2;21\right).$

C. $N\left(-2;11\right).$

D. $N\left(2;6\right).$

Lời giải

Suy ra N(-2;21) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

Chọn B.

3. Bài tập tự luyện.

Câu 1.

A. m = -1

B. m = 2

C. m = -2

D. m = 1

Câu 2.

A. m = 1

B. m = 2

C. m = -2

D. m = 0

Câu 3.

A. $\begin{array}{l}a=-3\\ b=-1\\ c=-5\end{array}.$

B. $\begin{array}{l}a=2\\ b=-4\\ c=-3\end{array}.$

C. $\begin{array}{l}a=2\\ b=4\\ c=-3\end{array}.$

D. $\begin{array}{l}a=-2\\ b=4\\ c=-3\end{array}.$

Câu 4.

A. $a<0,b<0$

B. $a<0,b>0$

C. $a>0,b<0$

D. $a>0,b>0$

Câu 5.

A. $a<0,b\le 0$

B. $a<0,b>0$

C. $a>0,b<0$

D. $a>0,b\ge 0$

Câu 6.

A. $m=0.$

B. $m>0.$

C. $m<0.$

D. $m\ne 0.$

Câu 7.

A. - 14.

B. 14.

C. - 20.

D. 34.

Câu 8.

A. $-3;-1;-5$

B. $2;-4;-3$

C. $2;4;-3$

D. $-2;4;-3$

Câu 9.

A. $m<0$

B. $m=0$

C. $m\in ℝ$

D. $m>0$

Câu 10.

A. -1

B. -3

C. 1

D. 3 .

Câu 11.

A. 5.

B. -6

C. 6.

D. -5.

Câu 12.

A. 3.

B. $\frac{\sqrt{3}}{3}+1$

C. $\sqrt{3}+1$

D. $\sqrt{3}-1$

Câu 13.

A. $m\in \left(-\infty ;1\right]$

B. $m\in \left(-\infty ;0\right)\cup \left(0;1\right)$

C. $m\in \left(-\infty ;0\right)\cup \left(0;1\right]$

D. $m\in \left(-\infty ;1\right)$

Câu 14.

A. $ab>0$

B. $ab<0$

C. $ab\ge 0$

D. $ab\le 0$.

Câu 15.

A. m=3

B. m=3, m=0.

C. m=0

D. $m\ne 3$

Câu 16.

A. $y\left(-2\right)=2$

B. $y\left(-2\right)=22$

C. $y\left(-2\right)=6$

D. $y\left(-2\right)=-18$

Câu 17.

A. $a+c=b$

B. $2a-b=0$

C. $3a+c=2b$

D. $3a+2b+c=0$

Câu 18.

A. m=0

B. m=-2

C. m=0, m=-2

D. m=0, m= 2

Câu 19.

A. $x_2=\frac{1}{4}$

B. $x_2=\frac{1}{3}$

C.$x_2=-\frac{1}{3}$

D. $x_2=-2m-6.$

Câu 20.

A. m=0, m=2

B. m=2

C. m=1

D. m=0

Câu 21.

A. $0<m<2$

B. $\begin{array}{l}m<0\\ m>8\end{array}$

C. $\begin{array}{l}m<0\\ m>2\end{array}.$

D.$0<m<8$

Câu 22. Hàm số $y=\frac{m}{3}{x}^3+x^2+x+2017$ có cực trị khi và chỉ khi:

A. $m\le 1$

B. $\begin{array}{l}m<1\\ m\ne 0\end{array}$

C. $\begin{array}{l}m\le 1\\ m\ne 0\end{array}$

D. $m<1$

Câu 23.

A. ab >0.

B. ab < 0.

C. ab ≥ 0.

D. ab ≤ 0.

Câu 24.

A. m = 3.

B. m = 0 hoặc m = 3.

C. m = 0.

D. m ≠3.

Câu 25.

A. m = 0.

B. m = 1.

C. m = 2.

D. m = 3.

Câu 26.

A. m = 0.

B. m = 3.

C. m = 5.

D. m = 1.

Câu 27.

A. $m=0.$

B. $m>0.$

C. $m<0.$

D. $m\ne 0.$

Câu 28.

A. $m\in \left.1;+\infty \right)$

B. $m\in \left(-\infty ;0\right]$

C. $m\in \left.0;1\right]$

D. $m\in \left(-\infty 0\right]\cup \left.1;+\infty \right)$

Câu 29. Cho hàm số $y=x^3-3x^2-9x+m$. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

A. $y=-8x+m$

B. $y=-8x+m-3$

C. $y=-8x+m+3$

D. $y=-8x-m+3$

Câu 30.

A. $S=-14$

B. $S=14$

C. $S=-20$

D. $S=34$

Đáp án

Dạng 3: Tìm điều kiện để các điểm cực trị của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước.

1. Phương pháp giải.

a, Hàm số bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0, a, b, c, d phụ thuộc vào tham số)Bước 1: Tính y’ = 3ax² + 2bx + c, y’ = 0 ⇔ 3ax² +2bx + c = 0 (1)

Để hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt

⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt

⇔ Giá trị tham số thuộc miền D nào đó (*)

Bước 2: Từ điều kiện cho trước dẫn tới một phương trình hoặc một bất phương trình theo tham số, giải phương trình này ta được tham số sau đó đối chiếu với điều kiện (*) và kết luận.

Một số điều kiện thường gặp: (Không dùng dấu tương đương như vậy)

- Để hàm số y = f(x) có 2 cực trị ⇔ a ≠ 0, Δy′ > 0 hoặc a ≠ 0, Δ_y′ > 0

- Để hàm số y = f(x) có 2 cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành ⇔ y_CD.y_CT < 0

- Để hàm số y = f(x) có 2 cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung ⇔ x_CD.x_CT < 0

- Để hàm số y = f(x) có 2 cực trị nằm phía trên trục hoành ⇔ y_CD+y_CT > 0 và y_CD.y_CT > 0

- Để hàm số y = f(x) có 2 cực trị nằm phía dưới trục hoành ⇔ y_CD+y_CT < 0 và y_CD.y_CT > 0

- Để hàm số y = f(x) có cực trị tiếp xúc với trục hoành ⇔ y_CD.y_CT = 0

- Đồ thị có 2 điểm cực trị khác phía đối với đường thẳng d: Ax + By + C = 0

+ Gọi M₁(x₁; y₁) và M₂(x₂; y₂) là cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số.

+ Gọi t₁ và t₂ là các giá trị khi thay M₁ và M₂ vào đường thẳng d:

t₁ = Ax₁ + By₁ + C; t₂ = Ax₂ + By₂ + C

+ Đồ thị có 2 điểm cực đại, cực tiểu nằm ở hai phía của đường thẳng d:

⇔ y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và t₁t₂ < 0

+ Đồ thị có 2 điểm cực đại, cực tiểu nằm ở cùng một phía của đường thẳng d:

⇔ y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và t₁t₂ > 0

Chú ý: Khi thay đường thẳng d bằng trục Ox, Oy hoặc đường tròn thì vẫn áp dụng kết quả trên. Với các điều kiện khác thì tuỳ từng trường hợp.

b, Hàm trùng phương $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ . Khi đó:

- Xét trường hợp có ba cực trị $\to$ toạ độ các điểm cực trị

+ Đồ thị hàm số $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ cắt trục hoành tại điểm lập thành một cấp số cộng thì điều kiện là $\begin{array}{l}ac>0\\ ab<0\\ b^2=\frac{100}{9}ac\end{array}.$

2. Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1.

A. $m=-\frac{1}{2}.$

B. $m=\frac{3}{2}.$

C.$m=\frac{1}{4}.$

D. $m=\frac{3}{4}.$

Lời giải

Xét hàm $y=x^3-3x^2+1$, có:

$y^{\text{'}}=3x^2-6x\stackrel{}{\to }{y}^{\text{'}}=0\iff \begin{array}{l}x=0\to y\left(0\right)=1\\ x=2\to y\left(2\right)=-3\end{array}.$

Suy ra $A\left(0;1\right),B\left(2;-3\right)$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Suy ra đường thẳng AB có một VTCP là $\overrightarrow{AB}=\left(2;-4\right)\stackrel{}{\to }$VTPT $\overrightarrow{n_{AB}}=\left(2;1\right).$

Đường thẳng $d:y=\left(2m-1\right)x+3+m$ có một VTCP là $\overrightarrow{n_d}=\left(2m-1;-1\right).$

Yêu cầu bài toán $\iff \overrightarrow{n_{AB}}.\overrightarrow{n_d}=0$

$\iff 2.\left(2m-1\right)-1=0\iff m=\frac{3}{4}.$

Chọn D.

Ví dụ 2.

A. $m=-\frac{2}{3}$

B. $m=\frac{2}{3}$

C. $m=-\frac{1}{3}$

D. $m=\frac{1}{3}$.

Lời giải

Ta có

Chọn D.

Cách áp dụng công thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị $ab<0\iff m>-\frac{1}{3}.$

Yêu cầu bài toán:

$G\equiv O\stackrel{}{\to }{b}^2-6ac=0\iff {\left(3m+1\right)}^2-6.\frac{1}{4}.2\left(m+1\right)=0\iff \begin{array}{l}m=\frac{1}{3}\left(tm\right)\\ m=-\frac{2}{3}\left(loai\right)\end{array}.$

3. Bài tập tự luyện.

Câu 1.

A. $m=-\frac{1}{2}$

B. $m=\frac{1}{2}$

C. $m=\frac{3}{2}$

D. $m=-\frac{3}{2}$.

Câu 2.

A. $m\le 0$

B. $m=2$

C. $m>0$

D. $m\le 0$ hoặc $m=2$.

Câu 3.

A. $m=\pm 4$

B. $m=\sqrt{2}$

C. $m=4$

D. $m=\pm \sqrt{2}$

Câu 4.

A. m = -1

B. m = -0

C. m = 1

D. Đáp án khác.

Câu 5.

A. $m=-\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$

B. m = - 1

C. $m=\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$

D. m = 1.

Câu 6.

A. $m=-\frac{2}{3}$

B. $m=\frac{2}{3}$

C. $m=-\frac{1}{3}$

D. $m=\frac{1}{3}$

Câu 7.

A. $m>0$

B. $m<1$

C. $0<m<\sqrt[3]{4}$

D. $0<m<1$

Câu 8. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $f\left(x\right)=2x^3-3x^2-m$ có các giá trị cực trị trái dấu:

A. – 1 và 0.

B. (-∞;0) và (-1;+ ∞).

C. (-1;0).

D. [0;1].

Câu 9. Cho hàm số $y=2x^3-3\left(m+1\right)x^2+6mx+m^3$. Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho độ dài AB = $\sqrt{2}$.

A. m = 0.

B. m = 0 hoặc m = 2

C. m = 1.

D. m = 2.

Câu 10.

A. $m=0$

B. $m=\pm \frac{9}{2}$

C. $m=\pm \frac{1}{2}$

D. $m=\pm 2$

Câu 11.

A. $m=\frac{3}{2}$

B. $m=\frac{3}{4}$

C. $m=-\frac{1}{2}$

D. $m=\frac{1}{4}$

Câu 12.

A. $m=-\frac{1}{\sqrt[4]{2}};m=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$

B. $m=-1,m=1$

C. $m=1$

D. $m\ne 0$

Câu 13.

A. m = -1.

B. m ≠ -1.

C. $m=-\frac{3}{2}$

D. Không có giá trị m.

Câu 14. Giá trị của m để khoảng cách từ điểm M(0;3) đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=x^3+3mx+1$ bằng $\frac{2}{\sqrt{5}}$ là:

A. $\begin{array}{l}m=1\\ m=-1\end{array}$

B. $m=-1$.

C. $\begin{array}{l}m=-1\\ m=3\end{array}$

D. Không tồn tại m.

Câu 15. Cho hàm số $y=2x^3+3\left(m-1\right)x^2+6\left(m-2\right)x-1$. Xác định m để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm trong khoảng (-2;3).

A. $m\in \left(-1;3\right)\cup \left(3;4\right)$

B. $m\in \left(1;3\right)$

C. $m\in \left(3;4\right)$

D. $m\in \left(-1;4\right)$.

Câu 16.

A. $m>1$

B. $m<1$

C. $m>-1$

D. $m<-1$.

Câu 17.

A. m > 2.

B. m < 2.

C. m = 2.

D. 0 < m < 2.

Câu 18.

A. $m>0$

B. $m<1$

C. $\begin{array}{l}m<0\\ m>1\end{array}$

D. $0<m<1$.

Câu 19.

A. a + 1.

B. a.

C. a – 1.

D. 1.

Câu 20.

A. 2.

B. - 1.

C. 1.

D. 0.

Câu 21.

A. $m=1$

B. $m=-2$

C. $m=-1$

D. $m=2$

Câu 22.

A. $m<2$.

B. $m\le 3$

C. $m<3$

D. $m\le 2$

Câu 23.

A. $m\le \frac{1}{2}$

B. $m>1$

C. $\begin{array}{l}m>\frac{1}{2}\\ m\ne 1\end{array}$

D. $\begin{array}{l}m>1\\ m\ne \frac{1}{2}\end{array}$

Câu 24.

A. $a>0,b<0,c>0$

B. a và c trái dấu.

C. $b^2-12ac\ge 0$

D. $b^2-12ac>0$.

Câu 25.

A. $m=0$

B. $m=-1$

C. $m=1$

D. $m=2$

Câu 26.

A. $m=0$

B. $m=\sqrt{2}$

C. $m=-\sqrt{2}$

D. $m=\pm \sqrt{2}$

Câu 27.

A. $m=-1.$

B. $m>0.$

C. $m=\frac{1}{2}.$

D. $m=0.$

Câu 28.

A. $m=-\frac{1}{2}.$

B. $m=\frac{1}{2}.$

C. $m=0$

D. $m=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Câu 29.

A. 2

B. 1

C. 0

D. 4

Câu 30.

A. $m=\pm 2$

B. $m=2$

C. $m>0$

D. $m=-2$, $m>0$.

Câu 31.

A. $m=\pm 4$

B. $m=\sqrt{2}$

C. $m=4$

D. $m=\pm \sqrt{2}$.

Câu 32.

A. $m=-1$

B. $m=0$

C. $m=1$

D. $m>-1$.

Câu 33.

A. $m=-\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$

B. $m=-1$

C. $m=\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$

D. $m=1$.

Câu 34.

A. $m=-2018.$

B. $m=-2017$

C. $m=2017$

D. $m=2018.$

Câu 35. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số $y=x^4-2m{x}^2$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1.

A. $m>0.$

B. $m<1.$

C. $0<m<\sqrt[3]{4}.$

D. $0<m<1.$

Câu 36.

A. $m=-2.$

B. $m=1.$

C. $m=2.$

D. $m=4$

Đáp án