Công thức tính lãi suất ngân hàng – Toán 12

Công thức tính lãi suất ngân hàng Toán 12 chi tiết nhất - Toán lớp 12

1. Định nghĩa

a. Lãi đơn: Số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra. Tức là tiền lãi của kì hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp.

b. Lãi kép: Nếu đến kì hạn mà người gửi không rút tiền lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kì hạn kế tiếp.

2. Các dạng toán

a. Lãi đơn

- Bài toán: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r% / kì hạn. Số tiền khách nhận được cả vốn lẫn lãi sau n, $\left(n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$ kì hạn là?

Lời giải:

Theo định nghĩa của lãi đơn, số tiền lãi là A.r

Suy ra số tiền lãi sau n kì hạn là A.r.n

Vậy số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn là $S_n=A+A.r.n=A\left(1+nr\right)$

VD1.

Lời giải:

Áp dụng công thức với A= 20 triệu; $r=5\%$ và n=7  ta được

Số tiền bác An nhận được sau 7 năm là: $S_7=20.\left(1+7.5\%\right)=27$ triệu.

VD2.

Lời giải:

Gọi n là số kì hạn

Theo bài ta có :

 $S_n\ge 12$

$\iff 10\left(1+n.1,5\%\right)\ge 12\iff n\ge 13,3$

Vậy sau ít nhất 14 quý (48 tháng) thì anh Bình rút được 12 triệu.

b. Lãi kép

- Bài toán: Khách hàng gửi A đồng với lãi kép r% / kì hạn thì số tiền khách nhận được cả vốn lẫn lãi sau n, $\left(n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$ kì hạn là bao nhiêu?

Lời giải:

- Sau kì hạn đầu tiên có cả vốn lẫn lãi là:

$S_1=A+A.r=A\left(1+r\right)$

- Sau kì hạn thứ hai có cả vốn lẫn lãi là:

$S_2=S_1+S_1.r=A\left(1+r\right)+A\left(1+r\right).r=A{\left(1+r\right)}^2$

- Sau kì hạn thứ n có cả vốn lẫn lãi là:

$S_n=A{\left(1+r\right)}^n$

VD1.

Lời giải:

Áp dụng công thức tính lãi kép với $A=50$; $r=5\%$; $n=10$ ta được:

Số tiền anh Tâm rút về là: $S_{10}=50{\left(1+5\%\right)}^{10}\approx 81,44$ triệu đồng.

VD2.

Lời giải:

Gọi số tiền ông Phú cần gửi là A

Số tiền cả gốc lẫn lãi sau 4 năm ông có là:

$S_4=A{\left(1+6,05\%\right)}^4$

Theo bài ta có:

$A{\left(1+6,05\%\right)}^4=17$

$\iff A=\frac{17}{{\left(1+6,05\%\right)}^4}\approx 13,44$ triệu.

c. Tiền gửi hàng tháng

- Bài toán: Đầu mỗi tháng khách hàng gửi ngân hàng số tiền A đồng, lãi kép r%/tháng. Số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n tháng, $\left(n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$ (nhận tiền cuối tháng, khi ngân hàng đã tính lãi) là bao nhiêu?

Lời giải:

- Cuối tháng 1 có số tiền là $T_1=A\left(1+r\right)$

- Đầu tháng 2 có số tiền là $A\left(1+r\right)+A$

$\Rightarrow$ Cuối tháng 2 có số tiền là:

$T_3=A\left(1+r\right)+A+\left.A\left(1+r\right)+A\right].r=A{\left(1+r\right)}^2+A\left(1+r\right)$

- Tương tự cuối tháng n có số tiền là:

Vậy $T_n=\frac{A}{r}\left.{\left(1+r\right)}^{n+1}-\left(1+r\right)\right]$

VD1.

Lời giải:

Áp dụng công thức trên với: $A=0,5$ triệu; $r=0,6\%$ và $n=12$ tháng ta được:

Số tiền chú Ba nhận được là:

$T_{12}=\frac{0,5}{0,6\%}.\left.{\left(1+0,6\%\right)}^{13}-\left(1+0,6\%\right)\right]$

$\approx 6,24$  triệu.

VD2.

0,5%/tháng. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng (khi ngân hàng đã tính lãi) thì anh Tư có số tiền cả gốc lẫn lãi từ 100 triệu trở lên?

Lời giải:

Áp dụng công thức lãi suất với A= 4 triệu; $r=0,5\%$

Số tiền cả gốc lẫn lãi anh Tư nhận được sau n tháng, $\left(n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$ là:

$T_n=\frac{4}{0,5\%}.\left.{\left(1+0,5\%\right)}^{n+1}-\left(1+0,5\%\right)\right]$

$=800.1,{005}^{n+1}-1,005$ triệu

Theo bài ta có:  

$800.1,{005}^{n+1}-804\ge 100\iff 1,{005}^{n+1}\ge 1,13\iff n\ge 23,5$

Vậy sau ít nhất 24 tháng, anh Tư sẽ có số tiền mình muốn.

d. Gửi ngân hàng và rút tiền hàng tháng

- Bài toán: Khách gửi vào A đồng với lãi r%/tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi thì khách rút ra a đồng. Số tiền còn lại sau n tháng là bao nhiêu?

Lời giải:

- Cuối tháng 1 còn lại số tiền là: $T_1=A\left(1+r\right)-a$

- Cuối tháng 2 còn lại số tiền là:

$T_2=A\left(1+r\right)-a+\left.A\left(1+r\right)-a\right].r-a\iff T_2=A{\left(1+r\right)}^2-a\left(1+r\right)-a$

- Tương tự cuối tháng n còn lại số tiền là:

VD.

a. Sau 2 năm thì anh P còn lại bao nhiêu tiền

b. Tính xem bao giờ thì anh P rút được nhiều nhất bao nhiêu tháng.

Lời giải:

a. Áp dụng công thức tính lãi suất với A=200 triệu; a=6 triệu và $r=0,7\%$.

Số tiền anh P còn lại sau 24 tháng là:

3. Luyện tập

Bài 1.

Bài 2.

Bài 3.

Bài 4.

Bài 5.

Bài 6.

Bài 7.