50 bài toán về phương trình mặt phẳng (có đáp án 2024) – Toán 12

I. LÝ THUYẾT

1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Cho mặt phẳng $\left(\alpha \right)$. Nếu vectơ $\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}$ và có giá vuông góc với mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ thì $\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến (VTPT) của $\left(\alpha \right)$.

Chú ý:

+) Nếu $\overrightarrow{n}$ là một VTPT của mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ thì $k\overrightarrow{n}\text{\hspace{0.17em}}$$(k\ne 0)$ cũng là một VTPT của mặt phẳng $\left(\alpha \right)$.

+) Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu biết một điểm nó đi qua và một VTPT của nó.

+) Nếu $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ thì $\overrightarrow{n}=\text{[}\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\text{]}$ là một VTPT của $\left(\alpha \right)$.

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Phương trình: Ax + By + Cz + D = 0 với $A^2+B^2+C^2\ne 0$ được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

Nhận xét:

+) Nếu mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một VTPT là $\overrightarrow{n}=(A;B;C)$.

+) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M_0(x_0;y_0;z_0)$ và nhận vectơ $\overrightarrow{n}=(A;B;C)$ khác $\overrightarrow{0}$ làm VTPT là: $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$.

+) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn $\left(\alpha \right):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$. Ở đây $\left(\alpha \right)$ cắt các trục tọa độ tại các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c) với $abc\ne 0$.

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Phương pháp giải:

Cho mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ có phương trình Ax + By + Cz + D = 0.

Khi đó mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ có một VTPT là $\overrightarrow{n}=(A;B;C)$.

Ví dụ 1:

A. $\overrightarrow{n_2}=\left(2;4;0\right)$

B. $\overrightarrow{n_1}=\left(-1;2;0\right)$

C. $\overrightarrow{n_3}=\left(0;2;-4\right)$

D. $\overrightarrow{n_4}=\left(2;-4;5\right)$

Hướng dẫn giải:

Ta có (P): 2x – 4y + 5 = 0 có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(2;-4;0\right)=\frac{-1}{2}\left(-1;2;0\right)$.

Vậy một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow{n_1}=\left(-1;2;0\right)$.

Chọn B.

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng khi đã biết một điểm đi qua và vectơ pháp tuyến

Phương pháp giải:

Cho mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua điểm $M_0(x_0;y_0;z_0)$ và nhận vectơ $\overrightarrow{n}=(A;B;C)$ làm vectơ pháp tuyến. Khi đó phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ là

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

Ví dụ 2:

A. x + 2y + 3z + 4 = 0.

B. x + 2y + 3z – 8 = 0.

C. x – z + 2 = 0.

D. x – z – 4 = 0.

Hướng dẫn giải:

Phương trình mặt phẳng cần tìm là:

1(x – 2) + 2(y – 0) + 3[z – (-2)] = 0

$\iff$x + 2y + 3z + 4 = 0.

Chọn A.

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua điểm M và song song với mặt phẳng (P) cho trước.

Phương pháp giải:

+) Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ song song với mặt phẳng (P) cho trước nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

+) Từ đó viết phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua M và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{\left(\alpha \right)}}=\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}$.

Ví dụ 3:

A. $3x+4y-z-12=0$

B. $3x+4y-z+10=0$

C. $3x+4y-z-10=0$

D. $3x+4y-z+12=0$

Hướng dẫn giải:

$\left(\alpha \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{\left(\alpha \right)}}=\left(3;4;-1\right)$.

Do $\left(Q\right)\text{//}\left(\alpha \right)\Rightarrow \overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}=\left(3;4;-1\right)$

Vì (Q) đi qua A (1; 2; -1) nên phương trình mặt phẳng (Q) là:

3(x – 1) + 4(y – 2) – 1(z + 1) = 0

$\iff$3x + 4y – z – 12 = 0

Chọn A.

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q).

Phương pháp giải:

Gọi $\overrightarrow{n_{\left(\alpha \right)}}$, $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}},\overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(\alpha \right)$, (P), (Q). Vì mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q) nên ta có

$\begin{array}{l}\overrightarrow{n_{\left(\alpha \right)}}\perp \overrightarrow{n_{\left(P\right)}}\\ \overrightarrow{n_{\left(\alpha \right)}}\perp \overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}\end{array}\Rightarrow \overrightarrow{n_{\left(\alpha \right)}}=\left.\overrightarrow{n_{\left(P\right)}},\overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}\right]$

Từ đó viết phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua M và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{\left(\alpha \right)}}$ đã tính phía trên.

Ví dụ 4:

A. 2x – y + 2z = 0

B. 2x + y – 2z = 0

C. 2x + y – 2z + 1 = 0

D. 2x – y – 2z = 0.

Hướng dẫn giải:

Gọi $\overrightarrow{n_1}$, $\overrightarrow{n_2}$, $\overrightarrow{n_3}$ lần lượt là véctơ pháp tuyến của (P), (Q), (R).

Theo bài ra ta có $\overrightarrow{n_1}=\left(3;-2;2\right)$, $\overrightarrow{n_2}=\left(5;-4;3\right)$.

Vì mặt phẳng (R) vuông góc với cả (P) và (Q) nên ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow{n_3}\perp \overrightarrow{n_1}\\ \overrightarrow{n_3}\perp \overrightarrow{n_2}\end{array}\Rightarrow \overrightarrow{n_3}=\left.\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\right]=\left(2;1;-2\right)$

Vì (R) là mặt phẳng đi qua gốc toạ độ O (0; 0; 0) nên phương trình mặt phẳng (R) là:

2(x – 0) + 1(y – 0) – 2(z – 0) = 0

$\iff$2x + y – 2z = 0

Chọn B.

Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P).

Phương pháp giải:

Gọi $\overrightarrow{n_{\left(\alpha \right)}}$, $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ và mặt phẳng (P).

Vì mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) nên ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow{n_{\left(\alpha \right)}}\perp \overrightarrow{n_{\left(P\right)}}\\ \overrightarrow{n_{\left(\alpha \right)}}\perp \overrightarrow{AB}\end{array}\Rightarrow \overrightarrow{n_{\left(\alpha \right)}}=\left.\overrightarrow{n_{\left(P\right)}},\overrightarrow{AB}\right]$

Từ đó viết phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua A (hoặc B) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{\left(\alpha \right)}}$ đã tính phía trên.

Ví dụ 5:

A. 11x + 7y – 2z – 21 = 0.

B. 11x + 7y + 2z + 21 = 0.

C. 11x – 7y – 2z – 21 = 0

D. 11x – 7y + 2z + 21 = 0.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}=(1;3;-5)$, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là $\overrightarrow{n_Q}=(1;1;2)$.

Mặt phẳng (P) đi qua A, B và vuông góc với mặt phẳng (Q) nhận $\left.\overrightarrow{AB},\overrightarrow{n_Q}\right]=(11;-7;-2)$ làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình:

11(x – 2) – 7(y + 1) – 2(z – 4) = 0

$\iff$11x – 7y – 2z – 21 = 0.

Chọn C.

Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua ba điểm A, B, C cho trước.

Phương pháp giải:

Gọi $\overrightarrow{n_{\left(\alpha \right)}}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(\alpha \right)$.

Vì mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua A, B, C nên ta có

$\begin{array}{l}\overrightarrow{n_{\left(\alpha \right)}}\perp \overrightarrow{AB}\\ \overrightarrow{n_{\left(\alpha \right)}}\perp \overrightarrow{AC}\end{array}\Rightarrow \overrightarrow{n_{\left(\alpha \right)}}=\left.\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]$

Từ đó viết phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua A (hoặc B, hoặc C) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{\left(\alpha \right)}}$ đã tính phía trên.

Ví dụ 6:

A. $15x+49y+12z-87=0$

B. $15x+49y-12z-207=0$

C. $15x+49y+12z+87=0$

D. $5x+13y+4z-19=0$

Hướng dẫn giải:

Ta có $\overrightarrow{MN}=\left(1;-3;11\right)$,

$\overrightarrow{ME}=\left(-4;0;5\right)$ nên

$\left.\overrightarrow{MN},\overrightarrow{ME}\right]=\left(-15;-49;-12\right)=-\left(15;49;12\right)$

Suy ra phương trình mặt phẳng (MNE) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(15;49;12\right)$.

Vì mặt phẳng (MNE) đi qua N (1; 0; 6) nên phương trình mặt phẳng (MNE) là

15(x – 1) + 49(y – 0) + 12(z – 6) = 0

$\iff$15x + 49y + 12z – 87 = 0

Chọn A.

Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua ba điểm A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c) $\left(abc\ne 0\right)$ . (Phương trình đoạn chắn).

Phương pháp giải:

Nếu mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua ba điểm A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c) $\left(abc\ne 0\right)$ thì phương trình $\left(\alpha \right)$ có dạng

$\left(\alpha \right):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$

Ví dụ 7:

A. $\frac{\text{x}}{\text{-3}}+\frac{y}{-4}+\frac{z}{2}=1$

B. $\frac{\text{x}}{\text{-3}}-\frac{y}{4}+\frac{z}{-2}=1$

C. $\frac{x}{\text{3}}+\frac{y}{-4}+\frac{z}{2}=1$

D. $\frac{\text{x}}{\text{-3}}+\frac{y}{4}+\frac{z}{-2}=1$

Hướng dẫn giải:

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua 3 điểm A (-3; 0; 0), B (0; 4; 0), C (0; 0; -2), khi đó phương trình mặt phẳng (P) là:

$\frac{\text{x}}{\text{-3}}+\frac{y}{4}+\frac{z}{-2}=1$

Chọn D.

Dạng 8: Trong không gian Oxyz, cho điểm A, B, mặt phẳng (P) qua điểm A, B và tạo với mặt phẳng (Q) một góc bằng $\phi$. Viết phương trình mặt phẳng (P).

Phương pháp giải:

+ Gọi phương trình của mặt phẳng (P) là ax + by + cz + d = 0$\left(a^2+b^2+c^2>0\right)$.

+ Gọi vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt là ${\overrightarrow{n}}_P=\left(a;b;c\right),\overrightarrow{n_Q}$.

+ Mặt phẳng (P) qua A, B nên tọa độ A, B lần lượt thỏa mãn phương trình mặt phẳng (P) tìm được hai mối liên hệ giữa a, b, c, d.

+ Áp dụng điều kiện về góc giữa hai mặt phẳng $\cos \phi =\left.\cos \left(\overrightarrow{n_P};\overrightarrow{n_Q}\right)\right|=\frac{\left.\overrightarrow{n_P}.\overrightarrow{n_Q}\right|}{\left.\overrightarrow{n_P}\right|.\left.\overrightarrow{n_Q}\right|}$, tìm được mối liên hệ giữa a, b, c, d, khử điều kiện để tìm được mối liên hệ giữa a, b (hoặc b, c; a, c).

+ Từ mối liên hệ giữa a, b ta chọn a để tìm b rồi suy ra phương trình mặt phẳng (P).

Ví dụ 8:

A. $\begin{array}{l}y=0\\ 2x-y-2z-2=0\end{array}$

B. $\begin{array}{l}y=0\\ 2x-y-2z+2=0\end{array}$

C. $\begin{array}{l}2x-y-2z+2=0\\ 2x-y-2z-2=0\end{array}$

D. $\begin{array}{l}2x-2z+2=0\\ 2x-2z-2=0\end{array}$

Hướng dẫn giải:

Gọi vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt là ${\overrightarrow{n}}_P=\left(a;b;c\right),$$\overrightarrow{n_Q}$.

Suy ra $\overrightarrow{n_Q}\left(1;-1;0\right)$.

+ Gọi phương trình của mặt phẳng (P) là ax + by + cz + d = 0 $\left(a^2+b^2+c^2>0\right)$.

+ (P) qua M (1; 0; 0) $\Rightarrow$ a + d = 0 (1)

(P) qua N (0; 0; -1) $\Rightarrow$ -c + d = 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra a + c = 0 hay c = -a

+ (P) hợp với (Q) góc ${45}^0$

Với a = 0$\Rightarrow$c = 0, chọn b = 1 ta được phương trình (P): y = 0.

Với a = -2b chọn b = -1 suy ra a = 2, phương trình mặt phẳng (P): 2x – y – 2z – 2 = 0.

Chọn A.

Dạng 9: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A, B, C. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, B đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) bằng d.

Phương pháp giải:

+ Gọi phương trình của mặt phẳng (P) là ax + by + cz + d = 0 $\left(a^2+b^2+c^2>0\right)$.

+ Mặt phẳng (P) qua A, B nên tọa độ A, B lần lượt thỏa mãn phương trình mặt phẳng (P) tìm được hai mối liên hệ giữa a, b, c, d.

+ Áp dụng điều kiện về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng $d\left(C;\left(P\right)\right)=\frac{\left.a{x}_C+b{y}_C+c{z}_C+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=d$ tìm được mối liên hệ giữa a, b, c, d; khử điều kiện để tìm được mối liên hệ giữa a, b (hoặc b, c; a, c).

+ Từ mối liên hệ giữa a, b chọn để tìm b rồi suy ra phương trình mặt phẳng (P).

Ví dụ 9:

A. $\begin{array}{l}5x-y+3z+6=0\\ 7x+5y+z+2=0\end{array}$

B. $\begin{array}{l}x-y+z+2=0\\ 7x+5y+z+2=0\end{array}$

C. $\begin{array}{l}5x-y+3z+6=0\\ x-y+z+2=0\end{array}$

D. $\begin{array}{l}x-y+z-2=0\\ 7x+5y+z-2=0\end{array}$

Hướng dẫn giải:

+ Gọi $\overrightarrow{n}=(a;b;c)\ne \overrightarrow{0}$ là véctơ pháp tuyến của (P).

+ Gọi phương trình của mặt phẳng (P) là ax + by + cz + d = 0 $\left(a^2+b^2+c^2>0\right)$.

+ (P) qua A (-1; 1; 0)$\Rightarrow$ -a + b + d = 0. Suy ra b + d = a (1)

(P) qua B (0; 0; -2) $\Rightarrow$ -2c + d = 0. Suy ra d = 2c (2)

Từ (1) và (2) suy ra b = a – d = a – 2c

phương trình mặt phẳng (P) : x – y + z + 2 = 0.

+ a = 7c chọn a = 7 ; c = 1

$\Rightarrow$ phương trình mặt phẳng (P) : 7x + 5y + z + 2 = 0.

Chọn B.

III. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu 1.

A. $\overrightarrow{n}=\left(2;3;-1\right)$

B. $\overrightarrow{n}=\left(2;3;0\right)$

C. $\overrightarrow{n}=\left(-2;0;-3\right)$

D. $\overrightarrow{n}=\left(2;0;-3\right)$

Câu 2.

A. x – y + z + 5 = 0.

B. x – y + z + 11 = 0.

C. x – y + z – 6 = 0.

D. x – y + z – 9 = 0.

Câu 3. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm M (1; 2; 3) và song song với mặt phẳng (P): x – 2y + z – 3 = 0 có phương trình là

A. x – 2y + z = 0

B. x + 2y + 3z = 0.

C. x – 2y + z + 3 = 0.

D. x – 2y + z – 8 = 0.

Câu 4.

A. 19x + 9y + 11z – 23 = 0.

B. 19x + 15y + 11z – 37 = 0.

C. 19x + 9y + 11z – 31 = 0.

D. -17x + 9y + 11z – 31 = 0.

Câu 5.

A. x – 4y – 2z – 4 = 0

B. x – 4y – 2z + 4 = 0

C. x – 4y + 2z + 4 = 0

D. x + 4y – 2z – 4 = 0.

Câu 6:

A. -2x + y + z – 2 = 0

B. -2x – y – z + 2 = 0.

C. -2x + y – z – 2 = 0

D. -2x + y – z + 2 = 0.

Câu 7:

A. $\frac{x}{5}+\frac{y}{4}+\frac{z}{3}=0$

B. 12x + 15y + 20z + 60 = 0.

C. 12x + 15y + 20z – 60 = 0.

D. $\frac{x}{5}+\frac{y}{4}+\frac{z}{3}-60=0$

Câu 8: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z – 3 = 0 và (Q): x – y + z – 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (R) bằng $\sqrt{2}$.

A. $\begin{array}{l}x-z+2=0\\ x-z-2=0\end{array}$

B. $\begin{array}{l}x-z+4=0\\ x-z-4=0\end{array}$

C. $\begin{array}{l}x-y+2=0\\ x-y-2=0\end{array}$

D. $\begin{array}{l}x-y+4=0\\ x-y-4=0\end{array}$

Câu 9:

A. 3

B. 6

C. 5

D. 4

Câu 10:

A. x + y + z – 15 = 0

B. $\begin{array}{l}x+y+z+3=0\\ x+y+z-15=0\end{array}$

C. x + y + z + 3 = 0

D. $\begin{array}{l}x+y+z+3=0\\ x+y+z-3=0\end{array}$

ĐÁP ÁN

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có đáp án và lời giải chi tiết khác