50 bài toán về thể tích khối lăng trụ (có đáp án 2024) – Toán 12

Ví dụ 1:

A. $\frac{2a^3}{3}$

B. $2a^3$

C. $\frac{a^3}{3}$

D. $a^3$

Lời giải

Chọn D

Ta có chiều cao của lăng trụ là AA’ = 2a.

Diện tích đáy là:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}.a.a=\frac{a^2}{2}$

Thể tích khối lăng trụ là:

$V_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=S_{ABC}.AA\text{'}=\frac{a^2}{2}.2a=a^3$

Ví dụ 2:

A. $\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^3.$

B. $a^3.$

C. $3\sqrt{3}{a}^3.$

D. $\frac{a^3}{2}.$

Lời giải

Chọn A

Dạng 2: Thể tích lăng trụ đứng tứ giác.

Lăng trụ đứng tứ giác có:

(1) Đáy là một tứ giác, có thể là hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi, hình bình hành, hình thang, …

(2) Các mặt bên đều là hình chữ nhật.

(3) Chiều cao là cạnh bên của lăng trụ.

Minh họa:

Xét lăng trụ đứng tứ giác ABCD. A’B’C’D’ có:

+) Đường cao là AA’ (hoặc BB’, CC’, DD’).

+) Đáy là tứ giác ABCD hoặc A’B’C’D’.

Khi đó $V_{ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}}=S_{ABCD}.AA\text{'}$

Ví dụ 3:

A. 8

B. 24

C. 12

D. 16

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Đặt AB = a. Vì đáy là hình vuông $\Rightarrow BD=a\sqrt{2}$

Vì vuông tại B nên $B^{\text{'}}{D}^2=B{B^{\text{'}}}^2+B{D}^2$

$12=a^2+2a^2$

$\iff$a = 2.

Vậy thể tích khối lập phương ABCD. A’B’C’D’ là:

$V_{ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}}=a^3=2^3=8.$

Dạng 3: Thể tích lăng trụ xiên.

Lăng trụ xiên là lăng trụ có cạnh bên không vuông góc với đáy.

Ta phải xác định đường cao của lăng trụ dựa vào các yếu tố mà đề bài đã cho.

Ví dụ 4:

Lời giải

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó $B^{\text{'}}G\perp \left(ABC\right)$

Tam giác B’BG vuông tại G nên góc B’BG là góc nhọn.

BG là hình chiếu vuông góc của đường thẳng BB’ trên (ABC) nên góc giữa BB’ và (ABC) bằng góc giữa BB’ và BG và bằng góc B’BG, bằng $60°$.

Tam giác B’BG vuông tại G nên:

$B^{\text{'}}G=B{B}^{\text{'}}.\sin \widehat{B^{\text{'}}BG}=a.\sin 60°=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$BG=B{B}^{\text{'}}.\cos \widehat{B^{\text{'}}BG}=a.c\text{os}60°=\frac{a}{2}$

Gọi M là trung điểm của AC, ta có

$BM=\frac{3}{2}BG=\frac{3a}{4}.$

Đặt AB = 2x

Vì tam giác ABC vuông tại C ta có :

+) $AC=AB.\cos \widehat{BAC}=2x.\cos {60}^o$

$=x\Rightarrow CM=\frac{x}{2}$

+) $BC=AB.\sin \widehat{BAC}=2x.\sin {60}^0$

$=2x.\frac{\sqrt{3}}{2}=x\sqrt{3}$

Tam giác BCMvuông tại Cnên

$B{M}^2=C{B}^2+C{M}^2\iff \frac{9a^2}{16}={\left(x\sqrt{3}\right)}^2+{\left(\frac{x}{2}\right)}^2=\frac{13x^2}{4}\Rightarrow x=\frac{3a\sqrt{13}}{26}$

Diện tích tam giác ABC là :

$S_{ABC}=\frac{1}{2}.CA.CB=\frac{1}{2}.x.x\sqrt{3}=\frac{9a^2\sqrt{3}}{104}$

Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là $V=B^{\text{'}}G.S_{ABC}=\frac{27a^3}{208}$

IV. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu 1.Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 4a. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. $4a^3$

B. $\frac{16}{3}{a}^3$

C. $\frac{4}{3}{a}^3$

D. $16a^3$

Câu 2.

A. $V=a^3$

B. $V=\frac{3}{2}{a}^3$

C. $V=3a^3$

D. $V=9a^3$

Câu 3:

A.$8a^3$

B.$2a^3$

C.$a^3$

D.$6a^3$

Câu 4: Thể tích khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a là

A. $\frac{\sqrt{2}{a}^3}{3}$

B. $\frac{\sqrt{2}{a}^3}{4}$

C. $\frac{\sqrt{3}{a}^3}{2}$

D. $\frac{\sqrt{3}{a}^3}{4}$

Câu 5:

A. $\frac{\sqrt{2}{a}^3}{2}$

B. $\frac{\sqrt{3}{a}^3}{3}$

C. $\frac{2\sqrt{2}{a}^3}{3}$

D. $\frac{3\sqrt{2}{a}^3}{2}$

Câu 6.

A. $V=\frac{a^3}{6}$

B. $V=\frac{a^3}{3}$

C. $V=\frac{a^3}{2}$

D. $V=a^3$

Câu 7.

Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. $2\sqrt{3}{a}^3$

B. $\sqrt{3}{a}^3$

C. $6\sqrt{3}{a}^3$

D. $3\sqrt{3}{a}^3$

Câu 8: Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, A’C hợp với mặt đáy một góc ${60}^o$. Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ tính theo bằng:

A. $\frac{3a^3}{4}$

B. $\frac{a^3}{4}$

C. $\frac{2a^3}{3}$

D. $\frac{3a^3}{8}$

Câu 9.

A.V = 30

B. V = 60

C. V = 10.

D. V= 20.

Câu 10.

A. $2,26{\text{\hspace{0.17em}m}}^3$

B. $1,61{\text{\hspace{0.17em}m}}^3$

C. $1,33{\text{\hspace{0.17em}m}}^3$

D. $1,50{\text{\hspace{0.17em}m}}^3$

Câu 11:

A. $V=\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

B. $V=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

C. $V=\frac{a^3}{4}$

D. $V=\frac{a^3}{6}$

Câu 12:

A. $\frac{3a^3\sqrt{3}}{4}$

B. $\frac{3a^3}{4}$

C. $\frac{a^3}{4}$

D. $\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

ĐÁP ÁN