Công thức tính diện tích hình nón cụt đầy đủ nhất (diện tích xung quanh, toàn phần, đáy) – Toán 12

Công thức tính diện tích hình nón cụtđầy đủ nhất ( diện tích xung quanh, toàn phần, đáy)- Toán lớp 12

1. Định nghĩa hình nón cụt

- Hình nón cụt được tạo thành khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng (P) song song với đáy. Mặt phẳng (P) chia hình nón lớn ban đầu thành 2 phần:

+ Phần 1 là hình nón nhỏ hơn

+ Phần 2 là hình nón cụt

- Đoạn II’ là đường cao của hình chóp cụt

- AA’ là độ dài đường sinh (l)

- IA là bán kính đường tròn đáy lớn ($r_1$)

- I’A’ là bán kính đường tròn đáy bé. ($r_2$)

2. Diện tích đáy của hình nón cụt

Hình nón cụt có 2 đáy:

- Đáy lớn bán kính $r_1$có diện tích $S_1=\pi {r_1}^2$

- Đáy bé bán kính $r_2$có diện tích $S_2=\pi {r_2}^2$

3. Diện tích xung quanh hình nón cụt

Cho hình nón cụt có độ dài đường sinh là l

Bán kính đáy lớn là $r_1$

Bán kính đáy nhỏ là $r_2$

Khi đó diện tích xung quanh hình nón cụt bằng diện tích xung quanh hình nón lớn trừ diện tích xung quanh hình nón bé.

$S_{xq}=\pi \left(r_1+r_2\right).l$

4. Diện tích toàn phần hình nón cụt

$S_{tp}=S_{xq}+{\mathrm{S}}_{\text{đáy lớn }}+{\mathrm{S}}_{\text{đáy bé }}=\pi \left(r_1+r_2\right).l+\pi .{r_1}^2+\pi {r_2}^2$

5. Ví dụ vận dụng

VD1.

a. Tính diện tích xung quanh của đèn

b. Biết chi phí làm đèn là 500.000trên 1 $m^2$. Tính giá của chiếc đèn

Lời giải:

a. Diện tích xung quanh của đèn là:

$S_{xq}=\pi \left(10+15\right).20=500\pi \left(c{m}^2\right)$

b. Đổi $500\pi c{m}^2=0,05\pi m^2$

Suy ra chi phí đèn là $25000\pi \approx 80000$

VD2.

Lời giải:

Thiết diện qua trục là hình thang cân ABCD như hình vẽ

Ta có: $AB=20$; $CD=32$

Suy ra diện tích thiết diện 

$S_{ABCD}=\frac{\left(20+32\right)h}{2}=468\Rightarrow h=18$

Hạ 2 đường cao AH và BK :

$\Rightarrow HK=AB=20\Rightarrow DH=KC=6$

$\Rightarrow AD=\sqrt{A{H}^2+D{H}^2}=\sqrt{{18}^2+6^2}=6\sqrt{10}$

Diện tích xung quanh hình chóp cụt là :

$S_{xq}=\pi \left(10+16\right).6\sqrt{10}=156\pi \sqrt{10}$

Diện tích đáy lớn là: $S_1=\pi {.16}^2=256\pi$

Diện tích đáy bé là: $S_2=\pi {.10}^2=100\pi$

$\Rightarrow S_{tp}=S_{xq}+S_1+S_2=\left(356+156\sqrt{10}\right)\pi$