Công thức tính diện tích hình trụ đầy đủ nhất (diện tích xung quanh, toàn phần) – Toán 12

Công thức tính diện tích hình trụđầy đủ nhất ( diện tích xung quanh, toàn phần)- Toán lớp 12

1. Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ

- Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay là giới hạn của diện tích xung quanh của hình lăng trụ đều nội tiếp hình trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

- Công thức tính: $S_{xq}=2\pi rh=2\pi rl$

Trong đó: r là bán kính của đường tròn đáy

h là chiều cao của khối trụ.

l là độ dài đường sinh.

- Minh họa bằng lát cắt hình vẽ

Nêu ta cắt mặt xung quanh của hình trụ theo một đường sinh, rồi trải ra trên một mặt phẳng thì ta sẽ được một hình chữ nhật có một đoạn bằng đường sinh và một cạnh bằng chu vi của đường tròn đáy. Khi đó diện tích hình chữ nhật bằng diện tích xung quanh của hình trụ.

VD1. Tính diện tích xung quanh của một hình trụ có bán kính đáy bằng 3 và chiều cao bằng 4.

Lời giải:

Diện tích xung quanh hình trụ là :

$S_{xq}=2\pi rh=2\pi \mathrm{.3.4}=24\pi$

VD2.

Lời giải:

Bán kính đường tròn đáy là $r=\frac{1}{2}CD=a$

Chiều cao hình trụ là $h=OO\text{'}=AD=2a$

Vậy diện tích xung quanh hình trụ là :

$S_{xq}=2\pi rh=2\pi .a.2a=4a^2\pi$

VD3.

Lời giải:

Khi quay ABCD quanh cạnh AB ta được hình trụ tròn xoay có chiều cao là $h=AB=3$và bán kính đáy $r=AD=4$

Do vậy diện tích xung quanh là $S_{xq}=2\pi r.h=24\pi$

VD4.

Lời giải:

Diện tích xung quanh :

$S_{xq}=2\pi rh=2\pi r^2\Rightarrow 314=2\pi r^2\Rightarrow r\approx 7,07$

2. Công thức tính diện tích toàn phần

Diện tích toàn phần bằng diện tích xung quanh cộng diện tích 2 đáy.

$S_{tp}=S_{xq}+2S_d=2\pi rh+2\pi r^2=2\pi r\left(r+h\right)$

VD1.

Lời giải:

Diện tích toàn phần là :

$S_{tp}=S_{xq}+2S_d=2\pi r\left(r+h\right)=2\pi .3\left(3+5\right)=48\pi$

VD2.

Lời giải:

Chu vi đáy là :

$C=2\pi r\Rightarrow r=\frac{C}{2\pi }=\frac{15}{\pi }$

Suy ra :

$S_{tp}=S_{xq}+2S_d=200+2\pi r^2=200+2\pi \frac{225}{{\pi }^2}=200+\frac{500}{\pi }$

VD3.

Lời giải:

Nửa chu vi hình chữ nhật là: $AB+BC=4a$

Diện tích hình chữ nhật là: $AB.CD=3a^2$

Dễ dàng suy ra $\begin{array}{l}AB=3a\\ BC=a\end{array}$

Khi quay HCN quanh cạnh AB ta được hình trụ tròn xoay có bán kính $r=BC=a$và chiều cao $h=AB=3a$

$\Rightarrow S_{xq}=2\pi rh=6\pi a^2$;

$S_{tp}=2\pi r\left(r+h\right)=2\pi .a.4a=8\pi a^2$

VD4.

Lời giải:

Diện tích xung quanh hình trụ là: $S_{xq}=2\pi rh=8\pi h$

Diện tích toàn phần hình trụ là: 

$S_{tp}=2\pi r\left(r+h\right)=2\pi .4\left(h+4\right)=8\pi \left(h+4\right)$

Theo bài ta có: 

$S_{tp}=2S_{xq}\iff 8\pi \left(h+4\right)=2.8\pi h\iff h+4=2h\iff h=4$

Vậy hình trụ có chiều cao bằng 4.