Công thức tính đường sinh của hình nón chi tiết nhất – Toán 12

Công thức tính đường sinh của hình nón chi tiết nhất - Toán lớp 12

1. Công thức tính đường sinh

Cho hình nón có bán kính đáy r và chiều cao h.

Khi đó độ dài đường sinh $l=\sqrt{r^2+h^2}$

2. Ví dụ minh họa

a. Tính độ dài đường sinh khi biết chiều cao và bán kính đáy

VD1.

Lời giải:

Độ dài đường sinh là :

$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$

VD2.

Lời giải:

b. Hình nón có đường sinh tạo với trục góc $\alpha$

Khi đó: $l=\frac{r}{\sin \alpha }$ hoặc $l=\frac{h}{\cos \alpha }$

VD.

Lời giải:

Độ dài đường sinh:

$l=\frac{h}{\cos \alpha }=\frac{a}{\cos {30}^{\circ }}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$

c. Hình nón có đường sinh tạo với đáy góc $\alpha$

$\alpha =\widehat{OMI}\Rightarrow \begin{array}{l}l=\frac{r}{\cos \alpha }\\ l=\frac{h}{\sin \alpha }\end{array}$

VD.

Lời giải:

Chu vi đáy:

$C=2\pi r=6\pi \Rightarrow r=3$

Suy ra độ dài đường sinh là:

$l=\frac{r}{\cos \alpha }=\frac{3}{\cos 45}=3\sqrt{2}$

d. Thiết diện qua trục là tam giác đặc biệt

- Tam giác vuông:

$l=r\sqrt{2}=h\sqrt{2}$

- Tam giác đều: $l=2r$hoặc $l=\frac{2h}{\sqrt{3}}$

VD.

a. Thiết diện qua trục là một tam giác vuông

b. Thiết diện qua trục là một tam giác đều

Lời giải:

a. Do thiết diện qua trục là tam giác vuông nên

$l=h\sqrt{2}=3\sqrt{2}$

b. Do thiết diện qua trục là tam giác đều nên

$l=\frac{2h}{\sqrt{3}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$

3. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho một hình nón có bán kính đáy $𝑟=4$ cm và chiều cao $ℎ=6$ cm. Hãy tính độ dài đường sinh của hình nón này.

Giải:

$𝐿=\sqrt{{𝑟}^2+{ℎ}^2}+𝜋𝑟$.

Thay các giá trị $𝑟=4$ và $ℎ=6$ vào công thức.

$𝐿=\sqrt{4^2+6^2}+𝜋\times 4$

$𝐿=\sqrt{16+36}+4𝜋$

$𝐿=\sqrt{52}+4𝜋\approx 16.12+4𝜋$

$𝐿\approx 16.12+12.57\approx 28.69$ cm

Vậy độ dài đường sinh của hình nón là khoảng 28.69 cm.

Bài 2: không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a, $\widehat{ABC}={45}^{\circ }$. Tính độ dài đường sinh l của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB.

Giải:

Ta có l = BC

$△$ABC vuông tại A, l = $a\sqrt{2}$

Bài 3: Một khối nón có diện tích đáy 25$c{m}^3$ và thể tích bằng $\frac{125\mathrm{\pi }}{3}c{m}^2$. Tính độ dài đường sinh l của hình nón đã cho.

Giải

$S_{đáy}={\mathrm{\pi R}}^2=25\mathrm{\pi }\Rightarrow \mathrm{R}=5,\mathrm{V}=\frac{1}{3}{\mathrm{\pi R}}^2\mathrm{h}=\frac{125\mathrm{\pi }}{3}\Rightarrow \mathrm{h}=5,\mathrm{l}=\sqrt{{\mathrm{h}}^2+{\mathrm{R}}^2}=5\sqrt{2}\left(\mathrm{cm}\right)$