Công thức biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị chi tiết nhất – Toán 12

Công thức biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị chi tiết nhất - Toán lớp 12

1. Lí thuyết

Cho hai hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị $\left(C_1\right)$ và $y=g\left(x\right)$ có đồ thị $\left(C_2\right)$. Khi đó số nghiệm của phương trình $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ sẽ bằng số giao điểm của $\left(C_1\right)$ và $\left(C_2\right)$

2. Áp dụng vào biện luận số nghiệm phương trình

Cho phương trình $f\left(x\right)=m$. Số nghiệm của phương trình đã cho phụ thuộc vào số giao điểm của đường thẳng $y=m$ với đồ thị hàm số $y=m$. Trong đó đường thẳng $y=m$ tịnh tiến trên trục Oy.

3. Cách biện luận số nghiệm phương trình $f\left(x\right)=m$

a. Cách 1: Khi bài toán cho sẵn đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$

 - Hình bên là đồ thị hàm số $y=x^3+3x^2-2$

Ta biện luận số nghiệm của $x^3+3x^2-2=m$ như sau:

+ Phương trình có 1 nghiệm $\iff \begin{array}{l}m>2\\ m<-2\end{array}$

+ Phương trình có 2 nghiệm $m=\pm 2$

+ Phương trình có 3 nghiệm $\iff -2<m<2$

b. Cách 2: Khi bài toán không cho đồ thị

- Với cách này thì ta lập bảng biến thiên của hàm số $y=f\left(x\right)$

Sau đó ta biện luận tương tự như cách 1

- Cách này sẽ thuận tiện với những bài toán chưa có sẵn đồ thị

4. Ví dụ

VD1.

a. Từ đồ thị hãy chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến

b. Biện luận số nghiệm của phương trình $x^3-3x+m=0$

Lời giải:

a. Dựa vào đồ thị ta thấy

- Hàm số nghịch biến trên 2 khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$ và $\left(1;+\infty \right)$

- Hàm số đồng biến trên trên khoảng $\left(-1;1\right)$

b. $x^3-3x+m=0$

$\iff -x^3+3x+1=m+1$(1)

Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ và đường thẳng $y=m+1$

- Đường thẳng $y=m+1$ là đường thẳng song song với trục Ox. Tịnh tiến đường thẳng ta được:

+ phương trình (1) có 1 nghiệm: $\iff \begin{array}{l}m+1>3\\ m+1<-1\end{array}\iff \begin{array}{l}m>2\\ m<-2\end{array}$

+ phương trình (1) có 2 nghiệm $\iff m=\pm 2$

+ phương trình (1) có 3 nghiệm:

$\iff -1<m+1<3\iff -2<m<2$

VD2.

Lời giải:

$x^3+3x^2+2-m=0$

$\iff x^3+3x^2+2=m$(1)

- Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của $y=x^3+3x^2+2$ và $y=m$

- Xét hàm số $y=x^3+3x^2+2$ ta có:

$y\text{'}=3x^2+6x=0\iff \begin{array}{l}x=0\\ x=-2\end{array}$

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, (1) có 3 nghiệm phân biệt $\iff 2<m<6$

5. Luyện tập

Bài 1.

Cho hàm số $y=-x^4+4x^2+2$ có đồ thị như hình bên.

Biện luận số nghiệm của phương trình $x^4-4x^2+m-3=0$ theo m

Bài 2.

Biện luận số nghiệm của phương trình $2f\left(x\right)-m=0$

Bài 3.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\left.-2;2\right]$ và có đồ thị là hình cong bên.

Số nghiệm của phương trình $\left.f\left(x\right)\right|=1$ trên đoạn $\left.-2;2\right]$ bằng?

Bài 4.

Bài 5.