Công thức tính thể tích khối tròn xoay (đầy đủ, chính xác nhất)

Công thức tính thể tích khối tròn xoay (đầy đủ, chính xác nhất)

1. Lý thuyết khối tròn xoay

2. Công thức tính thể tích khối tròn xoay

* Quay quanh trục Ox:

Hình giới hạn bởi đường cong y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (trong đó f(x) liên tục trên đoạn [a;b]) quay quanh trục Ox, ta được khối tròn xoay.

Thể tích của khối tròn xoay được tính theo công thức: $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{\left.f\left(x\right)\right]}^{2}dx$

Hình giới hạn bởi hai đường cong y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b (trong đó f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a;b]) quay quanh trục Ox.

Thể tích của khối tròn xoay được tính theo công thức: $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}\left.f^2\left(x\right)-g^2\left(x\right)\right|dx$

* Quay quanh trục Oy:

Hình giới hạn bởi đường cong x = f(y), trục Oy và hai đường thẳng y = c; y = d (trong đó f(x) liên tục trên đoạn [c; d]) quay quanh trục Oy, ta được khối tròn xoay.

Thể tích của khối tròn xoay được tính theo công thức: $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{\left.f\left(y\right)\right]}^{2}dy$

Ví dụ 1:

Lời giải

Hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sin x;y=0;x=0;x=\frac{\pi }{4}$ quay quanh trục Ox nên có thể tích:

Ví dụ 2:

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường:

$x=\sqrt{x}\Rightarrow \begin{array}{l}x=0\\ x=1\end{array}$

Thể tích khối tròn xoay được tạo bởi hai đường $y=x;y=\sqrt{x}$ là:

$V=\pi \underset{0}{\overset{1}{\int }}\left.x^2-{\left(\sqrt{x}\right)}^2\right|dx=\pi \underset{0}{\overset{1}{\int }}\left.x^2-x\right|dx=\pi {\left.\left.\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}\right|\right|}_0^1=\pi \left.\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right|=\frac{\pi }{6}$

3. Bài tập vận dụng

Bài 1: Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng được giới hạn bởi đường cong y = sinx, trục hoành và hai đường thẳng

Giải

Áp dụng công thức ở định lý trên ta có

$V=\pi \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\sin }^{2}xdx=\frac{\pi }{2}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\left(1-\cos 2x\right)dx={\left.\frac{\pi }{2}\left(x-\frac{1}{2}\sin 2x\right)\right|}_0^{\pi }=\frac{\pi }{2}\left(\pi -\frac{1}{2}\sin 2\pi \right)-\frac{\pi }{2}\left(0-\frac{1}{2}\sin 0\right)=\frac{{\pi }^2}{2}$

Bài 2: Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng được giới hạn bởi đường cong $y=\sqrt{A^2-x^2}$ và trục hoành quanh trục hoành.

Giải:

Ta thấy:

$y=\sqrt{A^2-x^2}\iff y^2=A^2-x^2\iff x^2+y^2=A^2$

Do $\sqrt{A^2-x^2}\ge 0$ với mọi x, do vậy đây là phương trình nửa đường tròn tâm O, bán kính R = A nằm phía trên trục Ox. Khi quay quanh trục Ox thì hình phẳng sẽ tạo nên một khối cầu tâm O, bán kính R = A (hình vẽ). Do vậy ta có luôn $V=\frac{4}{3}.\pi .A^3$

Vậy với bài toán dạng này, ta không cần viết công thức tích phân mà kết luận luôn theo công thức tính thể tích khối cầu.

Bài 3: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường

Giải

Thể tích cần tính là:

$V=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}{x}^{4}dx=\pi .{\left.\frac{x^5}{5}\right|}_0^2=\frac{32\pi }{5}.$

Bài 4: Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường

Giải:

Bài 5: Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = 1, biết thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng (P) vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là x và .

Giải:

Do thiết diện là hình chữ nhật nên diện tích thiết diện là:

$S\left(x\right)=x\ln \left(x^2+1\right)$

Ta có thể tích cần tính là

Bài 6: Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) xung quanh trục Ox.

Bài 7: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong , trục hoành và các đường thẳng x = 0; x = 1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu ?

Bài 8: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường , và x = 4. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành nhận giá trị nào?

Bài 9: Thể tích của khối tròn xoay tạo nên khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi (C): y = lnx, trục Ox và đường thẳng x = e là