Công thức về tỉ số thể tích khối đa diện chi tiết nhất – Toán 12

Công thức về tỉ số thể tích khối đa diện chi tiết nhất - Toán lớp 12

1. Tỉ số thể tích khối lăng trụ tam giác

Bài toán: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Trên các cạnh AA’, BB’, CC’ lần lượt lấy các điểm M, N, P. Tính thể tích hình đa diện ABC.MNP

Ta đặt các tỉ số:

$\frac{AM}{AA\text{'}}=a$; $\frac{BN}{BB\text{'}}=b$;$\frac{CP}{CC\text{'}}=c$

Khi đó ta có tỉ số thể tích:

$\frac{V_{ABC.MNP}}{V_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}}=\frac{a+b+c}{3}$

VD1.

Lời giải:

Ta tính các tỉ số: $\frac{A\text{'}M}{A\text{'}A}=\frac{B\text{'}N}{B\text{'}B}=\frac{1}{2}$

Sử dụng công thức tỉ số thể tích ta có:

$\frac{V_{A\text{'}B\text{'}C\text{'}.MNC}}{V_{A\text{'}B\text{'}C\text{'}.ABC}}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+1}{3}=\frac{2}{3}\Rightarrow V_{A\text{'}B\text{'}C\text{'}.MNC}=\frac{2}{3}.27=18$

VD2.

Lời giải:

Theo công thức thể tích ta có:

$\frac{V_{A.BMNC}}{V_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}}=\frac{\frac{AA}{AA\text{'}}+\frac{BM}{BB\text{'}}+\frac{CN}{CC\text{'}}}{3}=\frac{0+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}{3}=\frac{1}{4}$

Suy ra $V_{A.BMNC}=\frac{V}{4}$

2. Tỉ số thể tích khối lăng trụ tứ giác

Bài toán: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’. Trên các cạnh AA’, BB’, CC’, DD’ lấy lần lượt các điểm M, N, P, Q sao cho 4 điểm đồng phẳng. Tính $V_{ABCD.MNPQ}$

Ta đặt các tỉ số:

$\left.\begin{array}{l}\frac{AM}{AA\text{'}}=a;\frac{BN}{BB\text{'}}=b\\ \frac{CP}{CC\text{'}}=c;\frac{DQ}{DD\text{'}}=d\end{array}\right\}\Rightarrow \frac{V_{ABCD.MNPQ}}{V_{ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}}}=\frac{a+b+c+d}{4}$

VD1.

Lời giải:

Do AM // (CDD’C’) nên giao tuyến giữa (AMP) và (CDD’C’) là đường thẳng d qua P và song song với AM $\Rightarrow N=d\cap CC\text{'}$. Khi đó PN // AM.

Do 4 điểm A, M, N, P đồng phẳng nên:

$\frac{A\text{'}A}{A\text{'}A}+\frac{C\text{'}N}{C\text{'}C}=\frac{B\text{'}M}{B\text{'}B}+\frac{D\text{'}P}{D\text{'}D}\iff 1+\frac{C\text{'}N}{C\text{'}C}=\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\Rightarrow \frac{C\text{'}N}{C\text{'}C}=\frac{1}{4}$

Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có:

$\frac{V_{AMNPBCD}}{V_{ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}}}=\frac{\frac{AA}{AA\text{'}}+\frac{BM}{BB\text{'}}+\frac{CN}{CC\text{'}}+\frac{DP}{DD\text{'}}}{4}=\frac{0+\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}{4}=\frac{3}{8}\Rightarrow V_{AMNPBCD}=\frac{3}{8}.V_{ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}}=\frac{3}{8}.{\left(2a\right)}^3=3a^3$

VD2.

Lời giải:

Trong mp (CC’D’D) kẻ MN song song C’D $\Rightarrow \frac{CN}{CD}=\frac{CM}{CC\text{'}}=\frac{1}{3}$

Khi đó phần thể tích cần tính chính là thể tích khối đa diện AB’CMNC.

Ta chia khối đa diện cần tính thành $V_{B\text{'}.ABCN}+V_{B\text{'}.MNC}$

Ta có: $S_{ABCN}=\frac{2}{3}{S}_{ABCD}$

$\Rightarrow V_{B\text{'}.ABCN}=\frac{1}{3}.h.\frac{2}{3}{S}_{ABCD}=\frac{2}{9}V{V}_{B\text{'}.MNC}=V_{B.MNC}=V_{M.BCN}=\frac{1}{3}{V}_{C\text{'}.BCN}$

Ta có: $S_{BCN}=\frac{1}{6}{S}_{ABCD}$

$\Rightarrow V_{C\text{'}.BCN}=\frac{1}{3}.h.\frac{1}{6}{S}_{ABCD}=\frac{1}{18}V$

Do đó $V_{B\text{'}.MNC}=\frac{1}{54}V$

Vậy $V_{\left(H\right)}=\frac{2}{9}V+\frac{1}{54}V=\frac{13}{54}V$

3. Luyện tập

Bài 1.

Bài 2.

Bài 3.

Bài 4.

a. Mặt phẳng (CMN) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.

b. E và F lần lượt là giao điểm của CM với C’A’ và CN với C’B’. Tính thể tích khối chóp C’CEF.

Bài 5.