50 bài toán về tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ (có đáp án 2024) – Toán 12

Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải - Toán lớp 12

I. LÝ THUYẾT

1. Tích vô hướng của hai vectơ

a) Tích vô hướng của hai vectơ

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2;b_3\right)$ được xác định bởi công thức:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$

b) Ứng dụng của tích vô hướng

+ Cho vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$, khi đó độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}$ được tính theo công thức:

$\left.\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_2^2}$

+ Cho hai điểm $A\left(x_A;y_A;z_A\right)$ và $B\left(x_B;y_B;z_B\right)$. Khi đó khoảng cách giữa hai điểm A, B chính là độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB}$. Do đó ta có

+ Cho vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2;b_3\right)$. Khi đó góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ được tính theo công thức:

$\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left.\overrightarrow{a}\right|.\left.\overrightarrow{b}\right|}=\frac{a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}$

(với $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$)

+ Hai vectơ vuông góc: Cho vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2;b_3\right)$. Khi đó:

$\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\iff \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\iff a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3=0$

2. Tích có hướng của hai vectơ

a) Tích có hướng của hai vectơ

Trong không gian Oxyz cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$, $\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)$. Tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b},$ kí hiệu là $\left.\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]$, được xác định bởi

$\left.\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]=\left(\left.\begin{array}{cc}{a}_2& a_3\\ b_2& b_3\end{array}\right|;\left.\begin{array}{cc}{a}_3& a_1\\ b_3& b_1\end{array}\right|;\left.\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ b_1& b_2\end{array}\right|\right)=\left(a_2{b}_3-a_3{b}_2;a_3{b}_1-a_1{b}_3;a_1{b}_2-a_2{b}_1\right)$

Chú ý:Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.

b) Tính chất của tích có hướng:

Từ đó suy ra 4 điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện khi 3 vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD}$ không đồng phẳng hay $\left.\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right].\overrightarrow{AD}\ne 0$ và 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng khi $\left.\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right].\overrightarrow{AD}=0.$

3. Ứng dụng của tích có hướng

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

1. Tích vô hướng của hai vectơ

Dạng 1: Tính biểu thức tọa độ tích vô hướng

Phương pháp giải:

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2;b_3\right)$, khi đó: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$

Ví dụ 1:

A. 10

B. 2

C. 3

D. 4

Hướng dẫn giải

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left(-1\right).\left(-3\right)+3.\left(-1\right)+2.2=3-3+4=4$

Chọn D.

Dạng 2: Tính độ dài của một vectơ

Phương pháp giải:

$\left.\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_2^2}$

Ví dụ 2:

A. $\sqrt{21}$

B. $\sqrt{7}$

C. 21

D. 7

Hướng dẫn giải:

Độ dài vectơ $\overrightarrow{a}$ là:

$\left.\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{2^2+4^2+1^2}=\sqrt{21}$

Chọn A.

Dạng 3: Khoảng cách giữa hai điểm

Phương pháp giải:

Ví dụ 3:

A. M (0; 0; 3).

B. M (0; 0; 2).

C. M (0; 0; -3).

D. M (0; 3; 0).

Hướng dẫn giải

Do $M\in Oz\Rightarrow$M (0; 0; m)

$AM=\sqrt{{\left(0-1\right)}^2+{\left(0-2\right)}^2+{\left(m-3\right)}^2}=\sqrt{{(m-3)}^2+5}$

Mặt khác $AM=\sqrt{5}$ nên

$\sqrt{{(m-3)}^2+5}=\sqrt{5}\iff {\left(m-3\right)}^2+5=5$

$\iff$m – 3 = 0 $\iff$m = 3

Suy ra M (0; 0; 3).

Chọn A.

Dạng 4: Góc giữa hai vectơ

Phương pháp giải: Cho vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2;b_3\right)$. Khi đó góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ được tính theo công thức:

$\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left.\overrightarrow{a}\right|.\left.\overrightarrow{b}\right|}=\frac{a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}$

(với $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$)

Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A (1; 0; 0), B (0; 1; 0), C (0; 0; 1) và D (-2; 1; -1). Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$.

A. ${45}^0$

B. ${60}^0$

C. ${90}^0$

D. ${135}^0$

Hướng dẫn giải

Gọi $\phi$ là góc tạo bởi hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$.

Ta có:

$\overrightarrow{AB}=\left(-1;1;0\right),\overrightarrow{CD}=\left(-2;1;-2\right)$

Khi đó:

$cos\phi =cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right)=\frac{-1.\left(-2\right)+1.1+0.\left(-2\right)}{\sqrt{{\left(-1\right)}^2+1^2+0^2}.\sqrt{{\left(-2\right)}^2+1^2+{\left(-2\right)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \phi ={45}^0$

Chọn A.

Dạng 5: Tìm điều kiện để hai vectơ vuông góc

Phương pháp giải:

$\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\iff \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\iff a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3=0$

Ví dụ 5:

A. $\overrightarrow{c}\perp \overrightarrow{b}$

B. $\left.\overrightarrow{c}\right|=\sqrt{3}$

C. $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$

D. $\left.\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{2}$

Hướng dẫn giải

Chọn A.

2. Tích có hướng của hai vectơ

Tích có hướngcủa hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.

Dạng 1: Tính tích có hướng của hai vectơ

Phương pháp giải:

$\left.\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]=\left(\left.\begin{array}{cc}{a}_2& a_3\\ b_2& b_3\end{array}\right|;\left.\begin{array}{cc}{a}_3& a_1\\ b_3& b_1\end{array}\right|;\left.\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ b_1& b_2\end{array}\right|\right)=\left(a_2{b}_3-a_3{b}_2;a_3{b}_1-a_1{b}_3;a_1{b}_2-a_2{b}_1\right)$

Ví dụ 1:

A. $\left(8;-12;5\right)$

B. $\left(8;-12;0\right)$

C. $\left(0;8;12\right)$

D. $\left(0;8;-12\right)$

Hướng dẫn giải

$\begin{array}{l}\overrightarrow{a}=\left(3;2;1\right)\\ \overrightarrow{b}=\left(3;2;5\right)\end{array}\Rightarrow \left.\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]=\left(2.5-2.1;1.3-3.5;3.2-3.2\right)=\left(8;-12;0\right)$

Chọn B.

Dạng 2: Tìm điều kiện để ba vectơ đồng phẳng

Phương pháp giải:

Ví dụ 2:

A. $\frac{2}{5}$

B. $\frac{-2}{5}$

C. $\frac{1}{5}$

D. 1.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Dạng 3: Tính diện tích một số hình phẳng

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức sau:

+) Diện tích hình bình hành ABCD:

$S_{ABCD}=\left.\left.\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right]\right|$

+) Diện tích tam giác ABC:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}\left.\left.\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]\right|$

Ví dụ 3:

A. $\frac{\sqrt{11}}{2}$

B. $\sqrt{3}$

C. $\frac{\sqrt{13}}{2}$

D. $\frac{\sqrt{14}}{2}$

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Dạng 4: Tính thể tích khối hộp và tứ diện

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức sau:

+) Thể tích khối hộp ABCD. A’B’C’D’:

$V_{ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}}=\left.[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}].\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}\right|$

+) Thể tích tứ diện ABCD:

$V_{ABCD}=\frac{1}{6}\left.[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}].\overrightarrow{AD}\right|$

Ví dụ 4:

A. 1

B. 2

C. $\frac{1}{2}$

D. 3.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

III. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu 1:

A. $\sqrt{2}$

B. $\sqrt{18}$

C. $2\sqrt{7}$

D. $\sqrt{3}$

Câu 2:

A. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-8$

B. $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(-1;1;-1\right)$

C. $\left.\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{14}$

D. $2\overrightarrow{a}=\left(2;-4;0\right)$

Câu 3:

A. P = -10

B. P = -40

C. P = 16

D. P = -34

Câu

A. $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=-\frac{2}{25}$

B. $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=-\frac{2}{5}$

C. $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\frac{2}{25}$

D. $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\frac{2}{5}$

Câu 5:

A. (0 ; 0 ; 0).

B. (1 ; 1 ; 1)

C. (2 ; 8 ; 2)

D. (1 ; -2 ; 1).

Câu 6:

A.$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ đồng phẳng.

B. $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{d}$ đồng phẳng.

C. $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{d}$ đồng phẳng.

D. $\overrightarrow{d}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ đồng phẳng.

Câu 7:

A. $\frac{\sqrt{42}}{4}$

B. $\sqrt{42}$

C. $2\sqrt{42}$

D. $\frac{\sqrt{42}}{2}$

Câu 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A (1; 0; 1), B (2; 0; -1), C (0; 1; 3), D (3; 1; 1). Thể tích khối tứ diện ABCD là

A.$V=\frac{2}{3}$

B. $V=\frac{4}{3}$

C. V = 4

D. V = 2.

Câu 9:

A. V = 1.

B. V = 4.

C. V = 5.

D. V = 6.

Câu 10:

A. Ba vectơ đồng phẳng

B. Ba vectơ không đồng phẳng.

C. Ba vectơ cùng phương

D. $\overrightarrow{c}=\left.\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]$

ĐÁP ÁN