50 bài toán về lãi suất ngân hàng và cách giải (có đáp án 2024) – Toán 12

Các dạng toán về lãi suất ngân hàng và cách giải - Toán lớp 12

I. LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Lãi đơn

Số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra.

Công thức tính lãi đơn:

Trong đó:

$V_n$: Số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn;

$V_0$: Số tiền gửi ban đầu;

n : Số kỳ hạn tính lãi;

r : Lãi suất định kỳ, tính theo %.

2. Lãi kép

Là số tiền lãi không chỉ tính trên số tiền gốc mà còn tính trên số tiền lãi do tiền gốc đó sinh ra thay đổi theo từng định kỳ.

a. Lãi kép, gửi một lần: $T_n=T_0{\left(1+r\right)}^n$

Trong đó:

$T_n$: Số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn;

$T_0$ : Số tiền gửi ban đầu;

n : Số kỳ hạn tính lãi;

r : Lãi suất định kỳ, tính theo %.

b. Lãi kép liên tục: $T_n=T_0.e^{n.r}$

Trong đó:

$T_n$: Số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn;

$T_0$ : Số tiền gửi ban đầu;

n : Số kỳ hạn tính lãi;

r : Lãi suất định kỳ, tính theo %.

c. Lãi kép, gửi định kỳ.

Trường hợp gửi tiền định kì cuối tháng.

Bài toán 1:

Người ta chứng minh được số tiền thu được là:

$T_n=\frac{m}{r}\left.{\left(1+r\right)}^n-1\right]$

Chứng minh

Vậy sau tháng n ta được số tiền

Ta thấy trong ngoặc là tổng n số hạng của cấp số nhân có

$u_1=1,u_n={\left(1+r\right)}^{n-1},q=1+r$

nên $T_n=\frac{m}{r}\left.{\left(1+r\right)}^n-1\right]$

Bài toán 2:

Người ta chứng minh được số tiền cần gửi mỗi tháng là: $m=\frac{Ar}{{\left(1+r\right)}^n-1}$

Chứng minh:

Áp dụng bài toán 1 ta có số tiền thu được là $T_n=\frac{m}{r}\left.{\left(1+r\right)}^n-1\right]$, mà đề cho số tiền đó chính là A nên :

$A=\frac{m}{r}\left.{\left(1+r\right)}^n-1\right]\iff m=\frac{Ar}{{\left(1+r\right)}^n-1}$

Bài toán 3:

Người ta chứng minh được số tháng thu được đề bài cho là:

$n={\log }_{1+r}\left(\frac{Ar}{m}+1\right)$

Chứng minh:

Áp dụng bài toán 1 ta có số tiền thu được là $T_n=\frac{m}{r}\left.{\left(1+r\right)}^n-1\right]$, mà đề cho số tiền đó chính là A nên:

$A=\frac{m}{r}\left.{\left(1+r\right)}^n-1\right]\iff m=\frac{Ar}{{\left(1+r\right)}^n-1}\iff {\left(1+r\right)}^n=\frac{Ar}{m}+1\iff n={\log }_{1+r}\left(\frac{Ar}{m}+1\right)$

Như vậy trong trường hợp một này ta cần nắm vứng công thức Bài toán 1 từ đó có thể dễ dàng biến đổi ra các công thức ở bài toán 2, Bài toán 3.

Trường hợp gửi tiền định kì đầu tháng.

Bài toán 4:

Người ta chứng minh được số tiền thu được là:

$T_n=\frac{m}{r}\left.{\left(1+r\right)}^n-1\right]\left(1+r\right)$

Chứng minh.

Ta xây dựng bảng sau:

Vậy sau tháng n ta được số tiền:

Bài toán 5:

Người ta chứng minh được số tiền cần gửi mỗi tháng là:

$m=\frac{Ar}{\left(1+r\right)\left.{\left(1+r\right)}^n-1\right]}$

Chứng minh

Áp dụng bài toán 4. Ta có số tiền thu được là: $T_n=\frac{m}{r}\left.{\left(1+r\right)}^n-1\right]\left(1+r\right)$, mà đề cho số tiền đó là A nên:

$A=\frac{m}{r}\left.{\left(1+r\right)}^n-1\right]\left(1+r\right)\iff m=\frac{Ar}{\left(1+r\right)\left.{\left(1+r\right)}^n-1\right]}$

Bài toán 6:

Người ta chứng minh được số tháng thu được đề bài cho là:

$n={\log }_{1+r}\left.\frac{Ar}{m\left(1+r\right)}+1\right]$

Chứng minh

Áp dụng bài toán 4. Ta có: số tiền thu được là: $T_n=\frac{m}{r}\left.{\left(1+r\right)}^n-1\right]\left(1+r\right)$, mà đề cho số tiền đó là A nên .

$A=\frac{m}{r}\left.{\left(1+r\right)}^n-1\right]\left(1+r\right)\iff m=\frac{Ar}{\left(1+r\right)\left.{\left(1+r\right)}^n-1\right]}\iff {\left(1+r\right)}^n=\frac{Ar}{m\left(1+r\right)}+1\Rightarrow n={\log }_{1+r}\left.\frac{Ar}{m\left(1+r\right)}+1\right]$

Như vậy trong trường hợp này ta cần nắm vững công thức bài toán 4 từ đó có thể dễ dàng biến đổi ra các công thức ở bài toán 5, bài toán 6.

Trường hợp vay nợ và trả tiền định kì đầu tháng.

Bài toán 7:

Người ta chứng minh được số tiền còn nợ là:

Chứng minh.

Ta xây dựng bảng sau:

Vậy sau tháng n ta còn nợ số tiền:

Trường hợp vay nợ và trả định kì cuối tháng.

Bài toán 8:

Người ta chứng minh được số tiền còn nợ là:

Chứng minh

Ta xây dựng bảng sau:

Vậy sau tháng n ta còn nợ số tiền:

Sau đây cùng tìm hiểu cách áp dụng các lý thuyết vào các bài toán tính tiền lãi, tiền nợ phải trả như thế nào?

II. VÍ DỤ MINH HỌA

Câu 1:

A. 172 triệu.

B. 72 triệu.

C. 167,3042 triệu.

D. 104,907 triệu.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Sau một năm số tiền anh Hùng làm ra là $6.12=72$ triệu đồng

Sau một năm giá trị xe công nông còn $100{(1-0,4\%)}^{12}\approx 95,3042$ triệu đồng

Vậy sau một năm số tiền anh Hùng có là $167,3042$ triệu đồng

Câu 2:

A. $0,55\%$

B. $0,3\%$

C. $0,4\%$

D. $0,5\%$

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Số tiền bác B rút ra sau năm đầu:

$T_1=50000000.{\left(1+0,00723\right)}^4$

Số tiền bác B rút ra sau sáu tháng tiếp theo:

$T_2=T_1\left(1+0,00786\right)$

Số tiền bác B rút ra sau ba tháng tiếp theo:

$T_3=T_2.{\left(1+r\right)}^3=57694945,55\Rightarrow r=\sqrt[3]{\frac{57694945,55}{T_2}}-1\approx 0,004=0,4\%$

Câu 3: Bạn Nam là sinh viên của một trường Đại học, muốn vay tiền ngân hàng với lãi suất ưu đãi trang trải kinh phí học tập hàng năm. Đầu mỗi năm học, bạn ấy vay ngân hàng số tiến 10 triệu đồng với lãi suất là $4\%$. Tính số tiền mà Nam nợ ngân hàng sau 4 năm, biết rằng trong 4 năm đó, ngân hàng không thay đổi lãi suất ( kết quả làm tròn đến nghìn đồng).

A. 46794000 đồng.

B. 44163000 đồng.

C. 42465000 đồng.

D. 41600000 đồng.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Tổng số tiền bạn Nam vay ( gốc và lãi) sau 4 năm là:

Câu 4: Một kỹ sư được nhận lương khởi điểm là 8 000 000 đồng/tháng. Cứ sau hai năm lương mỗi tháng của kỹ sư đó được tăng thêm $10\%$ so với mức lương hiện tại. Tính tổng số tiền T (đồng) kỹ sư đó nhận được sau 6 năm làm việc.

A. 633 600 000.

B. 635 520 000.

C. 696 960 000.

D. 766 656 000.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Lương 2 năm đầu tiên của công nhân đó nhận được là:

$T_1={8.10}^6.24={192.10}^6$ (đồng)

Theo công thức tính lãi kép, lương 2 năm tiếp theo công nhân đó nhận được:

$T_2={\mathrm{24.8.10}}^6.{\left(1+10\%\right)}^1$

$=212,{2.10}^6$ (đồng)

Lương 2 năm cuối cùng công nhân đó nhận được:

$T_3={\mathrm{24.8.10}}^6.{\left(1+10\%\right)}^2$

$=232,{32.10}^6$(đồng)

Tổng số tiền T (đồng) kỹ sư đó nhận được sau 6 năm làm việc:

$T=T_1+T_2+T_3$

= 635 520 000 (đồng).

Câu 5:

A. 1 287 968 000 đồng

B. 1 931 953 000 đồng.

C. 2 575 937 000 đồng.

D. 3 219 921 000 đồng.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Gọi a là số tiền lương khởi điểm, r là lương được tăng thêm.

+ Số tiền lương trong ba năm đầu tiên: 36a

+ Số tiền lương trong ba năm kế tiếp:

$36\left.a+a.r\right]=36a{\left(1+r\right)}^1$

+ Số tiền lương trong ba năm kế tiếp:

$36a{\left(1+r\right)}^2$

…

+ Số tiền lương trong ba năm cuối:

$36a{\left(1+r\right)}^{11}$

Vậy sau 36 năm làm việc anh Hưng nhận được:

Câu 6:

A. 6

B. 9

C. 10

D. 11

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Gọi a là số tiền người đó gửi ban đầu

Số tiền nhận được cả gốc lẫn lãi sau N năm là:

$T=a{(1+0,03)}^{\frac{N}{4}}$

$\frac{T}{a}=3\iff {(1+0,03)}^{4N}=3\iff 4N.\ln 1,03=\ln 3\Rightarrow N=\frac{\ln 3}{4\ln 1,03}\approx 9,29$

Câu 7: Một người vay ngân hàng một tỷ đồng theo phương thức trả góp để mua nhà. Nếu cuối mỗi tháng, bắt đầu từ tháng thứ nhất người đó trả 40 triệu đồng và chịu lãi số tiền chưa trả là $0,65\%$ mỗi tháng (biết lãi suất không thay đổi) thì sau bao lâu người đó trả hết số tiền trên?

A. 29 tháng.

B. 27 tháng

C. 26 tháng.

D. 28 tháng.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Gọi A là số tiền vay, a là số tiền gửi hàng tháng r là lãi suất mỗi tháng.

Đến cuối tháng thứ n thì số tiền còn nợ là:

Vậy cần trả 28 tháng.

Câu 8:

A. 46 tháng.

B. 45 tháng.

C. 44 tháng.

D. 47 tháng.

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Sau 1 tháng, người đó nhận được $100+100.0,5\%$ (triệu đồng) $=100.1,{005}^1$ triệu đồng.

Sau 2 tháng, người đó nhận được:

$100.1,005+100.1,005.0,005=100.1,005\left(1+0,005\right)$

$=100.{\left(1,005\right)}^2$ triệu đồng

Sau n tháng, người đó nhận được: $100.{\left(1,005\right)}^n$ triệu đồng.

Theo đề:

$100.{\left(1,005\right)}^n>125\iff n>{\log }_{1,005}1,25$

$=44,7$ tháng.

Vậy sau 45 tháng, người đó có nhiều hơn 125 triệu đồng.

Câu 9:

A. Năm 2019.

B. Năm 2020.

C. Năm 2021.

D. Năm 2022.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Số tiền người gửi tiết kiệm sau n năm là $x{\left(1+6,9\%\right)}^n$

Ta cần tìm n để:

Do đó, người gửi tiết kiệm cần gửi trọn 7 kỳ hạn, tức là 7 năm.

Vậy đến năm 2021 người đó sẽ có đủ tiền cần thiết.

Câu 10: Một người gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo hình thức lãi kép, lãi suất $0,5\%$ một tháng (kể từ tháng thứ 2, tiền lãi được tính theo phần trăm tổng tiền có được của tháng trước đó và tiền lãi của tháng sau đó). Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng, người đó có nhiều hơn 125 triệu đồng?

A. 47 tháng.

B. 46 tháng.

C. 45 háng.

D. 44tháng.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

- Số tiền cả vốn lẫn lãi người gởi có sau tháng là n

$S=100{(1+0,005)}^n=100.1,{005}^n$(triệu đồng)

$\Rightarrow 1,{005}^n=\frac{S}{100}\Rightarrow n={\log }_{1,005}\frac{S}{100}$

- Để có số tiền S=125 (triệu đồng) thì phải sau thời gian

$n={\log }_{1,005}\frac{S}{100}={\log }_{1,005}\frac{125}{100}$

$\approx 44,74$(tháng)

- Vậy: sau ít nhất 45 tháng người đó có nhiều hơn 125 triệu đồng.

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1:

A. 4

B. 5

C. 2

D. 3

Câu 2:

A. 232518 đồng.

B. 309604 đồng.

C. 215456 đồng.

D. 232289 đồng.

Câu 3:

A. 11 năm

B. 9 năm.

C. 8 năm.

D. 12 năm.

Câu 4:

A. 45 tháng.

B. 47 tháng.

C. 44 tháng.

D. 46 tháng.

Câu 5:

A. Nhiều hơn.

B. Ít hơn.

C. Không thay đổi.

D. Không tính được.

Câu 6: Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng A với số tiền là 100 triệu đồng với lãi suất mỗi quý (3 tháng) là $2,1\%$. Số tiền lãi được cộng vào vốn sau mỗi quý. Sau 2 năm người đó vẫn tiếp tục gửi tiết kiệm số tiền thu được từ trên nhưng với lãi suất $1,1\%$ mỗi tháng. Số tiền lãi được cộng vào vốn sau mỗi tháng. Hỏi sau 3 năm kể từ ngày gửi tiết kiệm vào ngân hàng A người đó thu được số tiền gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. 134,65 triệu đồng.

B. 130,1 triệu đồng.

C. 156,25 triệu đồng.

D. 140,2 triệu đồng.

Câu 7: Ông A gửi số tiền 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất $7\%$ trên năm, biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu. sau thời gian 10 năm nếu không rút lãi lần nào thì số tiền mà ông A nhận được tính cả gốc lẫn lãi là

A. ${10}^8.{(1+0,07)}^{10}$

B. ${10}^8.0,{07}^{10}$

C. ${10}^8.{(1+0,7)}^{10}$

D. ${10}^8.{(1+0,007)}^{10}$

Câu 8:

A. 5

B. 2

C. 4

D. 1

Câu 9:

A. 726,74 triệu.

B. 71674 triệu.

C. 858,72 triệu.

D. 768,37 triệu.

Câu 10: Giả sử vào cuối năm thì một đơn vị tiền tệ mất 10% giá trị so với đầu năm. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất sao cho sau n năm, đơn vị tiền tệ sẽ mất đi ít nhất 90% giá trị của nó?

A. 16

B. 18.

C. 20.

D. 22.

ĐÁP ÁN