50 bài toán về phương trình đường thẳng (có đáp án 2024) – Toán 12

Các dạng toán về phương trình đường thẳng và cách giải - Toán lớp 12

I. LÝ THUYẾT

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

- Vectơ $\overrightarrow{a}$ khác vectơ – không được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ $\overrightarrow{a}$ song song hoặc trùng với đường thẳng d.

- Nếu $\overrightarrow{a}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì vectơ $k\overrightarrow{a}$ với $k\ne 0$ cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng d $\Rightarrow$ đường thẳng d có vô số vectơ chỉ phương và các vectơ chỉ phương này cùng phương.

- Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn xác định nếu biết một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}$ của nó.

2. Phương trình tham số – Phương trình chính tắc của đường thẳng

- Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm $M_0\left(x_0;y_0;z_0\right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ (với $a_1^2+a_2^2+a_3^2\ne 0$ ) là phương trình có dạng $d:\begin{array}{l}x=x_0+a_{1}t\\ y=y_0+a_{2}t\\ z=z_0+a_{3}t\end{array}$ trong đó t là tham số.

- Nếu $a_1{a}_2{a}_3\ne 0$ thì ta có thể viết phương trình đường thẳng d dưới dạng chính tắc như sau: $d:\frac{x-x_0}{a_1}=\frac{y-y_0}{a_2}=\frac{z-z_0}{a_3}$

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1: Xác định vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng

Phương pháp giải:

Đường thẳng $\left(d\right):\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct\end{array}\left(t\in ℝ\right)$, hoặc $\left(d\right):\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$ thì d đi qua $M\left(x_0;y_0;z_0\right)$ và có 1 VTCP $\overrightarrow{u}=\left(a;b;c\right)$.

$\overrightarrow{u}$ là 1 VTCP của d thì $k\overrightarrow{u}$ cũng là 1 VTCP của d.

Một số dạng thường gặp:

+) d qua hai điểm A, B thì $\overrightarrow{AB}$ là 1 VTCP của d.

+) $\left(d\right)\perp \left(P\right):$ Ax + By + Cz + D = 0 thì (A; B; C) là 1 VTCP của d.

+) $\left(d\right)\parallel \left(\Delta \right)$ mà $\left(\Delta \right)$ có VTCP $\overrightarrow{u}$ thì $\overrightarrow{u}$ cũng là 1 VTCP của d.

+) $\left(d\right)=\left(P\right)\cap \left(Q\right)$ thì $\overrightarrow{u}=\left.\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{n_Q}\right]$ là 1 VTCP của d.

+) $\left(d\right)\perp \left(d_1\right)$ và $\left(d\right)\perp \left(d_2\right)$ thì $\overrightarrow{u}=\left.\overrightarrow{u_{d_1}},\overrightarrow{u_{d_2}}\right]$ là 1 VTCP của d.

+) $\left(d\right)\parallel \left(P\right)$ và $\left(d\right)\perp \left(\Delta \right)$ thì $\overrightarrow{u}=\left.\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{u_{\Delta }}\right]$ là 1 VTCP của d.

Ví dụ 1:

A. $\overrightarrow{c}=\left(\text{1;2};\text{2}\right)$

B. $\overrightarrow{a}=\left(-1;0;2\right)$

C. $\overrightarrow{b}=\left(-\text{\hspace{0.17em}1;1;2}\right)$

D. $\overrightarrow{d}=\left(-1;0;-2\right)$

Hướng dẫn giải:

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là $\overrightarrow{AB}=\left(-1;0;2\right)$.

Chọn B.

Ví dụ 2:

A. $\overrightarrow{u}=\left(-2;4;5\right)$

B. $\overrightarrow{u}=\left(3;-1;2\right)$

C. $\overrightarrow{u}=\left(1;3;-2\right)$

D. $\overrightarrow{u}=\left(5;4;-2\right)$

Hướng dẫn giải:

(P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=\left(3;-1;2\right)$

(Q) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}=\left(1;3;-2\right)$

Vì d là là giao tuyến của (P) và (Q) nên ta có :

$\overrightarrow{u_d}=\left.\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{n_Q}\right]=\left(-4;8;10\right)=2\left(-2;4;5\right)$

Ta chọn VTCP là $\overrightarrow{u}=\left(-2;4;5\right)$

Chọn A.

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và biết vectơ chỉ phương.

Phương pháp giải:

a) Loại 1: Viết phương trình đường thẳng $\Delta$đi qua điểm $M\left(x_o;y_o;z_o\right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(u_1;u_2;u_3\right)$.

+) Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$là: $\begin{array}{l}x=x_o+u_{1}t\\ y=y_o+u_{2}t\\ z=z_o+u_{3}t\end{array}.$ $\left(t\in ℝ\right)$

+) Phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ là: $\frac{x-x_0}{u_1}=\frac{y-y_o}{u_2}=\frac{z-z_o}{u_3}.$

b) Loại 2: Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm A, B.

+) Xác định vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{u_{\Delta }}=\overrightarrow{AB}$.

+) Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ qua điểm A và có VTCP là $\overrightarrow{AB}$

c) Loại 3: Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm M và song song với đường thẳng d.

+) Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là$\overrightarrow{u_{\Delta }}=\overrightarrow{u_d}$

+) Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ qua điểm M và có VTCP là $\overrightarrow{u_{△}}$

Chú ý: Các trường hợp đặc biệt.

Nếu đường thẳng $\Delta$song song với trục Ox thì có VTCP là $\overrightarrow{u_{\Delta }}=\overrightarrow{i}=\left(1;\text{ 0; 0}\right)$.

Nếu đường thẳng $\Delta$song song với trục Oy thì có VTCP là $\overrightarrow{u_{\Delta }}=\overrightarrow{j}=\left(0;\text{ 1; 0}\right)$.

Nếu đường thẳng $\Delta$ song song với trục Oz thì có VTCP là $\overrightarrow{u_{\Delta }}=\overrightarrow{k}=\left(0;\text{ 0; 1}\right)$

d) Loại 4: Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng $\left(\alpha \right)$.

+) Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow{u_{\Delta }}=\overrightarrow{n_{\alpha }}$

+) Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ qua điểm M và có VTCP là $\overrightarrow{u_{△}}$.

Chú ý: Các trường hợp đặc biệt.

Nếu $\Delta$vuông góc với mặt phẳng (Oxy) thì có VTCP là $\overrightarrow{u_{\Delta }}=\overrightarrow{k}=\left(0;\text{\hspace{0.17em}0;\hspace{0.17em}}1\right)$.

Nếu $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng (Oxz) thì có VTCP là $\overrightarrow{u_{\Delta }}=\overrightarrow{j}=\left(0;1\text{;\hspace{0.17em}}0\right)$.

Nếu $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng (Oyz) thì có VTCP là$\overrightarrow{u_{\Delta }}=\overrightarrow{i}=\left(1;\text{\hspace{0.17em}0;\hspace{0.17em}}0\right)$

Ví dụ 3:

A. $\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=2-2t\\ z=-3+7t\end{array}.$

B.$\begin{array}{l}x=3+t\\ y=-2+2t\\ z=7-3t\end{array}.$

C. $\begin{array}{l}x=-3+7t\\ y=2-2t\\ z=1+3t\end{array}.$

D. $\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=2+2t\\ z=3+7t\end{array}.$

Hướng dẫn giải:

Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$là: $\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=2-2t\\ z=-3+7t\end{array}.$

Chọn A.

Ví dụ 4:

A. $\begin{array}{l}x=2+t\\ y=3+2t\\ z=-1+4t\end{array}.$

B. $\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2+3t\\ z=4-t\end{array}.$

C. $\begin{array}{l}x=2-t\\ y=3-t\\ z=-1+5t\end{array}.$

D. $\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=-1+3t\\ z=5-t\end{array}.$

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d đi qua điểm A và nhận $\overrightarrow{AB}=\left(-1;-1;5\right)$ làm vectơ chỉ phương.

Nên phương trình đường thẳng d là: $d:\frac{x+2}{4}=\frac{y-5}{2}=\frac{z-2}{3}.$

Chọn C.

Ví dụ 5:

A. $\begin{array}{l}x=4+4t\\ y=-2+2t\\ z=2+3t\end{array}.$

B. $\begin{array}{l}x=4+4t\\ y=2-2t\\ z=3+2t\end{array}.$

C. $\begin{array}{l}x=4-2t\\ y=-2+5t\\ z=2+2t\end{array}.$

D. $\begin{array}{l}x=2+4t\\ y=5-2t\\ z=2+2t\end{array}.$

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_d}=\left(4;2;3\right).$

Vì đường thẳng $\Delta$ song song với đường thẳng d nên $\overrightarrow{u_{\Delta }}=\overrightarrow{u_d}=\left(4;2;3\right).$

Vì $\Delta$ đi qua điểm M nên ta có phương trình đường thẳng $\Delta$ là: $\begin{array}{l}x=4+4t\\ y=-2+2t\\ z=2+3t\end{array}.$

Chọn A.

Ví dụ 6:

A. $\frac{x-2}{2}=\frac{y+4}{-3}=\frac{z+3}{6}.$

B. $\frac{x+2}{2}=\frac{y+3}{4}=\frac{z-6}{3}.$

C. $\frac{x+2}{2}=\frac{y-4}{-3}=\frac{z-3}{6}.$

D. $\frac{x+2}{2}=\frac{y-3}{4}=\frac{z+6}{3}.$

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{\alpha }}=\left(2;-3;6\right)$.

Vì đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng $\left(\alpha \right)$nên $\overrightarrow{u_{\Delta }}=\overrightarrow{n_{\alpha }}=\left(2;-3;6\right)$.

Vì $\Delta$ đi qua điểm A (-2; 4; 3) nên phương trình đường thẳng$\Delta$ là: $\frac{x+2}{2}=\frac{y-4}{-3}=\frac{z-3}{6}.$

Chọn C.

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt d1 và thỏa mãn điều kiện khác

a) Loại 1: Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M\left(x_o;y_o;z_o\right)$, vuông góc và cắt đường thẳng d.

Phương pháp giải:

$\Delta$Gọi $H=\left(\Delta \right)\cap d.$

Tìm tọa độ điểm H từ điều kiện $\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{u_d}=0$

là đường thẳng đi qua 2 điểm M và H.

Ví dụ 7:

A. $\frac{x-2}{6}=\frac{y+3}{-5}=\frac{z+1}{32}$

B. $\frac{x+2}{6}=\frac{y+3}{5}=\frac{z-1}{32}$

C. $\frac{x-2}{6}=\frac{y-3}{5}=\frac{z+1}{-32}$

D. $\frac{x-2}{6}=\frac{y-3}{5}=\frac{z+1}{32}$

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_d}=\left(2;4;1\right)$.

Gọi N là giao điểm của $\Delta$ và d. Vì $N\in d\Rightarrow$ N (2t; 4t; 3 + t).

Suy ra $\overrightarrow{MN}=\left(2t-2;4t-3;t+4\right)$

Vì $\Delta \perp d\Rightarrow \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{u_d}=0$

$\iff 2\left(2t-2\right)+4\left(4t-3\right)+t+4=0\iff t=\frac{4}{7}.$

Khi đó:

$\overrightarrow{MN}=\left(-\frac{6}{7};-\frac{5}{7};\frac{32}{7}\right)=-7\left(6;5;-32\right)$

Suy ra $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_{\Delta }}=\left(6;5;-32\right)$. Mà $\Delta$ đi qua M nên phương trình đường thẳng $\left(\Delta \right):\frac{x-2}{6}=\frac{y-3}{5}=\frac{z+1}{-32}$

Chọn C

b) Loại 2: Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm A vuông góc với đường thẳng $d_1$ và cắt đường thẳng $d_2.$

Phương pháp giải:

Gọi $B=\Delta \cap d_2$

Tìm tọa độ điểm B từ điều kiện $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_{d_1}}=0$

$\Delta$ là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B.

Ví dụ 8:

Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A vuông góc với đường thẳng $d_1$và cắt đường thẳng $d_2.$

A. $\frac{x-1}{4}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-3}{4}.$

B. $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-3}{3}$

C. $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-3}{-1}$

D. $\frac{x-1}{-2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-3}{3}$

Hướng dẫn giải:

Gọi $M=d\cap d_2,$

${\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}d}}_2:\begin{array}{l}x=2+t\\ y=-1-t\\ z=1+t\end{array}\Rightarrow M\left(t+2,-t-1,t+1\right).$

Đường thẳng d nhận $\overrightarrow{AM}=\left(t+1;-t;t-2\right)$ là một VTCP.

Đường thẳng $d_1$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_1}=\left(1;4;-2\right).$

Ta có:

$d\perp d_1\iff \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{u}=0\iff \left(t+1\right)-4t-2\left(t-2\right)=0\iff t=1\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\left(2;-1;-1\right).$

Đường thẳng d qua A (1; -1; 3) và nhận $\overrightarrow{AM}=\left(2;-1;-1\right)$ là một VTCP nên phương trình đường thẳng d là $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-3}{-1}.$

Chọn C

Loại 3: Viết phương trình đường thẳng $∆$ đi qua điểm M và cắt hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ .

Phương pháp giải:

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của d và $d_1$, d và $d_2.$

Đường thẳng d đi qua M nên A, B, M thẳng hàng

$\Rightarrow \overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}$ cùng phương $\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{MB}$. Từ đó tìm ra A và B.

Ví dụ 9:

A. $\sqrt{38}$.

B. $2\sqrt{10}$.

C. 8.

D. 12.

Hướng dẫn giải

Vì A thuộc $d_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+1}{1}$ nên A (1 + 2t; 1 – t; -1 + t).

Vì B thuộc $d_2:\frac{x+2}{3}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-2}{2}$ nên B (-2 + 3t’; -1 + t’; 2 + 2t’).

Suy ra $\overrightarrow{MA}=\left(2t-1;2-t;5+t\right)$,

$\overrightarrow{MB}=\left(-4+3t^{\text{'}};t^{\text{'}};8+2t^{\text{'}}\right)$.

Ta có A, B, M thẳng hàng khi và chỉ khi

$\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{MB}\iff \begin{array}{l}2t-1=k\left(3t\text{'}-4\right)\\ 2-t=kt\text{'}\\ t+5=k\left(2t\text{'}+8\right)\end{array}\iff \begin{array}{l}t=1\\ t\text{'}=2\\ k=\frac{1}{2}\end{array}$

Với t = 1, t’ = 2 ta được A (3; 0; 0), B (4; 1; 6), suy ra $AB=\sqrt{{\left(4-3\right)}^2+1^2+6^2}=\sqrt{38}$

Chọn A.

III. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu 1:

A. $\overrightarrow{u}=\left(2;-1;2\right)$

B. $\overrightarrow{u}=\left(3;0;2\right)$

C. $\overrightarrow{u}=\left(2;0;2\right)$

D. $\overrightarrow{u}=\left(2;-1;0\right)$

Câu 2:

A. $\overrightarrow{u}=\left(0;2;0\right)$

B. $\overrightarrow{u}=\left(1;2;0\right)$

C. $\overrightarrow{u}=\left(1;0;0\right)$

D. $\overrightarrow{u}=\left(-1;2;0\right)$

Câu 3:

A. $\overrightarrow{u}=\left(2;-1;1\right)$

B. $\overrightarrow{u}=\left(1;3;1\right)$

C. $\overrightarrow{u}=\left(1;1;-1\right)$

D. $\overrightarrow{u}=\left(2;2;1\right)$

Câu 4:

A. $\overrightarrow{u}=\left(0;2;1\right)$

B. $\overrightarrow{u}=\left(-2;0;-1\right)$

C. $\overrightarrow{u}=\left(-1;2;3\right)$

D. $\overrightarrow{u}=\left(1;2;3\right)$

Câu 5:

A. $\frac{x-3}{-6}=\frac{y+2}{2}=\frac{z}{-2}.$

B. $\frac{x-3}{-2}=\frac{y+2}{2}=\frac{z}{3}.$

C. $\frac{x+3}{-5}=\frac{y+2}{4}=\frac{z}{3}.$

D. $\frac{x-3}{-5}=\frac{y+2}{4}=\frac{z}{3}.$

Câu 6:

A. $\begin{array}{l}x=5+t\\ y=-1+t\\ z=3\end{array}.$

B. $\begin{array}{l}x=5\\ y=-1\\ z=3+t\end{array}.$

C. $\begin{array}{l}x=5t\\ y=-t\\ z=1+3t\end{array}.$

D. $\begin{array}{l}x=1+5t\\ y=1-t\\ z=3t\end{array}.$

Câu 7:

A. $\frac{x+1}{-1}=\frac{y+3}{4}=\frac{z+2}{-2}.$

B. $\frac{x+1}{1}=\frac{y-4}{3}=\frac{z+2}{2}.$

C. $\frac{x-1}{1}=\frac{y+4}{3}=\frac{z-2}{2}.$

D. $\frac{x-1}{-1}=\frac{y-3}{4}=\frac{z-2}{-2}.$

Câu 8:

A. $\begin{array}{l}x=3+3t\\ y=2-5t\\ z=1+4t\end{array}$

B. $\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=1-5t\\ z=1+4t\end{array}$

C. $\begin{array}{l}x=1+9t\\ y=1-10t\\ z=1+22t\end{array}$

D. $\begin{array}{l}x=3+9t\\ y=2-10t\\ z=1+22t\end{array}$

Câu 9:

A. $\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=2+2t\\ z=-3+3t\end{array}.$

B. $\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2+2t\\ z=3+3t\end{array}.$

C. $\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=2-2t\\ z=-3-3t\end{array}.$

D. $\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=2+2t\\ z=-3-3t\end{array}.$

Câu 10: Viết

A. $\frac{x-3}{-3}=\frac{y-1}{6}=\frac{z+4}{4}$

B. $\frac{x-3}{-3}=\frac{y+1}{6}=\frac{z+4}{-4}$

C. $\frac{x-3}{-3}=\frac{y+1}{6}=\frac{z+4}{4}$

D. $\frac{x+3}{3}=\frac{y-1}{6}=\frac{z+4}{4}$

ĐÁP ÁN