50 bài toán về phương trình lôgarit và cách giải (có đáp án 2024) – Toán 12

Phương trình lôgarit và cách giải các dạng bài tập - Toán lớp 12

I. LÝ THUYẾT

a. Phương trình lôgarit cơ bản:

Phương trình lôgarit cơ bản có dạng: ${\log }_{a}x=b$ ,$a,b>0,a\ne 1$

Theo định nghĩa logarit ta có ${\log }_{a}x=b\iff x=a^b$

b. Phương pháp giải phương trình lôgarit

Biến đổi, quy về cùng cơ số:

${\log }_{a}f\left(x\right)={\log }_{a}g\left(x\right)\iff \begin{array}{c}0<a\ne 1\\ f\left(x\right)=g\left(x\right)>0\end{array}$

Đặt ẩn phụ:

$f\left.{\log }_{a}g\left(x\right)\right]=0(0<a\ne 1)\iff \begin{array}{c}t={\log }_{a}g\left(x\right)\\ f\left(t\right)=0\end{array}$

Mũ hóa hai vế:

${\log }_{a}g\left(x\right)=f\left(x\right)(0<a\ne 1)\iff \begin{array}{c}g\left(x\right)>0\\ g\left(x\right)=a^{f\left(x\right)}\end{array}$

Giải bằng phương pháp đồ thị:

Giải phương trình:

${\log }_{a}x=f\left(x\right)\left(0<a\ne 1\right)\left(*\right)$

Xem phương trình $\left(*\right)$ là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị $y={\log }_{a}x$ $\left(0<a\ne 1\right)$ và $y=f\left(x\right)$. Khi đó ta thực hiện hai bước:

Bước 1. Vẽ đồ thị các hàm số $y={\log }_{a}x$ $\left(0<a\ne 1\right)$ và $y=f\left(x\right)$.

Bước 2. Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị.

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:

Sử dụng đánh giá

II. CÁC DẠNG BÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1. Phương trình loogarit cơ bản

A. Phương pháp giải

Xét phương trình lôgarit cơ bản:${\log }_{a}f\left(x\right)=b$,$a,b>0,a\ne 1$

Bước 1: Nêu điều kiện để f(x) có nghĩa

Bước 2: Giải phương trình ${\log }_{a}f\left(x\right)=b\iff f\left(x\right)=a^b$

Bước 3: Kết luận nghiệm của phương trình.

B. Ví dụ minh họa

Câu 1

A. $S=\left.16\right\}$

B. $S=\left.18\right\}$.

C. $S=\left.10\right\}$

D. $S=\left.14\right\}$.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có

${\log }_4\left(x-2\right)=2\iff \begin{array}{l}x-2>0\\ {\log }_4\left(x-2\right)={\log }_4{4}^2\end{array}\iff \begin{array}{l}x>2\\ x-2=4^2\end{array}\iff \begin{array}{l}x>2\\ x=18\end{array}\iff x=18$

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {18}.

Câu 2:

A. 2.

B. 1

C. 0

D. một số khác.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Điều kiện

${\left(x-1\right)}^2>0\iff x-1\ne 0\iff x\ne 1.$

Ta có

$\log {\left(x-1\right)}^2=2=\log {10}^2\iff {\left(x-1\right)}^2=100$

$\iff \begin{array}{l}x=11\\ x=-9\end{array}$(thỏa mãn).

Vậy phương trình có hai nghiệm.

Câu 3:

A. 1

B. 3

C. 2

D. 0

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Điều kiện xác định:

$x\left(x–1\right)>0\iff \begin{array}{l}x<0\\ x>1\end{array}$

$pt\iff x\left(x-1\right)=2\iff x^2-x-2=0$

$\iff x=-1$ hoặc $x=2$ (thỏa mãn).

Vậy phương trình có hai nghiệm.

Câu 4:

A. -3

B. -2

C. $\sqrt{17}$

D. $\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$

Hướng dẫn giải

Chọn A.

[Phương pháp tự luận]

Điều kiện: $\begin{array}{l}x<-3\\ x>0\end{array}$

${\log }_2\left.x\left(x+3\right)\right]=1\iff x\left(x+3\right)=2\iff x^2+3x-2=0$

$\iff \begin{array}{l}x=\frac{-3+\sqrt{17}}{2}\\ x=\frac{-3-\sqrt{17}}{2}\end{array}$ (thỏa mãn)

Vậy $x_1+x_2=-3.$

[Phương pháp trắc nghiệm]

Dùng chức năng SOLVE trên máy tính bỏ túi tìm được 2 nghiệm và lưu 2 nghiệm vào A và B. Tính A + B = – 3.

Câu 5:

A. -2

B. 1.

C. -1

D. 2.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Điều kiện $x<0$ hoặc $x>1$

${\log }_2\left.x\left(x-1\right)\right]=1\iff x^2-x-2=0\iff \begin{array}{l}{x}_1=-1\\ x_2=2\end{array}\iff x_1.x_2=-2$

Dạng 2. Phương pháp đưa về cùng cơ số

A. Phương pháp giải

Xét phương trình cùng cơ số:

${\log }_{a}f\left(x\right)={\log }_{a}g\left(x\right),0<a\ne 1$

Bước 1: Nêu điều kiện $\begin{array}{l}f\left(x\right)>0\\ g\left(x\right)>0\end{array}$

Bước 2 Giải phương trình:

${\log }_{a}f\left(x\right)={\log }_{a}g\left(x\right)\iff f\left(x\right)=g\left(x\right)$

Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận.

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Tập nghiệm của phương trình ${\log }_2\left(x^2-1\right)={\log }_2\left(2x\right)$ là

A. $\left.1+\sqrt{2}\right\}$

B. {2; 41}

C. $\left.1-\sqrt{2};1+\sqrt{2}\right\}$

D. $\left.\frac{1+\sqrt{2}}{2}\right\}$

Hướng dẫn giải.

Chọn A.

Điều kiện: $\begin{array}{c}{x}^2-1>0\\ 2x>0\end{array}\iff x>1.$

Khi đó PT $\iff x^2-1=2x$

$\iff \begin{array}{c}x=1-\sqrt{2}\\ x=1+\sqrt{2}\end{array}$

Đối chiếu điều kiện ta được tập nghiệm của phương trình là $\left.1+\sqrt{2}\right\}$.

Câu 2

A. $\left(1\right)\iff \begin{array}{l}{x}^3+2>0\\ x^2-6>0\\ x^3-x^2+8=0\end{array}$

B. $\left(1\right)\iff \begin{array}{l}{x}^3+2>0\\ x^3-x^2+8=0\end{array}$

C. $\left(1\right)\iff \begin{array}{l}{x}^2-6>0\\ x^3-x^2+8=0\end{array}$

D. $\left(1\right)\iff \begin{array}{l}\left(x^3+2\right)\left(x^2-6\right)>0\\ x^3-x^2+8=0\end{array}$

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Điều kiện của phương trình là $\begin{array}{l}{x}^3+2>0\\ x^2-6>0\end{array}$

Khi đó

$\left(1\right)\iff {\log }_5\left(x^3+2\right)-{\log }_5\left(x^2-6\right)=0\iff {\log }_5\frac{x^3+2}{x^2-6}=0={\log }_{5}1\iff \frac{x^3+2}{x^2-6}=1\iff x^3-x^2+8=0$

Vậy phương trình đã cho tương đương với $\begin{array}{l}{x}^3+2>0\\ x^2-6>0\\ x^3-x^2+8=0\end{array}$

Câu 3:

A. 0.

B. 2.

C. 3.

D. 1.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

[Phương pháp tự luận]

Điều kiện

$\begin{array}{l}x-3>0\\ x^2-6x+7>0\end{array}\iff \begin{array}{l}x>3\\ \begin{array}{l}x>3+\sqrt{2}\\ x<3-\sqrt{2}\end{array}\iff x>3+\sqrt{2}\end{array}$

Khi đó, ta có:

$\ln \left(x^2-6x+7\right)=\ln \left(x-3\right)\iff x^2-6x+7=x-3\iff x^2-7x+10=0\iff \begin{array}{l}x=5\\ x=2\end{array}$

Kết hợp với điều kiện, x = 5 là giá trị cần tìm.

[Phương pháp trắc nghiệm]

Nhập vào màn hình máy tính $\ln \left(X^2-6X+7\right)-\ln \left(X-3\right)=0$

Ấn SHIFT CALC nhập X = 4 (chọn X thỏa điều kiện xác định của phương trình), ấn =. Máy hiện X = 5.

Ấn Alpha X Shift STO A

Ấn AC. Viết lại phương trình:

$\frac{\ln \left(X^2-6X+7\right)-\ln \left(X-3\right)}{X-A}=0$

Ấn SHIFT CALC. Máy hỏi A? ẤN = Máy hỏi X? Ấn 7 =.

Máy không giải ra nghiệm. Vậy đã hết nghiệm.

Câu 4

A. $\left.1;2\right\}$

B. $\left.3;\frac{1}{9}\right\}$

C. $\left.\frac{1}{3};9\right\}$

D. $\left.0;1\right\}$

Hướng dẫn giải.

Chọn D.

Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình ${\log }_{3}x-{\log }_3\left(x-2\right)={\log }_{\sqrt{3}}m$ có nghiệm?

A. $m>1$

B. $m\ge 1$

C. $m<1$

D. $m\le 1$

Hướng dẫn giải

Chọn A.

[Phương pháp tự luận]

Kết hợp với điều kiện m > 0, ta được m > 1.

Phương trình có nghiệm x >2 khi m >1 ,chọn đáp án A

[Phương pháp trắc nghiệm]

Thay m =0 (thuộc C, D) vào biểu thức ${\log }_{\sqrt{3}}m$ không xác định, vậy loại C, D,

Thay m =1 (thuộc B) ta được phương trình tương đương $x=x-2$ vô nghiệm

Vậy chọn đáp án A.

Dạng 3. Phương pháp đặt ẩn phụ

A. Phương pháp giải

Xét phương trình:$f\left.{\log }_{a}g\left(x\right)\right]=0(0<a\ne 1)$

Bước 1: Đặt điều kiện: g(x) > 0

Bước 2: Đặt $t={\log }_{a}g\left(x\right)$

Giải phương trình f(t) = 0, tìm t.

Bước 3: Thay vào phương trình: $t={\log }_{a}g\left(x\right)$, tìm x.

Bước 4: Kết hợp với điều kiện và kết luận.

B. Ví dụ minh họa

Câu 1

A. $t^2-5t+6=0$

B. $t^2+5t+6=0$

C. $t^2-6t+5=0$

D. $t^2+6t+5=0$

Hướng dẫn giải

Chọn A

Câu 2

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{8}$

C. $\frac{1}{4}$

D. $\frac{3}{4}$

Hướng dẫn giải

Chọn B.

[Phương pháp tự luận]

Điều kiện: $\begin{array}{l}x>0\\ x\ne 4\\ x\ne \frac{1}{16}\end{array}$

Đặt $t={\log }_{2}x$ ,điều kiện $\begin{array}{l}t\ne -4\\ t\ne 2\end{array}$. Khi đó phương trình trở thành:

$\frac{1}{4+t}+\frac{2}{2-t}=1\iff t^2+3t+2=0\iff \begin{array}{l}t=-1\\ t=-2\end{array}\Rightarrow \begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ x=\frac{1}{4}\end{array}$

Vậy $x_1.x_2=\frac{1}{8}$

[Phương pháp trắc nghiệm]

Dùng chức năng SOLVE trên máy tính bỏ túi tìm được 2 nghiệm là $\frac{1}{2}$ và $\frac{1}{4}$.

Câu 3

A. $\left.-1;-3\right\}$

B. $\left.1;3\right\}$

C. $\left.3;63\right\}$

D. $\left.1;2\right\}$

Hướng dẫn giải

Chọn C.

[Phương pháp tự luận]

[Phương pháp trắc nghiệm]

Thay x =1 (thuộc B, D) vào vế trái ta được 3=0 vô lý, vậy loại B, D,

Thay x = - 1 vào ${\log }_5\left(2x-1\right)$ ta được ${\log }_5\left(-3\right)$ không xác định, nên loại A

Vậy chọn đáp án C.

Câu 4

A. 20

B. 5

C. 36

D. 25

Hướng dẫn giải.

Chọn A.

Điều kiện x >0. Giải phương trình bậc hai với ẩn là ${\log }_{2}x$ ta được:

${\log }_2^{2}x-3{\log }_{2}x+2=0\iff \begin{array}{l}{\log }_{2}x=1\\ {\log }_{2}x=2\end{array}\iff \begin{array}{l}x=2\\ x=4\end{array}$

Khi đó, $P={x_1}^2+{x_2}^2=2^2+4^2=20$.

Câu 5:

A. $m<-1.$

B. $m\ge 3.$

C. $m<3.$

D. $m>3.$

Hướng dẫn giải

Chọn D.

${{\log }_2}^{2}x+2{\log }_{2}x-m=0$ (1).

Đặt $t={\log }_{2}x$, phương trình (1) trở thành: $t^2+2t-m=0\iff t^2+2t=m$ (2).

Phương trình (1) có nghiệm $x>2\iff$ phương trình (2) có nghiệm:

$t>1\left(dot={\log }_{2}x>{\log }_{2}2=1\right)$

Xét hàm số $y=t^2+2t$$\Rightarrow y\text{'}=2t+2,y\text{'}=0\iff t=-1$ ( loại).

Bảng biến thiên

Từ Bảng biến thiên suy ra phương trình (2) có nghiệm $t>1\iff m>3.$

Dạng 4. Phương pháp mũ hóa

A. Phương pháp giải

Xét phương trình: ${\log }_{a}g\left(x\right)=f\left(x\right)(0<a\ne 1)$

Bước 1: Đặt điều kiện g(x) > 0

Bước 2: Giải phương trình:

${\log }_{a}g\left(x\right)=f\left(x\right)(0<a\ne 1)\iff g\left(x\right)=a^{f\left(x\right)}$

Bước 3: Kết hợp với điều kiện, kết luận nghiệm.

Câu 1:

A. $P=4$

B. $P=1$

C. $P=8$

D. $P=2$

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có

${\log }_2\left(\frac{{5.2}^x-8}{2^x+2}\right)=3-x\iff \begin{array}{l}\frac{{5.2}^x-8}{2^x+2}>0\\ \frac{{5.2}^x-8}{2^x+2}=\frac{8}{2^x}\end{array}\iff \begin{array}{l}\frac{{5.2}^x-8}{2^x+2}>0\\ \begin{array}{l}{2}^x=-\frac{4}{5}\\ 2^x=4\end{array}\end{array}\iff 2^x=4\iff x=2$

Vậy $P=2^{{\log }_2\left(4.2\right)}=8$

Câu 2:

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 0.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

[Phương pháp tự luận]

Điều kiện

${3.2}^x-1>0\iff 2^x>\frac{1}{3}\iff x>{\log }_2\frac{1}{3}$

${\log }_2\left({3.2}^x-1\right)=2x+1\iff {3.2}^x-1=2^{2x+1}\iff {2.4}^x-{3.2}^x+1=0\iff \begin{array}{l}{2}^x=1\\ 2^x=\frac{1}{2}\end{array}\iff \begin{array}{l}x=0\\ x=-1\end{array}$

(thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm.

[Phương pháp trắc nghiệm]

Nhập vào màn hình máy tính:

${\log }_2\left(3x{2}^X-1\right)-2X-1=0$

Ấn SHIFT CALC nhập X=5, ấn =. Máy hiện X=0.

Ấn Alpha X Shift STO A

Ấn AC. Viết lại phương trình:

$\frac{{\log }_2\left(3x{2}^X-1\right)-2X-1}{X-A}=0$

Ấn SHIFT CALC. Máy hỏi A? ẤN = Máy hỏi X? Ấn 5 =. Máy hiện X=-1.

Ấn Alpha X Shift STO B.

Ấn AC. Viết lại phương trình:

$\frac{{\log }_2\left(3\text{x}{2}^X-1\right)-2X-1}{\left(X-A\right)\left(X-B\right)}=0$

Ấn SHIFT CALC. Máy hỏi A? ẤN = Máy hỏi B? Ấn =. Máy hỏi X? Ấn 1=

Máy không giải ra nghiệm. Vậy đã hết nghiệm.

Câu 3

A. 2.

B. 1.

C. 3.

D. 0.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x =2.

Câu 4

A. $m=\frac{1}{\sqrt[4]{5}}.$

B. $m=1$

C. $\begin{array}{l}m\ge 1\\ m=\frac{1}{\sqrt[4]{5}}\end{array}.$

D. $m\ge 1.$

Hướng dẫn giải.

Chọn C.

Điều kiện ${25}^x-{\log }_{5}m>0$

PT:

$\iff {25}^x-{\log }_{5}m=5^x\stackrel{t=5^x>0}{\to }{t}^2-t={\log }_{5}m$

Xét $g\left(t\right)=t^2-t$ trên $\left(0;+\infty \right)$ ta có bảng biến thiên:

PT đã cho có nghiệm duy nhất:

$\iff \begin{array}{l}{\log }_{5}m=-\frac{1}{4}\\ {\log }_{5}m\ge 0\end{array}\iff \begin{array}{l}m=\frac{1}{\sqrt[4]{5}}\\ m\ge 1\end{array}$.

Dạng 5. Phương pháp hàm số, đồ thị và đánh giá

A. Phương pháp giải

Giải bằng phương pháp đồ thị:

Giải phương trình:

${\log }_{a}x=f\left(x\right)\left(0<a\ne 1\right)\left(*\right)$

Xem phương trình $\left(*\right)$ là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị $y={\log }_{a}x\left(0<a\ne 1\right)$ và $y=f\left(x\right)$. Khi đó ta thực hiện hai bước:

$\Rightarrow$ Bước 1. Vẽ đồ thị các hàm số $y={\log }_{a}x\left(0<a\ne 1\right)$ và $y=f\left(x\right)$.

$\Rightarrow$Bước 2. Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị.

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:

Sử dụng đánh giá

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Phương trình: $\ln \left(x^2+x+1\right)-\ln \left(2x^2+1\right)=x^2-x$ có tổng bình phương các nghiệm bằng:

A. 5

B. 1

C. 9

D. 25

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Câu 2:

A. $m>3$

B. $m<2$

C. $m>0$

D. $m=2$

Hướng dẫn gải:

Chọn B.

Điều kiện: $-1<x\ne 2.$

Phương trình đã cho tương đương với:

${\log }_{\frac{3}{2}}\left.x-2\right|+{\log }_{\frac{3}{2}}\left(x+1\right)=m\iff {\log }_{\frac{3}{2}}\left(\left.x-2\right|\left(x+1\right)\right)=m\iff \left.x-2\right|\left(x+1\right)={\left(\frac{3}{2}\right)}^m(*)$

Phương trình $\left(*\right)$ là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $f\left(x\right)=\left.x-2\right|\left(x+1\right)$ và đường thẳng $y={\left(\frac{3}{2}\right)}^m$ (cùng phương với trục hoành).

Xét hàm số $f\left(x\right)=\left.x-2\right|\left(x+1\right)$ xác định trên $\left(-1;2\right)\cup \left(2;+\infty \right)$.

Ta có :

Đồ thị

Dựa vào đồ thị, ta thấy để phương trình $\left(*\right)$ có ba nghiệm phân biệt khi

$0<{\left(\frac{3}{2}\right)}^m<\underset{\left(-1;2\right)}{\max }g\left(x\right)\iff {\left(\frac{3}{2}\right)}^m<\frac{9}{4}\iff m<2$

Chọn B.

Câu 3

A. 5

B. 3

C. $\sqrt{5}$

D. 2

Hướng dẫn giải

Chọn B.

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1

A. $x=9$

B. $x=7$

C. $x=8$

D. $x=10$

Câu 2:

A. 2

B. 3

C. 4

D. 8

Câu 3:

A. 2.

B. 0.

C. 1.

D. 3.

Câu 4:

A. $S=\left.1;7\right\}.$

B. $S=\left.7\right\}.$

C. $S=\left.1\right\}.$

D. $S=\left.3;7\right\}.$

Câu 5:

A. 3.

B. 4.

C. 1.

D. 2.

Câu 6:

Khi đó $\left.x_1-x_2\right|$ bằng:

A. 5.

B. 3.

C. -2

D. 7.

Câu 7:

A. 0.

B. 2.

C. 3.

D. 1.

Câu 8:

A. $x=1\pm 2\sqrt{17}.$

B. $x=1+2\sqrt{17}.$

C. $x=33$

D. $x=5$

Câu 9:

A. 5.

B. 14.

C. 3.

D. 13.

Vậy $2x_1+3x_2=2.1+3.4=14$.

Câu 10:

A. 0.

B. 2.

C. 3.

D. 1.

Câu 1

A. $\begin{array}{l}m=1\\ m=-1\end{array}$

B. $\begin{array}{l}m=1\\ m=-2\end{array}$

C. m <3

D. m >3

Câu 1

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Câu 13: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình ${\log }_{\frac{3}{2}}\left.x-2\right|-{\log }_{\frac{2}{3}}\left(x+1\right)=m$ có ba nghiệm phân biệt.

A. m >3

B. m <2

C. m >0

D. m =2

Câu 14:

A. $t^2-t-1=0$

B. $4t^2-3t-1=0$

C. $t+\frac{1}{t}=1$

D. $2t-\frac{1}{t}=3$

Câu 15

A. $e^3$

B. $\frac{1}{e}$

C. e

D. 2

Câu 16:

A. 100.

B. 2.

C. 10.

D. 1000.

Câu 17

A. $t^2+t-2=0$

B. $2t^2=1$

C. $t^2-t-2=0$

D. $t^2=1$

Câu18:

A. x =1

B. x =-1

C. x =2

D. x =3

Câu19

A. $3<m\le 4$

B. $3\le m\le \frac{10}{3}$

C. $\frac{10}{3}<m\le 4$

D. $3<m\le \frac{10}{3}$.

Câu 20. Cho phương trình ${4.5}^{\log \left(100x^2\right)}+{25.4}^{\log \left(10x\right)}={29.10}^{1+\log x}$. Gọi $av\text{à\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}b$ lần lượt là 2 nghiệm của phương trình. Khi đó tích ab bằng:

A. 0

B. 1

C. $\frac{1}{100}$.

D. $\frac{1}{10}$

Câu 2

A. $m<\frac{1}{2}$

B. $m>-\sqrt[3]{\frac{4^x}{2}}$

C. $0<m<\frac{1}{2}$

D. $m>0$

Câu 22:

A. 1 nghiệm

B. 2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

Câu 23

A. 3

B. 2

C. 1

D. 4

Câu 24

A. $\left(\ln 2;+\infty \right)$

B. $\left(0;+\infty \right)$

C. $\left(1;e\right)$

D. $\left(-\infty ;0\right)$

Câu 25: Biết phương trình ${\log }_5\frac{2\sqrt{x}+1}{x}=2{\log }_3\left(\frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)$ có nghiệm duy nhất $x=a+b\sqrt{2}$ trong đó a,b là các số nguyên. Tính a +b?

A. 5

B. -1

C. 1

D. 2

Đáp án