SBT Toán 8 Bài 2: Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

Mục lục Giải SBT Toán 8 Bài 2: Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

Bài 10 trang 51 SBT Toán 8 Tập 2: Đặt dấu “<; >; ≥;  ≤” vào ô vuông cho thích hợp:

a) (– 2).3  $\square$  (– 2).5;

b) 4.(– 2)   $\square$  (– 7).(– 2) ;

c) (– 6)² + 2  $\square$  36 + 2 ;

d) 5.(– 8)   $\square$  135.(– 8).

Lời giải:

a) Vì  3 < 5 mà –2 < 0 nên (–2) . 3 > (–2). 5

(–2). 3

>

(–2).5

Ta có thể dùng dấu ≥

b) Vì 4 > – 7 và – 2 < 0

nên 4.(–2) < ( –7).(–2)

4.(–2)

<

(–7).(–2)

Ta có thể dùng dấu ≤

c) Vì (– 6)² = 36 nên (–6)²  + 2 =  36 + 2.

(–6)2 + 2

≥

36 + 2

Ta có thể dùng dấu ≤

d) Vì 5 < 135 và – 8 < 0

nên 5.(–8) > 135.(–8)

5.(–8)

>

135.(–8)

Ta có thể dùng dấu ≥.

Bài 11 trang 52 SBT Toán 8 Tập 2: Cho m < n, hãy so sánh:

a) 5m và 5n ;

b) –3m và –3n.

Lời giải:

a) Ta có: m < n và 5 > 0 nên 5m < 5n.

b) Ta có: m < n và – 3 < 0

nên –3m > –3n.

Bài 12 trang 52 SBT Toán 8 Tập 2: Số b là số âm, số 0 hay số dương nếu:

a) 5b > 3b;

b) –12b > 8b;

c) –6b ≥ 9b;

d) 3b ≤ 15b.

Lời giải:

a) Vì 5 > 3 mà 5b > 3b nên b là số dương.

b) Vì –12 < 8 mà –12b > 8b nên b là số âm.

c) Vì –6 < 9 mà –6b ≥ 9b nên b là số không dương (tức là  b âm hoặc b = 0).

d) Vì 3 < 5 mà 3b ≤ 5b nên b là số không âm (tức là b dương hoặc b = 0).

Bài 13 trang 52 SBT Toán 8 Tập 2: Cho a < b, hãy đặt dấu “<, >” vào ô vuông cho thích hợp:

a)  $\frac{a}{2}\square \frac{b}{2}$ .

b) $\frac{a}{-3}\square \frac{b}{-3}$.

Lời giải:

a)Vì a < b và $\frac{1}{2}>0$ nên $a.\frac{1}{2}<b.\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{a}{2}<\frac{b}{2}$.

Vậy điền vào chỗ trống dấu  <.

b) Ta có a < b và $\frac{1}{-3}<0$ nên $a.\frac{1}{-3}>b.\frac{1}{-3}\Rightarrow \frac{a}{-3}>\frac{b}{-3}$.

Vậy điền vào chỗ trống dấu >.

Bài 14 trang 52 SBT Toán 8 Tập 2: Cho m > n, chứng tỏ:

a) m + 3 > n + 1;

b) 3m + 2 > 3n.

Lời giải:

a) Ta có: m > n ⇒ m + 3 > n + 3 (1)

Mà 1 < 3 ⇒ n + 1 < n + 3

hay n + 3 > n + 1 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: m + 3 > n + 1

(điều phải chứng minh).

b) Ta có: m > n và 3 > 0  ⇒ 3m > 3n (3)

Mà 2 > 0 ⇒ 3m + 2 > 3m + 0 = 3m (4)

Từ (3) và (4) suy ra: 3m + 2 > 3n  

(điều phải chứng minh).

Bài 15 trang 52 SBT Toán 8 Tập 2: Cho m < n, chứng tỏ:

a) 2m + 1 < 2n + 1 ;

b) 4(m – 2) < 4(n – 2);

c) 3 – 6m > 3 – 6n.

Lời giải:

a) Ta có: m < n  và 2 > 0⇒ 2m < 2n

Suy ra: 2m + 1 < 2n + 1 (điều phải chứng minh).

b) Ta có: m < n ⇒ m – 2 < n – 2

Mà 4 > 0 nên:  4(m – 2) < 4(n – 2) 

(điều phải chứng minh).

c) Ta có: m < n và – 6 < 0

⇒ – 6m > – 6n

Suy ra: 3 – 6m > 3 – 6n 

(điều phải chứng minh).

Bài 16 trang 52 SBT Toán 8 Tập 2: Cho m < n, chứng tỏ:

a) 4m + 1 < 4n + 5;

b) 3 – 5m > 1 – 5n.

Lời giải:

a) Ta có: m < n và 4 > 0⇒ 4m < 4n

⇒ 4m + 1 < 4n + 1 (1)

Mà 1 < 5 ⇒ 4n + 1 < 4n + 5 (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

4m + 1 < 4n + 5  (điều phải chứng minh).

b) Ta có: m < n và – 5 < 0 ⇒ –5m > –5n

 ⇒ 1 – 5m > 1 – 5n (3)

Lại có: 3 > 1 ⇒ 3 – 5m > 1 – 5m (4)

Từ (3) và (4) suy ra:

3 – 5m > 1 – 5n (điều phải chứng minh).

Bài 17 trang 52 SBT Toán 8 Tập 2: Cho a > 0, b > 0, nếu a < b, hãy chứng tỏ:

a) a² < ab và ab < b² ;

b) a² < b² và a³ < b³ .

Lời giải:

a) Với a > 0, b > 0 ta có:

a < b ⇒ a.a < a.b hay a² < ab   (1)

và a < b ⇒ a.b < b.b ⇒ ab < b²  (2).

(điều phải chứng minh)

b) Từ (1) và (2) suy ra: a² < b²

Ta có a > 0, b > 0 nên a² > 0; b² > 0.

Vì a < b ⇒ a.a² < b.a² hay a³ < a²b (3)

Vì a < b ⇒ a.b² < b. b² hay ab² < b³ (4)

Vì a < b; ab > 0  ⇒ a.ab < b.ab

⇒ a²b < ab² (5)

Từ (3), (4) và (5) ⇒ a³ < b³ 

(điều phải chứng minh).

Bài 18 trang 52 SBT Toán 8 Tập 2:Cho a > 5, hãy cho biết bất đẳng thức nào xảy ra:

a) a + 5 > 10 ;

b) a + 4 > 8;

c) –5 > –a;

d) 3a > 13.

Lời giải:

a) Ta có: a > 5

⇒ a + 5 > 5 + 5 hay a + 5 > 10.

b) Ta có: a > 5

⇒ a + 4 > 5 + 4 hay a + 4 > 9

Mà 9 > 8 nên  a + 4 > 8.

c) Ta có: a > 5 ;  – 1 < 0

⇒ –a < –5 ⇒ –5 > –a.

d) Ta có: a > 5 và  3 > 0 ⇒ a.3 > 5.3

⇒ 3a > 15

Mà  15 > 13 nên 3a > 13.

Vậy tất cả các bất đẳng thức đều xảy ra.

Bài 19 trang 52 SBT Toán 8 Tập 2: Cho a là số bất kì, hãy đặt dấu “<; >; ≥;  ≤” vào ô vuông cho thích hợp:

a) a²  $\square$  0 ;

b) –a²  $\square$  0 ;

c) a² + 1  $\square$  0 ;

d) –a² – 2  $\square$  0.

Lời giải:

a) Với mọi a ta có: a² $\ge$  0.

b) Với mọi a thì a² $\ge$  0 nên –a²  $\le$ 0.

c) Với mọi a ta có: a² $\ge$  0 nên a² + 1 $\ge$ 1.

Mà 1 > 0, suy ra:  a² + 1 > 0

d) Với mọi a ta có: a² $\ge$  0 nên a² + 2 $\ge$ 2.

Mà 2 > 0, suy ra:  a² + 2 > 0.

Nhân cả 2 vế với –1 < 0 ta được:  – a² – 2 < 0.

Bài 20 trang 52 SBT Toán 8 Tập 2: Cho a > b và m < n, hãy đặt dấu “<, >” vào ô vuông cho thích hợp:

a) a(m – n) $\square$  b(m – n);

b) m(a – b)  $\square$  n(a – b).

Lời giải:

a)Vì m < n nên m – n < 0.

Mà a > b suy ra:  a(m – n) <  b(m – n).

b) Vì a > b nên a – b > 0 .

Lại có: m < n suy ra: m(a – b) <  n(a – b).

Bài 21 trang 52 SBT Toán 8 Tập 2: Cho 2a > 8, chứng tỏ a > 4. Điều ngược lại là gì? Điều đó có đúng không?

Lời giải:

+ Vì $\frac{1}{2}>0$ nên nhân cả hai vế của 2a > 8 với $\frac{1}{2}$ ta được:

$2a.\frac{1}{2}>8.\frac{1}{2}\Rightarrow a>4$(điều phải chứng minh)

+ Điều ngược lại là: từ a > 4, có 2a > 8.

Điều này đúng vì: a > 4 và 2 > 0

nên a . 2 > 4 . 2 hay 2a > 8.

Bài 22 trang 52 SBT Toán 8 Tập 2:

a) Cho bất đẳng thức m > 0. Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với số nào thì được bất đẳng thức $\frac{1}{m}>0$?

b) Cho bất đẳng thức m < 0. Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với số nào thì được bất đẳng thức $\frac{1}{m}<0$?

Lời giải:

a) Ta có: m > 0

Suy ra: m² > 0 nên $\frac{1}{m^2}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}>0$.

$\Rightarrow m.\frac{1}{m^2}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}>0\Rightarrow \frac{1}{m}>0$.

Vậy từ bất đẳng thức m > 0. Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với $\frac{1}{m^2}\text{}$ thì được bất đẳng thức $\frac{1}{m}>0$.

b)Ta có: m < 0 .

Suy ra: m² > 0 nên $\frac{1}{m^2}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}>0$.

$\Rightarrow m.\frac{1}{m^2}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}<0\Rightarrow \frac{1}{m}<0$

Vậy từ bất đẳng thức m < 0. Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với $\frac{1}{m^2}\text{}$ thì được bất đẳng thức $\frac{1}{m}<0$.

Bài 23 trang 53 SBT Toán 8 Tập 2: Cho a > 0, b > 0 và a > b, chứng tỏ $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$.

Lời giải:

Ta có: a > 0, b > 0⇒ a.b > 0.b hay ab > 0

Suy ra: $\frac{1}{ab}>0$.

Vì a > b và  $\frac{1}{ab}>0$ nên $a.\frac{1}{ab}>b.\frac{1}{ab}$

Suy ra $\frac{1}{b}>\frac{1}{a}$

 Hay $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$. (điều phải chứng minh).

Bài 24 trang 53 SBT Toán 8 Tập 2: Điền dấu “<, >” vào ô vuông cho đúng:

a) (0,6)²  $\square$  0,6;

b) (1,3)²  $\square$ 1,3.

Lời giải:

a) Ta có: 0,6 < 1 và 0,6 > 0 nên :

0,6 . 0,6 < 1. 0, 6 hay  (0,6)² <  0,6.

b) Vì 1,3 > 1 và 1,3 > 0 nên

1,3. 1,3 > 1.1,3  hay (1,3)² > 1,3.

Bài 25 trang 53 SBT Toán 8 Tập 2:So sánh m² và m nếu:

a) m lớn hơn 1 ;

b) m dương nhưng nhỏ hơn 1.

Lời giải:

a) Ta có: m > 1 nên m > 0

 ⇒ m.m > 1.m hay m² > m.

b) Ta có: m > 0 và m < 1

⇒ m.m < 1.m hay m² < m.

Bài 26 trang 53 SBT Toán 8 Tập 2: Cho a < b và c < d, chứng tỏ a + c < b + d.

Lời giải:

Ta có: a < b ⇒ a + c < b + c (1)

Và c < d ⇒ b + c < b + d (2)

Từ (1) và (2), theo tính chất bắc cầu suy ra:

a + c < b + d. (điều phải chứng minh).

Bài 27 trang 53 SBT Toán 8 Tập 2: Cho a, b, c, d là các số dương thỏa mãn a < b, c < d, chứng tỏ ac < bd.

Lời giải:

Với a > 0, b > 0, c > 0, d > 0 ta có:

a < b ⇒ ac < bc (1)

Và c < d ⇒ bc < bd (2)

Từ (1) và (2), dùng tính chất bắc cầu suy ra: ac < bd (điều phải chứng minh).

Bài 28 trang 53 SBT Toán 8 Tập 2: Chứng tỏ rằng với a và b là các số bất kì thì:

a) a² + b² – 2ab ≥ 0;

b) $\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab$.

Lời giải:

a)Với mọi a, b ta có: (a – b)² ≥ 0

⇒ a² + b² – 2ab ≥ 0 ( điều phải chứng minh).

b) Với mọi a, b ta có: (a – b)² ≥ 0

⇒ a² + b² – 2ab ≥ 0

⇒ a² + b² – 2ab + 2ab ≥ 2ab

hay a² + b² ≥ 2ab

Vì $\frac{1}{2}>0$ nên $(a^2+b^2).\frac{1}{2}\ge 2ab.\frac{1}{2}$ hay $\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab$ (điều phải chứng minh).

Bài 29 trang 53 SBT Toán 8 Tập 2: Cho a và b là các số dương, chứng tỏ: $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$.

Lời giải:

Với 2 số dương a, b bất kì ta có:

(a – b)² ≥ 0 ⇒ a² + b² – 2ab ≥ 0

⇒ a² + b² – 2ab + 2ab ≥ 2ab

hay a² + b² ≥ 2ab (*)

Vì a > 0, b > 0 ⇒ a.b > 0 ⇒ $\frac{1}{ab}>0$.

Nhân hai vế của (*) với $\frac{1}{ab}$ ta có:

$(a^2+b^2).\frac{1}{ab}\ge 2ab.\frac{1}{ab}\iff \frac{a^2+b^2}{ab}\ge 2\iff \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$

(điều phải chứng minh).

Bài 30 trang 53 SBT Toán 8 Tập 2:

a) Với số a bất kì, chứng tỏ: a(a + 2) < (a + 1)²

b) Chứng minh rằng: Trong ba số nguyên liên tiếp thì bình phương số đứng giữa lớn hơn tích hai số còn lại.

Lời giải:

a) Ta có: 0 < 1 ⇒ a² + 2a + 0 < a² + 2a + 1

Hay a² + 2a < (a + 1)²

⇒ a(a + 2) < (a + 1)² (điều phải chứng minh).

b) Gọi a, a + 1, a + 2 là ba số nguyên liên tiếp, ta có:

Theo kết quả câu a ta có: a(a + 2) < (a + 1)²

Vậy trong ba số nguyên liên tiếp thì bình phương số đứng giữa lớn hơn tích hai số còn lại. (điều phải chứng minh).

Bài tập bổ sung