SBT Toán 8 Bài 8: Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Mục lục Giải SBT Toán 8 Bài 8: Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Bài 44 trang 95 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, AC = 9cm, BC = 24cm. Đường trung trực của BC cắt đường thẳng AC tại D, cắt BC tại M. Tính độ dài của đoạn thẳng CD.

Lời giải:

Xét hai tam giác vuông ABC và MDC, ta có:

$\widehat{BAC}=\widehat{DMC}=90°$

$\hat{C}$ chung

Suy ra tam giác ABC đồng dạng với tam giác MDC (g.g)

Suy ra: $\frac{AC}{MC}=\frac{BC}{DC}$ 

Suy ra: $DC=\frac{MC.BC}{AC}$

Ta có: MC = $\frac{1}{2}$.BC = $\frac{1}{2}$.24 = 12 (cm)

Vây DC = $\frac{12.24}{9}=32$ (cm).

Bài 45 trang 95 SBT Toán 8 Tập 2: Cho hình thang vuông ABCD ( $\hat{A}=\hat{D}=90°$); AB = 6cm, CD = 12cm, AD = 17cm. Trên cạnh AD, đặt đoạn AE = 8cm. Chứng minh $\widehat{BEC}=90°$.

Lời giải:

Ta có: AD = AE + DE

Suy ra: DE = AD – AE = 17 – 8 = 9cm

Xét ΔABE và ΔDEC, ta có:

 $\hat{A}=\hat{D}$ = 90^o (1)

Mà : $\frac{AB}{DE}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$; $\frac{AE}{DC}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$

Suy ra: $\frac{AB}{DE}=\frac{AE}{DC}$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra :ΔABE đồng dạng ΔDEC (c.g.c)

Suy ra: $\widehat{ABE}=\widehat{DEC}$ 

Trong ΔABE ta có: $\hat{A}$ = 90^o 

⇒ $\widehat{AEB}+\widehat{ABE}=90°$ 

Suy ra: $\widehat{AEB}+\widehat{DEC}$ = 90^o

Lại có: $\widehat{AEB}+\widehat{BEC}+\widehat{DEC}=\widehat{AED}=180°$

Vậy : $\widehat{BEC}$ = 180^o - $\left(\widehat{AEB}+\widehat{DEC}\right)$

= 180^o - 90^o = 90^o

Bài 46 trang 95 SBT Toán 8 Tập 2:Cho tam giác ABC vuông tại A, AC = 4cm, BC = 6cm. Kẻ tia Cx vuông góc với BC (tia Cx và điểm A khác phía so với đường thẳng BC). Lấy trên Cx điểm D sao cho BD = 9cm. Chứng minh rằng BD // AC.

Lời giải:

Xét hai tam giác vuông ABC và CDB, ta có:

 $\widehat{BAC}=\widehat{DCB}$ = 90^o (1)

Mà: $\frac{AC}{CB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3};\frac{CB}{BD}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$ .

Suy ra: $\frac{AC}{CB}=\frac{CB}{BD}$  (2).

Từ (1) và (2) suy ra: ΔABC đồng dạng ΔCDB (cạnh huyền và cạnh góc vuông tỉ lệ)

Suy ra: $\widehat{ACB}=\widehat{CBD}$

⇒ BD // AC ( hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau).

Bài 47 trang 95 SBT Toán 8 Tập 2: Trên hình vẽ hãy chỉ ra các tam giác đồng dạng. Viết các cặp tam giác đồng dạng theo thứ tự các đỉnh tương ứng và giải thích vì sao chúng đồng dạng.

Lời giải:

- ΔABC đồng dạng ΔHBA

Vì hai tam giác vuông có góc nhọn ở đỉnh B chung.

- ΔABC đồng dạng ΔHAC

Vì hai tam giác vuông có góc nhọn ở đỉnh C chung

- ΔABC đồng dạng ΔNMC

Vì hai tam giác vuông có góc nhọn ở đỉnh C chung

- ΔHAC đồng dạng ΔNMC

Vì hai tam giác vuông có góc nhọn ở đỉnh C chung

- ΔHAC đồng dạng ΔHBA

Vì hai tam giác vuông có góc nhọn $\widehat{HBA}=\widehat{HAC}$ (cùng phụ với $\widehat{BAH}$)

- ΔHAB đồng dạng ΔNCM

Vì hai tam giác vuông có góc nhọn $\widehat{HAB}=\widehat{NCM}$ (cùng phụ với $\widehat{HAC}$)

Bài 48 trang 95 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC ( $\hat{A}$ = 90^o) có đường cao AH. Chứng minh rằng AH² = BH.CH.

Lời giải:

Xét hai tam giác vuông HBA và HAC, ta có:

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90°$

 $\widehat{B}=\widehat{HAC}$ (hai góc cùng phụ $\hat{C}$)

Suy ra: ΔHBA đồng dạng ΔHAC (g.g)

Suy ra: $\frac{HA}{HB}=\frac{HC}{HA}$

Vậy AH² = BH.CH  (điều phải chứng minh).

Bài 49 trang 96 SBT Toán 8 Tập 2: Đường cao của một tam giác vuông xuất phát từ đỉnh góc vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có dộ dài là 9cm và 16cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác vuông.

Lời giải:

Xét hai tam giác vuông DAC và DBA ,ta có:

$\widehat{ADC}=\widehat{BDA}$ = 90^o

$\widehat{C}=\widehat{DAB}$  (hai góc cùng phụ $\hat{B}$)

Suy ra: ΔDAC đồng dạng ΔDBA (g.g)

Suy ra: $\frac{DB}{DA}=\frac{DA}{DC}=\frac{AB}{AC}$

⇒ DA² = DB.DC

hay $DA\text{}=\sqrt{DB.DC}=\sqrt{9.16}=12\left(cm\right)$.

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABD, ta có:

AB² = DA² + DB² = 9² + 12² = 225 ⇒ AB =15 (cm)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ACD,ta có:

AC² = DA² + DC² = 12² +16² = 400 ⇒ AC = 20cm

Vậy BC = BD + DC = 9 + 16 = 25(cm).

Bài 50 trang 96 SBT Toán 8 Tập 2: Tam giác vuông ABC ( $\hat{A}$ = 90^o) có đường cao AH và trung tuyến AM. Tính diện tích tam giác AMH, biết rằng BH = 4cm, CH = 9cm

Lời giải:

Xét hai tam giác vuông HBA và HAC có:

$\widehat{BHA}=\widehat{AHC}$ = 90^o

$\widehat{B}=\widehat{HAC}$ (hai góc cùng phụ $\hat{C}$)

Do đó: ΔHBA đồng dạng ΔHAC (g.g)

Suy ra: $\frac{HA}{HB}=\frac{HC}{HA}$ 

⇒ HA² = HB.HC = 4.9 = 36(cm)

Suy ra: AH = 6 (cm)

Lại có: BM = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$.(9 + 4) =  $\frac{1}{2}$.13 = 6,5cm

Mà HM = BM – BH = 6,5 – 4 = 2,5cm

Vậy S_AHM = $\frac{1}{2}$.AH.HM =  $\frac{1}{2}$.6.2,5 = 7,5cm²

Bài tập bổ sung