SBT Toán 8 Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Mục lục Giải SBT Toán 8 Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bài 35 trang 11 SBT Toán 8 Tập 2:Em hãy chọn khẳng định đúng trong hai khẳng định sau đây:

a) Hai phương trình tương đương với nhau thì phải có cùng điều kiện xác định.

b) Hai phương trình có cùng điều kiện xác định có thể không tương đương với nhau.

Lời giải:

Hai phương trình tương đương với nhau khi chúng có cùng tập nghiệm. Vì vậy điều kiện xác định của phương trình không ảnh hưởng đến quan hệ tương đương của hai phương trình.

Phát biểu trong câu b là đúng.

Bài 36 trang 11 SBT Toán 8 Tập 2:Khi giải phương trình $\frac{2-3x}{-2x-3}=\frac{3x+2}{2x+1}$ , bạn Hà làm như sau:

Theo định nghĩa hai phân thức bằng nhau, ta có:

$\frac{2-3x}{-2x-3}=\frac{3x+2}{2x+1}$

⇔ (2 – 3x)(2x + 1) = (3x + 2)(– 2x – 3)

⇔ – 6x² + x + 2 = – 6x² – 13x – 6

⇔ 14x = – 8

⇔ $x=\frac{-4}{7}$

Vậy phương trình có nghiệm $x=\frac{-4}{7}$ .

Em hãy nhận xét về bài làm của bạn Hà.

Lời giải:

Đáp số của bài toán đúng nhưng lời giải của bạn Hà chưa đầy đủ.

Lời giải của bạn Hà thiếu bước tìm điều kiện xác định và bước đối chiếu giá trị của x tìm được với điều kiện để kết luận nghiệm.

Trong bài toán trên thì điều kiện xác định của phương trình là:

$x\ne \frac{-3}{2}$ và $x\ne \frac{-1}{2}$.

So sánh với điều kiện xác định thì giá trị $x=\frac{-4}{7}$ thỏa mãn.

Vậy $x=\frac{-4}{7}$ là nghiệm của phương trình.

Bài 37 trang 11 SBT Toán 8 Tập 2:Các khẳng định sau đây đúng hay sai:

a) Phương trình $\frac{4x-8+(4-2x)}{x^2\text{\hspace{0.17em}}+1}=0$ có nghiệm x = 2.

b) Phương trình $\frac{(x+2)(2x-1)-x-2}{x^2-x+1}=0$ có tập nghiệm S = {– 2; 1}.

c) Phương trình $\frac{x^2+2x+\text{\hspace{0.17em}}1}{x+1}=0$ có nghiệm x = – 1.

d) Phương trình  $\frac{x^2(x-3)}{x}=0$ có tập nghiệm S = {0; 3}.

Lời giải:

a) Đúng.

Vì x² + 1 > 0 với mọi x nên phương trình đã cho tương đương với phương trình:

4x – 8 + (4 – 2x) = 0

⇔ 2x – 4 = 0

⇔ 2x = 4

⇔ x = 2

Vậy phương trình có nghiệm là x = 2.

b) Đúng

Vì x² – x + 1 = ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0$ với mọi x nên phương trình đã cho tương đương với phương trình:

(x + 2)(2x – 1) – x – 2 = 0

⇔ (x + 2)(2x – 2) = 0

⇔ x + 2 = 0 hoặc 2x – 2 = 0

Nếu x + 2 = 0 thì x = – 2.

Nếu 2x – 2 = 0 thì  x = 1.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {– 2; 1}.

c) Sai

Vì điều kiện xác định của phương trình là x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ – 1

Do vậy phương trình $\frac{x^2+2x+\text{\hspace{0.17em}}1}{x+1}=0$ không thể có nghiệm x = – 1.

d) Sai

Vì điều kiện xác định của phương trình là x ≠ 0

Do vậy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình $\frac{x^2(x-3)}{x}=0$ .

Bài 38 trang 12 SBT Toán 8 Tập 2: Giải các phương trình sau:

a) $\frac{1-x}{x+1}+3=\frac{2x+\text{\hspace{0.17em}}3}{x+1}$;

b) $\frac{{(x+2)}^2}{2x-3}-1=\frac{x^2+10}{2x-3}$;

c) $\frac{5x-2}{2-2x}+\frac{2x-1}{2}=1-\frac{x^2+\text{\hspace{0.17em}}x-3}{1-x}$;

d) $\frac{5-2x}{3}+\frac{(x+\text{}1)(x-1)}{3x-1}=\frac{(x+\text{}2)(1-3x)}{9x-3}$.

Lời giải:

a) $\frac{1-x}{x+1}+3=\frac{2x+\text{\hspace{0.17em}}3}{x+1}$ (Điều kiện xác định: $x\ne -1$)

$\iff \frac{1-x}{x+1}+\frac{3(x+\text{\hspace{0.17em}}1)}{x+\text{\hspace{0.17em}}1}=\frac{2x+\text{\hspace{0.17em}}3}{x+1}$

 $\Rightarrow$1 – x + 3(x + 1) = 2x + 3

⇔ 1 – x + 3x + 3 – 2x – 3 = 0

⇔ 0x = – 1 vô lí.

Vậy phương trình vô nghiệm.

b) $\frac{{(x+2)}^2}{2x-3}-1=\frac{x^2+10}{2x-3}$  (ĐKXĐ: $x\ne \frac{3}{2}$)

$\iff \frac{{(x+2)}^2}{2x-3}-\frac{2x-3}{2x-3}=\frac{x^2+10}{2x-3}$

 $\Rightarrow$(x + 2)² – (2x – 3) = x² + 10

⇔ x² + 4x + 4 – 2x + 3 – x² – 10 = 0

⇔ 2x = 3 ⇔ x = $\frac{3}{2}$ (loại)

Phương trình vô nghiệm.

c) $\frac{5x-2}{2-2x}+\frac{2x-1}{2}=1-\frac{x^2+\text{\hspace{0.17em}}x-3}{1-x}$  (ĐKXĐ: $x\ne 1$)

$\iff \frac{5x-2}{2(1-x)}+\frac{(2x-1)(1-x)}{2(1-x)}=\frac{2(1-x)}{2(1-x)}-\frac{2(x^2+\text{\hspace{0.17em}}x-3)}{2(1-x)}$

 $\Rightarrow$5x – 2 + (2x – 1)(1 – x)

= 2(1 – x) – 2(x² + x – 3)

⇔ 5x – 2 + 2x – 2x² – 1 + x – 2 + 2x + 2x² + 2x – 6 = 0

⇔ 12x – 11 = 0

⇔ x = $\frac{11}{12}$ (thoả mãn).

Vậy phương trình có nghiệm x = $\frac{11}{12}$.

d) $\frac{5-2x}{3}+\frac{(x+\text{}1)(x-1)}{3x-1}=\frac{(x+\text{}2)(1-3x)}{9x-3}$  (ĐKXĐ: $x\ne \frac{1}{3}$)

$\iff \frac{(5-2x)(3x-1)}{3(3x-1)}+\frac{3.(x+\text{}1)(x-1)}{3(3x-1)}=\frac{(x+\text{}2)(1-3x)}{3(3x-1)}$

$\Rightarrow$ (5 – 2x)(3x – 1) + 3(x + 1)(x – 1)

= (x + 2)(1 – 3x)

⇔ 15x – 5 – 6x² + 2x + 3x² – 3

= x – 3x² + 2 – 6x

⇔ – 6x² + 3x² + 3x² + 15x + 2x – x + 6x

= 2 + 5 + 3

⇔ 22x = 10

⇔ $x=\frac{10}{22}=\frac{5}{11}$  (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm $x=\frac{5}{11}$ .

Bài 39 trang 12 SBT Toán 8 Tập 2:

a) Tìm x sao cho biểu thức $\frac{2x^2-3x-2}{x^2-4}$  bằng 2.

b) Tìm x sao cho giá trị của hai biểu thức

$\frac{6x-1}{3x+2}$ và $\frac{2x+\text{\hspace{0.17em}}5}{x-3}$ bằng nhau.

c) Tìm y sao cho giá trị của hai biểu thức

$\frac{y+5}{y-1}-\frac{y+1}{y-3}$ và $\frac{-8}{(y-1)(y-3)}$ bằng nhau.

Lời giải:

a)Ta có: $\frac{2x^2-3x-2}{x^2-4}=2$ (1)

ĐKXĐ: x ≠ 2 hoặc x ≠ – 2

(1) $\Rightarrow$ 2x² – 3x – 2 = 2(x² – 4)

⇔ 2x² – 3x – 2 = 2x² – 8

⇔ 2x² – 2x² – 3x = – 8 + 2

⇔ – 3x = – 6 ⇔ x = 2 (loại)

Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn điều kiện bài toán.

b)Ta có: $\frac{6x-1}{3x+2}=\frac{2x+\text{\hspace{0.17em}}5}{x-3}$  (ĐKXĐ: $x\ne \frac{-2}{3};x\ne 3$)

$\iff \frac{(6x-1)(x-3)}{(3x+2)(x-3)}=\frac{(2x+5)(3x+\text{}2)}{(x-3)(3x+2)}$

 $\Rightarrow$(6x – 1)(x – 3) = (2x + 5)(3x + 2)

⇔ 6x² – 18x – x + 3 = 6x² + 4x + 15x + 10

⇔ 6x² – 6x² – 18x – x – 4x – 15x = 10 – 3

⇔ – 38x = 7

⇔ $x=\frac{-7}{38}$  (thỏa mãn)

Vậy khi $x=\frac{-7}{38}$ thì giá trị của hai biểu thức $\frac{6x-1}{3x+2}$ và $\frac{2x+\text{\hspace{0.17em}}5}{x-3}$ bằng nhau.

c)Ta có: $\frac{y+5}{y-1}-\frac{y+1}{y-3}$ = $\frac{-8}{(y-1)(y-3)}$  (ĐKXĐ: $y\ne 1;y\ne 3$)

$\iff \frac{(y+5)(y-3)}{(y-1)(y-3)}-\frac{(y+1)(y-1)}{(y-3)(y-1)}=\frac{-8}{(y-1)(y-3)}$

 $\Rightarrow$(y + 5)(y – 3) – (y + 1)(y – 1) = – 8

⇔ y² – 3y + 5y – 15 – y² + 1 = – 8

⇔ 2y = 6 ⇔ y = 3 (loại vì không thỏa mãn điều kiện)

Vậy không có giá trị nào của y thỏa mãn điều kiện bài toán.

Bài 40 trang 12 SBT Toán 8 Tập 2:Giải các phương trình sau:

a) $\frac{1-6x}{x-2}+\frac{9x+4}{x+2}=\frac{x(3x-2)+1}{x^2-4}$;

b) $1+\frac{x}{3-x}=\frac{5x}{(x+2).(3-x)}+\frac{2}{x+2}$;

c) $\frac{2}{x-1}+\frac{2x+3}{x^2\text{\hspace{0.17em}}+x+1}=\frac{(2x-1)(2x+\text{\hspace{0.17em}}1)}{x^3-1}$;

d) $\frac{x^3-{(x-1)}^3}{(4x+3)(x-5)}=\frac{7x-1}{4x+3}-\frac{x}{x-5}$.

Lời giải:

a) $\frac{1-6x}{x-2}+\frac{9x+4}{x+2}=\frac{x(3x-2)+1}{x^2-4}$  (ĐKXĐ: $x\ne \pm 2$)

$\iff \frac{(1-6x)(x+\text{}2)}{(x-2)(x+\text{}2)}+\frac{(9x+4)(x-2)}{(x+2)(x-2)}=\frac{x(3x-2)+1}{(x+2)(x-2)}$

 $\Rightarrow$(1 – 6x)(x + 2) + (9x + 4)(x – 2)

= x(3x – 2) + 1

⇔ x + 2 – 6x² – 12x + 9x² – 18x + 4x – 8

= 3x² – 2x + 1

⇔ – 6x² + 9x² – 3x² + x – 12x – 18x + 4x + 2x = 1 – 2 + 8

⇔ – 23x = 7 ⇔ $x=\frac{-7}{23}$(thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm $x=\frac{-7}{23}$.

b) $1+\frac{x}{3-x}=\frac{5x}{(x+2).(3-x)}+\frac{2}{x+2}$  (ĐKXĐ: $x\ne -2;x\ne 3$)

$\iff \frac{(x+2)(3-x)}{(x+\text{\hspace{0.17em}}2)(3-x)}+\frac{x(x+\text{}2)}{(3-x)(x+2)}=\frac{5x}{(x+2).(3-x)}+\frac{2(3-x)}{(x+2)(3-x)}$

 $\Rightarrow$(x + 2)(3 – x) + x(x + 2) = 5x + 2(3 – x)

⇔ 3x – x² + 6 – 2x + x² + 2x = 5x + 6 – 2x

⇔ x² – x² + 3x – 2x + 2x – 5x + 2x = 6 – 6

⇔ 0x = 0 luôn đúng với mọi x.

Phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi giá trị của x thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy phương trình có nghiệm $x\in \mathrm{ℝ}$ và x ≠ 3 và x ≠ – 2.

c) $\frac{2}{x-1}+\frac{2x+3}{x^2\text{\hspace{0.17em}}+x+1}=\frac{(2x-1)(2x+\text{\hspace{0.17em}}1)}{x^3-1}$  (ĐKXĐ: $x\ne 1$)

$\iff \frac{2(x^2\text{}+\text{}x+1)}{(x-1)(x^2+x+1)}+\frac{(2x+3)(x-1)}{(x^2\text{\hspace{0.17em}}+x+1)(x-1)}=\frac{(2x-1)(2x+\text{\hspace{0.17em}}1)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}$

$\Rightarrow$ 2(x² + x + 1) + (2x + 3)(x – 1)

= (2x – 1)(2x + 1)

⇔ 2x² + 2x + 2 + 2x² – 2x + 3x – 3

= 4x² – 1

⇔ 2x² + 2x² – 4x² + 2x – 2x + 3x

= – 1 – 2 + 3

⇔ 3x = 0 ⇔ x = 0 (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm x = 0.

d)$\frac{x^3-{(x-1)}^3}{(4x+3)(x-5)}=\frac{7x-1}{4x+3}-\frac{x}{x-5}$  (ĐKXĐ: $x\ne \frac{-3}{4};x\ne 5$)

$\iff \frac{x^3-(x^3-3x^2+3x-1)}{(4x+3)(x-5)}=\frac{(7x-1)(x-5)}{(4x+3)(x-3)}-\frac{x(4x+3)}{(x-5)(4x+3)}$

 $\Rightarrow$x³ – (x³ – 3x²  + 3x – 1)

= (7x – 1)(x – 5) – x(4x + 3)

⇔ x³ – x³ + 3x² – 3x + 1

= 7x² – 35x – x + 5 – 4x² – 3x

⇔ 3x² – 7x² + 4x² – 3x + 35x + x + 3x = 5 – 1

⇔ 36x = 4 ⇔ $x=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$ (thoả mãn).

Vậy phương trình có nghiệm $x\text{\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{1}{9}$.

Bài 41 trang 13 SBT Toán 8 Tập 2:Giải các phương trình sau:

a) $\frac{2x+\text{\hspace{0.17em}}1}{x-1}=\frac{5(x-1)}{x+1}$;

b) $\frac{x-3}{x-2}+\text{\hspace{0.17em}}\frac{x-2}{x-4}=-1$;

c) $\frac{1}{x-1}+\frac{2x^2-5}{x^3-1}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}=\frac{4}{x^2\text{}+\text{\hspace{0.17em}}x+\text{\hspace{0.17em}}1}$;

d) $\frac{13}{(x-3)(2x+7)}+\frac{1}{2x+7}=\frac{6}{x^2-9}$.

Lời giải:

a) $\frac{2x+\text{\hspace{0.17em}}1}{x-1}=\frac{5(x-1)}{x+1}$ (ĐKXĐ: $x\ne \pm 1$)

$\iff \frac{(2x+\text{\hspace{0.17em}}1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{5(x-1)(x-1)}{(x+1)(x-1)}$

 $\Rightarrow$(2x + 1)(x + 1) = 5(x – 1)(x – 1)

⇔ 2x² + 2x + x + 1 = 5x² – 10x + 5

⇔ 2x² – 5x² + 2x + x + 10x + 1 – 5 = 0

⇔ – 3x² + 13x – 4 = 0

⇔ 3x² – x – 12x + 4 = 0

⇔ x(3x – 1) – 4(3x – 1) = 0

⇔ (x – 4)(3x – 1) = 0

⇔ x – 4 = 0 hoặc 3x – 1 = 0

Nếu x – 4 = 0 ⇔ x = 4 (thỏa mãn)

Nếu 3x – 1 = 0 ⇔ $x=\frac{1}{3}$  (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm x = 4; $x=\frac{1}{3}$.

b) $\frac{x-3}{x-2}+\text{\hspace{0.17em}}\frac{x-2}{x-4}=-1$  (ĐKXĐ: $x\ne 2;x\ne 4$)

$\iff \frac{(x-3)(x-4)}{(x-2)(x-4)}+\text{\hspace{0.17em}}\frac{(x-2)(x-2)}{(x-4)(x-2)}=-\frac{(x-4)(x-2)}{(x-4)(x-2)}$

 $\Rightarrow$(x – 3)(x – 4) + (x – 2)(x – 2)

= – (x – 2)(x – 4)

⇔ x² – 4x – 3x + 12 + x² – 2x – 2x + 4

= – x² + 4x + 2x – 8

⇔ 3x² – 17x + 24 = 0

⇔ 3x² – 9x – 8x + 24 = 0

⇔ 3x(x – 3) – 8(x – 3) = 0

⇔ (3x – 8)(x – 3) = 0

⇔ 3x – 8 = 0 hoặc x – 3 = 0

Nếu 3x – 8 = 0 ⇔ $x=\frac{8}{3}$ (thỏa mãn)

Nếu x – 3 = 0 ⇔ x = 3 (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm $x=\frac{8}{3}$; x = 3.

c) $\frac{1}{x-1}+\frac{2x^2-5}{x^3-1}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}=\frac{4}{x^2\text{}+\text{\hspace{0.17em}}x+\text{\hspace{0.17em}}1}$  (ĐKXĐ: $x\ne 1$)

$\iff \frac{1(x^2+\text{}x+1)}{(x-1)(x^2+x+1)}+\frac{2x^2-5}{(x-1)(x^2+x+1)}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}=}\frac{4(x-1)}{(x^2\text{}+\text{\hspace{0.17em}}x+\text{\hspace{0.17em}}1)(x-1)}$

 $\Rightarrow$x² + x + 1 + 2x² – 5 = 4(x – 1)

⇔ x² + x + 1 + 2x² – 5 = 4x – 4

⇔ 3x² – 3x = 0 ⇔ 3x(x – 1) = 0

⇔ x = 0 (thỏa mãn)

hoặc x – 1 = 0 ⇔ x = 1 (loại)

Vậy phương trình có nghiệm x = 0.

 d) $\frac{13}{(x-3)(2x+7)}+\frac{1}{2x+7}=\frac{6}{x^2-9}$  (ĐKXĐ: $x\ne \pm 3;x\ne \frac{-7}{2}$ )

⇔ 13x + 39 + x² – 9 = 12x + 42

⇔ x² + x – 12 = 0

⇔ x² – 3x + 4x – 12 = 0

⇔ x(x – 3) + 4(x – 3) = 0

⇔ (x + 4)(x – 3) = 0

⇔ x + 4 = 0 hoặc x – 3 = 0

Nếu  x + 4 = 0 ⇔ x = – 4 (thỏa mãn)

Nếu x – 3 = 0 ⇔ x = 3 (loại)

Vậy phương trình có nghiệm x = – 4.

Bài 42 trang 13 SBT Toán 8 Tập 2:Cho phương trình ẩn x:

 $\frac{x+a}{a-x}+\frac{x-a}{a+x}=\frac{a(3a+1)}{a^2-x^2}$.

a) Giải phương trình khi a = – 3;

b) Giải phương trình khi a = 1;

c) Giải phương trình khi a = 0;

d) Tìm giá trị của a sao cho phương trình nhận $x=\frac{1}{2}$ là nghiệm.

Lời giải:

a) Khi a = – 3, ta có phương trình:

 $\frac{x-3}{-3-x}+\frac{x+3}{-3+x}=\frac{-3\left.3.(-3)+1\right]}{{(-3)}^2-x^2}$   (ĐKXĐ: $x\ne \pm 3$)

$\begin{array}{l}\iff \frac{3-x}{x+3}+\frac{x+3}{x-3}=\frac{24}{9-x^2}\\ \iff \frac{3-x}{x+3}+\frac{x+3}{x-3}=\frac{-24}{x^2-9}\\ \iff \frac{(3-x)(x-3)}{(x+3)(x-3)}+\frac{(x+3)(x+3)}{(x-3)(x+3)}\\ =\frac{-24}{(x+3)(x-3)}\end{array}$

 $\Rightarrow$(3 – x)(x – 3) + (x + 3)² = – 24

⇔ 3x – 9 – x² + 3x + x² + 6x + 9 = – 24

⇔ 12x = – 24

⇔ x = – 2 (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm x = – 2.

b) Khi a = 1, ta có phương trình:

 $\frac{x+1}{1-x}+\frac{x-1}{1+\text{}x}=\frac{1(3.1+1)}{1^2-x^2}$   (ĐKXĐ: $x\ne \pm 1$)

$\iff \frac{(x+1)(1+\text{}x)}{(1-x)(1+x)}+\frac{(x-1)(1-x)}{(1+\text{}x)(1-x)}=\frac{4}{(1+x)(1-x)}$

$\Rightarrow$ (x + 1)² + (x – 1)(1 – x) = 4

⇔ x² + 2x + 1 + x – x² – 1 + x = 4

⇔ 4x = 4 ⇔ x = 1 (loại)

Vậy phương trình vô nghiệm.

c) Khi a = 0, ta có phương trình:

$\frac{x}{-x}+\frac{x}{x}=\frac{0}{-x^2}$(ĐKXĐ: $x\ne 0$)

$\begin{array}{l}\iff \frac{-x^2}{x^2}+\frac{x^2}{x^2}=\frac{0}{x^2}\\ \Rightarrow -x^2+\text{\hspace{0.17em}}{x}^2=0\\ \iff 0x^2=0\end{array}$

Phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị của x ≠ 0.

Vậy phương trình có nghiệm $x\in \mathrm{ℝ}$ và x ≠ 0.

d) Thay $x=\frac{1}{2}$ vào phương trình, ta có:

$\frac{\frac{1}{2}\text{\hspace{0.17em}}+a}{a-\frac{1}{2}}+\frac{\frac{1}{2}-a}{a+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{1}{2}}=\frac{a(3a+1)}{a^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}$    (ĐKXĐ: $a\ne \pm \frac{1}{2}$)

$\begin{array}{l}\iff \frac{1+2a}{2a-1}+\frac{1-2a}{2a+1}=\frac{4a(3a+1)}{4a^2-1}\\ \iff \frac{(1+2a)(2a+1)}{(2a-1)(2a+1)}+\frac{(1-2a)(2a-1)}{(2a+1)(2a-1)}\\ =\frac{4a(3a+1)}{(2a+1)(2a-1)}\end{array}$

⇔ (1 + 2a)(2a + 1) + (1 – 2a)(2a – 1) = 4a(3a + 1)

⇔ 2a + 1 + 4a² + 2a + 2a – 1 – 4a² + 2a = 12a² + 4a

⇔ 12a² – 4a = 0 ⇔ 4a(3a – 1) = 0

⇔ 4a = 0 hoặc 3a – 1 = 0

⇔ a = 0 (thỏa mãn) hoặc $a=\frac{1}{3}$ (thỏa mãn)

Vậy khi a = 0 hoặc $a=\frac{1}{3}$ thì phương trình $\frac{x+a}{a-x}+\frac{x-a}{a+x}=\frac{a(3a+1)}{a^2-x^2}$  có nghiệm $x=\frac{1}{2}$.

Bài tập bổ sung