SBT Toán 8 Bài 4: Khái niệm hai tam giác đồng dạng

Mục lục Giải SBT Toán 8 Bài 4: Khái niệm hai tam giác đồng dạng

Bài 25 trang 89 SBT Toán 8 Tập 2: Cho hai tam giác A'B'C' và ABC đồng dạng với nhau theo tỉ số k. Chứng minh rằng tỉ số hai chu vi tam giác cũng bằng k.

Lời giải:

Vì ΔA'B'C' đồng dạng ΔABC theo tỉ số k nên ta có:

$\frac{A\text{'}B\text{'}}{AB}=\frac{B\text{'}C\text{'}}{BC}=\frac{A\text{'}C\text{'}}{AC}=k$

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{A\text{'}B\text{'}}{AB}=\frac{B\text{'}C\text{'}}{BC}=\frac{A\text{'}C\text{'}}{AC}=\frac{A\text{'}B\text{'}+\text{\hspace{0.17em}}B\text{'}C\text{'}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}C\text{'}A\text{'}}{AB+\text{}BC\text{\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}}CA}$

Suy ra: $\frac{A\text{'}B\text{'}+\text{\hspace{0.17em}}B\text{'}C\text{'}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}C\text{'}A\text{'}}{AB+\text{}BC\text{\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}}CA}=k$

Vậy $\frac{chu\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}vi\Delta A\text{'}B\text{'}C\text{'}}{chuvi\Delta ABC}=k$  (điều phải chứng minh).

Bài 26 trang 89 SBT Toán 8 Tập 2: Tam giác ABC có AB = 3cm, BC = 5cm, CA= 7cm. Tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC có cạnh nhỏ nhất là 4,5cm. Tính các cạnh còn lại của tam giác A'B'C'.

Lời giải:

Tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC có cạnh nhỏ nhất bằng 4,5 nên cạnh nhỏ nhất của Δ A'B'C' tương ứng với cạnh AB nhỏ nhất của ΔABC

Giả sử A'B' là cạnh nhỏ nhất 'của Δ A'B'C'

Vì Δ A'B'C' đồng dạng ΔABC nên $\frac{A\text{'}B\text{'}}{AB}=\frac{A\text{'}C\text{'}}{AC}=\frac{B\text{'}C\text{'}}{BC}$   (1)

Thay AB = 3(cm), AC = 7(cm), BC = 5(cm), A'B' = 4,5(cm) vào (1) ta có: 

$\frac{4,5}{3}=\frac{A\text{'}C\text{'}}{7}=\frac{\text{}B\text{'}C\text{'}}{5}$

Vậy: $A\text{'}C\text{'}=7.\frac{4,5}{3}=10,5cm$

$B\text{'}C\text{'}=5.\frac{4,5}{3}=7,5\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}cm$

Bài 27 trang 90 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC có AB = 16,2cm, BC = 24,3cm, AC = 32,7cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác A'B'C', biết rằng tam giác A'B'C đồng dạng với tam giác ABC và:

a) A'B' lớn hơn cạnh AB là 10,8cm.

b) A'B' bé hơn cạnh AB là 5,4cm.

Lời giải:

a) Vì ΔA'B'C' đồng dạng ΔABC nên $\frac{A\text{'}B\text{'}}{AB}=\frac{A\text{'}C\text{'}}{AC}=\frac{B\text{'}C\text{'}}{BC}$

Mà AB = 16,2 cm; BC = 24,3 cm; AC = 32,7 cm và A'B' lớn hơn cạnh AB là 10,8cm nên:

A'B' = AB + 10,8 = 16,2 + 10,8 = 27 (cm)

Ta có: $\frac{27}{16,2}=\frac{A\text{'}C\text{'}}{32,7}=\frac{B\text{'}C\text{'}}{24,3}$

Suy ra: $A\text{'}C\text{'}=32,7.\frac{27}{16,2}=54,5$ (cm)

Suy ra: $B\text{'}C\text{'}=24,3.\frac{27}{16,2}=40,5cm$

b) Vì Δ A'B'C' đồng dạng ΔABC nên $\frac{A\text{'}B\text{'}}{AB}=\frac{A\text{'}C\text{'}}{AC}=\frac{B\text{'}C\text{'}}{BC}$

Mà AB = 16,2 cm; BC = 24,3 cm; AC = 32,7 cm và A'B' bé hơn cạnh AB là 5,4cm nên:

A'B' = AB - 5,4 = 16,2 - 5,4 =10,8 (cm)

Ta có: $\frac{10,8}{16,2}=\frac{A\text{'}C\text{'}}{32,7}=\frac{B\text{'}C\text{'}}{24,3}$

Suy ra: A'C' = (10,8 . 32,7): 16,2 = 21,8 (cm)

B'C' = (10,8 . 24,3): 16,2 = 16,2 (cm).

Bài 28 trang 90 SBT Toán 8 Tập 2: Hình thang ABCD (AB // CD) có CD = 2AB. Gọi E là trung điểm của CD. Chứng minh rằng ba tam giác ADE, ABE và BEC đồng dạng với nhau từng đôi một (chú ý viết các đỉnh của hai tam giác đồng dạng theo thứ tự tương ứng với nhau).

Lời giải:

Vì CD = 2AB (gt) nên AB = $\frac{1}{2}$CD

Vì E là trung điểm của CD

nên DE = EC = $\frac{1}{2}$CD

Suy ra: AB = DE = EC.

Hình thang ABCD có đáy AB = EC nên hai cạnh bên AE và BC song song với nhau

Xét ΔAEB và ΔCBE, ta có:

$\widehat{ABE}=\widehat{BEC}$ (so le trong)

$\widehat{AEB}=\widehat{EBC}$ (so le trong)

BE cạnh chung

Suy ra: ΔAEB = ΔCBE (g.c.g) (1)

Hình thang ABCE có đáy AB = DE nên hai cạnh bên AD và BE song song với nhau

Xét ΔAEB và ΔEAD, ta có:

$\widehat{BAE}=\widehat{AED}$ (so le trong)

$\widehat{AEB}=\widehat{EAD}$ (so le trong)

AE cạnh chung

Suy ra: ΔAEB = ΔEAD (g.c.g) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ΔAEB = ΔCBE = ΔEAD

Vậy ba tam giác ΔAEB; ΔCBE và ΔEAD đôi một đồng dạng.

Bài tập bổ sung