SBT Toán 8 Bài 1: Tứ giác

Mục lục Giải SBT Toán 8 Bài 1: Tứ giác

Bài 1 trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Tính tổng các góc ngoài của tứ giác (tại mỗi đỉnh của tứ giác chỉ chọn một góc ngoài).

Lời giải:

Ta có: $\widehat{A_1}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{B_1}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{C_1}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{D_1}\text{}$ = 360^o (tổng các góc của tứ giác)

+) Lại có: $\widehat{A_1}\text{}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{A_2}$ = 180^o ( hai góc kề bù).

$\widehat{B_1}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{B_2}$ = 180^o (hai góc kề bù)

$\widehat{C_1}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{C_2}$ = 180^o (hai góc kề bù)

$\widehat{D_1}\text{}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{D_2}$ = 180^o (hai góc kề bù)

Suy ra: 

Vậy tổng các góc ngoài của tứ giác (tại mỗi đỉnh của tứ giác chỉ chọn một góc ngoài) là 360⁰.

Bài 2 trang 80 SBT Toán 8 Tập 1:Tứ giác ABCD có AB = BC, CD = DA.

a) Chứng minh rằng BD là đường trung trực của AC.

b) Cho biết $\hat{B}$ = 100^o, $\hat{D}$ = 70^o, tính góc A và góc C.

Lời giải:

a) Ta có: BA = BC (giả thiết).

Suy ra điểm B thuộc đường trung trực của AC.

Lại có: DA = DC (giả thiết).

Suy ra điểm D thuộc đường trung trực của AC.

Vì B và D là 2 điểm phân biệt cùng thuộc đường trung trực của AC nên đường thẳng BD là đường trung trực của AC.

b) Xét ΔBAD và ΔBCD, ta có:

BA = BC (giả thiết)

DA = DC (giả thiết)

BD cạnh chung

Suy ra: ΔBAD = ΔBCD (c.c.c)

⇒ $\widehat{BAD}\text{\hspace{0.17em}}=\widehat{BCD}$

Mặt khác, ta có: 

Bài 3 trang 80 SBT Toán 8 Tập 1:Vẽ lại tứ giác ABCD ở hình 1 vào vở bằng cách vẽ hai tam giác

Lời giải:

- Vẽ tam giác ABD

+ Vẽ cạnh AD dài 4cm

+ Tại A vẽ cung tròn tâm A bán kính 2,5cm

+ Tại D vẽ cung tròn tâm D bán kính 3cm

+ Hai cung tròn cắt nhau tại B

⇒ Ta được tam giác ABD

- Vẽ tam giác DBC

+ Dùng thước đo độ vẽ tia Bx sao cho $\widehat{DBx}$ = 60^o

+ Trên Bx xác định C sao cho BC = 3cm

⇒ Ta được tam giác BDC.

⇒Ta được tứ giác ABCD cần vẽ.

Bài 4 trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Tính các góc của tứ giác ABCD, biết rằng: $\widehat{A}:\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{B}:\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{C}:\text{\hspace{0.17em}}\widehat{D}$ = 1 : 2 : 3 : 4

Lời giải:

Theo bài ra, ta có: $\widehat{A}:\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{B}:\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{C}:\text{\hspace{0.17em}}\widehat{D}$ = 1 : 2 : 3 : 4

Hay $\frac{\widehat{A}}{1}=\frac{\widehat{B}}{2}=\frac{\widehat{C}}{3}=\frac{\widehat{D}}{4}$

Lại có:  $\widehat{A}+\widehat{B}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{C}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{D}$ = 360^o (tổng các góc của tứ giác)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\begin{array}{l}\frac{\widehat{A}}{1}=\frac{\widehat{B}}{2}=\frac{\widehat{C}}{3}=\frac{\widehat{D}}{4}\\ \\ =\frac{\widehat{A}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\widehat{B}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{C}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{D}}{1+2+3+\text{\hspace{0.17em}}4}\\ \\ =\frac{{360}^0}{10}={36}^0\end{array}$

Vậy: $\hat{A}$= 1.36^o = 36^o; 

$\hat{B}$ = 2.36^o = 72^o;

$\hat{C}$ = 3.36^o = 108^o ;

$\hat{D}$ = 4.36^o = 144^o.

Bài 5 trang 80 SBT Toán 8 Tập 1:Tứ giác ABCD có $\hat{A}$ = 65^o, $\hat{B}$ = 117^o, $\hat{C}$ = 71^o. Tính số đo góc ngoài tại đỉnh D.

Lời giải:

Gọi góc ngoài tại đỉnh D là góc $\widehat{D_1}$

Trong tứ giác ABCD, ta có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{C}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{D}$= 360^o (tổng các góc của tứ giác)

Vậy số đo góc ngoài tại đỉnh D là 73⁰.

Bài 6 trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng các góc của một tứ giác không thể đều là góc nhọn, không thể đều là góc tù.

Lời giải:

Giả sử cả bốn góc của tứ giác đều là góc nhọn (tức là mỗi góc có số đo nhỏ hơn 90^o) thì tổng bốn góc của tứ giác nhỏ hơn:

90^o + 90^o + 90^o + 90^o = 360^o.

Vậy bốn góc của tứ giác không thể đều là góc nhọn.

Giả sử cả bốn góc của tứ giác đều là góc tù (tức là mỗi góc có số đo lớn hơn 90^o) thì tổng bốn góc của tứ giác lớn hơn:

90^o + 90^o + 90^o + 90^o = 360^o.

Vậy bốn góc của tứ giác không thể đều là góc tù.

Bài 7 trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng tổng hai góc ngoài tại các đỉnh A và C bằng tổng hai góc trong tại các đỉnh B và D.

Lời giải:

* Gọi $\widehat{A_1};\widehat{C_1}$là góc trong của tứ giác tại đỉnh A và C, $\widehat{A_2};\widehat{C_2}$là góc ngoài tại đỉnh A và C.

Ta có: $\widehat{A_1}+\widehat{A_2}$ = 180^o (2 góc kề bù)

Bài 8 trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Tứ giác ABCD có $\hat{A}$ = 110^o, $\hat{B}$ = 100^o. Các tia phân giác của các góc C và D cắt nhau ở E. Các đường phân giác của các góc ngoài tại các đỉnh C và D cắt nhau tại F. Tính $\widehat{CED};\widehat{CF\text{}D}$

Lời giải:

Trong tứ giác ABCD, ta có: 

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{D}$ = 360^o

⇒ $\widehat{C}\text{\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{D}$ = 360^o - ( $\widehat{A}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{B}$)

= 360^o – (110^o + 100^o) = 150^o

Do DE và CE lần lượt là tia phân giác của góc $\widehat{BCD};\widehat{CDA}$

$\begin{array}{c}\Rightarrow \widehat{ECD}=\frac{1}{2}\widehat{C};\\ \widehat{CDE}=\frac{1}{2}\widehat{D}\end{array}$

$\begin{array}{c}\Rightarrow \widehat{ECD}+\widehat{CDE}=\frac{\widehat{C}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{D}}{2}\\ =\frac{{150}^0}{2}={75}^0\end{array}$

Trong ΔCED ta có:

$\widehat{CED}$ = 180^o – ($\widehat{ECD}\text{\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{CDE}$ )

= 180^o – 75^o = 105^o

DE ⊥ DF (tính chất tia phân giác của hai góc kề bù)

⇒ $\widehat{E\text{}D\text{}F}$ = 90^o

CE ⊥ CF (tính chất tia phân giác của hai góc kề bù)

⇒ $\widehat{ECF}$ = 90^o

Trong tứ giác CEDF, ta có:

Bài 9 trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn tổng hai cạnh đối.

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

* Trong ΔOAB, ta có:

OA + OB > AB (bất đẳng thức tam giác) (1)

* Trong ΔOCD, ta có:

OC + OD > CD (bất đẳng thức tam giác) (2)

Cộng từng vế (1) và (2):

OA + OB + OC + OD > AB + CD

Hay AC + BD > AB + CD ( điều phải chứng minh).

Chứng minh tương tự ta có:

AC + BD > AD + BC

Bài 10 trang 80 SBT Toán 8 Tập 1:

Lời giải:

Đặt độ dài a = AB, b = BC, c = CD, d = AD

Gọi O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD.

* Trong ΔOAB, ta có:

OA + OB > a (bất đẳng thức tam giác) (1)

* Trong ΔOCD, ta có:

OC + OD > c (bất đẳng thức tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

OA + OB + OC + OD > a + c hay AC + BD > a + c (*)

* Trong ΔOAD, ta có: OA + OD > d (bất đẳng thức tam giác) (3)

* Trong ΔOBC, ta có: OB + OC > b (bất đẳng thức tam giác) (4)

Từ (3) và (4) suy ra:

OA + OB + OC + OD > b + d hay AC + BD > b + d (**)

Từ (*) và (**) suy ra:

2(AC + BD) > a + b + c + d

$\Rightarrow AC+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}BD\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}>\frac{a+\text{\hspace{0.17em}}b+\text{\hspace{0.17em}}c+\text{\hspace{0.17em}}d}{2}$

* Trong ΔABC, ta có:

AC < AB + BC = a + b (bất đẳng thức tam giác)

* Trong ΔADC, ta có:

AC < AD + DC = c + d (bất đẳng thức tam giác)

Suy ra: 2AC < a + b + c + d

$\Rightarrow AC<\frac{a+\text{}b+\text{\hspace{0.17em}}c\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+d}{2}$ ( 5)

* Trong ΔABD, ta có:

BD < AB + AD = a + d (bất đẳng thức tam giác)

* Trong ΔBCD, ta có:

BD < BC + CD = b + c (bất đẳng thức tam giác)

Suy ra: 2BD < a + b + c + d

$\Rightarrow BD<\frac{a+\text{}b+\text{\hspace{0.17em}}c\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+d}{2}$ ( 6)

Từ (5) và (6) suy ra:

AC + BD < a + b + c + d  ( điều phải chứng minh).

Bài tập bổ sung