SBT Toán 8 Bài 1: Phân thức đại số

Mục lục Giải SBT Toán 8 Bài 1: Phân thức đại số 

Bài 1 trang 23 SBT Toán 8 Tập 1: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng minh các đẳng thức sau:

a) $\frac{x^2{y}^3}{5}=\frac{7x^3{y}^4}{35xy}$;

b) $\frac{x^2(x+\text{}2)}{x{(x+2)}^2}=\frac{x}{x+2}$;

c) $\frac{3-x}{3+x}=\frac{x^2-6x+\text{}9}{9-x^2}$;

d) $\frac{x^3-4x}{10-5x}=\frac{-x^2-2x}{5}$.

Lời giải:

a) Ta có:

x²y³.35xy = 35x³y⁴

5.7x³y⁴ = 35x³y⁴

Suy ra:

x²y³.35xy = 5.7x³y⁴

Vậy $\frac{x^2{y}^3}{5}=\frac{7x^3{y}^4}{35xy}$.

b) Ta có:

x²(x + 2)(x + 2) = x²(x + 2)²

x(x + 2)².x = x²(x + 2)²

Suy ra:

x²(x + 2)(x + 2) = x(x + 2)².x

Vậy $\frac{x^2(x+\text{}2)}{x{(x+2)}^2}=\frac{x}{x+2}$.

c) Ta có:

(3 – x). (9 – x²)

= (3 – x).(3 – x).(3 + x)

= (3 – x)²(3 + x) (1)

Và (3 + x).( x² – 6x + 9)

= (3 + x).(x – 3)² 

= (3 + x). (3 – x)² (2)

(Vì (x – 3) = – (3 – x)

nên (x – 3)² = [– (3 – x)]² = (3 – x)²)

Từ (1) và (2) suy ra:

(3 – x).(9 – x²) = (3 + x).(x² – 6x + 9)

Do đó:  $\frac{3-x}{3+x}=\frac{x^2-6x+\text{}9}{9-x^2}$.

d) Ta có: (x³ – 4x).5 = 5x³ – 20x

(10 – 5x)(– x² – 2x)

= – 10x² – 20x + 5x³ + 10x² 

= 5x³ – 20x

Suy ra: (x³ – 4x).5 = (10 – 5x)( – x² – 2x)

Vậy $\frac{x^3-4x}{10-5x}=\frac{-x^2-2x}{5}$.

Bài 2 trang 24 SBT Toán 8 Tập 1: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy tìm đa thức A trong mỗi đẳng thức sau:

a) $\frac{A}{2x-1}=\frac{6x^2+3x}{4x^2-1}$;

b) $\frac{4x^2-3x-7}{A}=\frac{4x-7}{2x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}3}$;

c) $\frac{4x^2-7x+\text{\hspace{0.17em}}3}{x^2-1}=\frac{A}{x^2+\text{\hspace{0.17em}}2x+\text{\hspace{0.17em}}1}$;

d) $\frac{x^2-2x}{2x^2-3x-2}=\frac{x^2+2x}{A}$.

Lời giải:

a) $\frac{A}{2x-1}=\frac{6x^2+3x}{4x^2-1}$

⇒ A(4x² – 1) = (2x – 1).(6x² + 3x)

⇒ A(2x – 1)(2x + 1) = (2x – 1).3x(2x + 1)

⇒ A = 3x

Khi đó $\frac{3x}{2x-1}=\frac{6x^2+3x}{4x^2-1}$

Vậy A = 3x.

b) $\frac{4x^2-3x-7}{A}=\frac{4x-7}{2x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}3}$

⇒ (4x² – 3x – 7)(2x + 3)

= A(4x – 7)

⇒ (4x² + 4x – 7x – 7)(2x + 3)

= A(4x – 7)

⇒ [4x(x + 1) – 7(x + 1)](2x + 3)

= A(4x – 7)

⇒ (x + 1)(4x – 7)(2x + 3)

= A(4x – 7)

⇒ A = (x + 1)(2x + 3)

= 2x² + 3x + 2x + 3 = 2x² + 5x + 3

Khi đó $\frac{4x^2-3x-7}{2x^2+5x+3}=\frac{4x-7}{2x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}3}$

Vậy A = 2x² + 5x + 3.

c) $\frac{4x^2-7x+\text{\hspace{0.17em}}3}{x^2-1}=\frac{A}{x^2+\text{\hspace{0.17em}}2x+\text{\hspace{0.17em}}1}$

⇒ (4x² – 7x + 3).(x² + 2x + 1)

= A.(x² – 1)

⇒ (4x² – 4x – 3x + 3).(x + 1)² 

= A.(x + 1)(x – 1)

⇒ [4x(x – 1) – 3(x – 1)].(x + 1)² 

= A.(x + 1)(x – 1)

⇒ (x – 1)(4x – 3)(x + 1)² 

= A(x + 1)(x – 1)

⇒ A = (4x – 3)(x + 1)

= 4x² + 4x – 3x – 3 = 4x² + x – 3

Khi đó $\frac{4x^2-7x+\text{\hspace{0.17em}}3}{x^2-1}=\frac{4x^2+x-3}{x^2+\text{\hspace{0.17em}}2x+\text{\hspace{0.17em}}1}$

Vậy A = 4x² + x – 3.

d) $\frac{x^2-2x}{2x^2-3x-2}=\frac{x^2+2x}{A}$

⇒ (x² – 2x).A = (2x² – 3x – 2)(x² + 2x)

⇒ x(x – 2).A

= (2x² – 4x + x – 2).x(x + 2)

⇒ x(x – 2).A

= [2x(x – 2) + (x – 2)].x(x + 2)

⇒ x(x – 2).A = (x – 2)(2x + 1).x.(x + 2)

⇒ A = (2x + 1)(x + 2)

= 2x² + 4x + x + 2 = 2x² + 5x + 2

Khi đó $\frac{x^2-2x}{2x^2-3x-2}=\frac{x^2+2x}{2x^2+5x+\text{}2}$

Vậy A = 2x² + 5x + 2.

Bài 3 trang 24 SBT Toán 8 Tập 1: Bạn Lan viết các đẳng thức sau đây và đố các bạn trong nhóm học tập tìm ra chỗ sai. Em hãy tìm và sửa chỗ sai cho đúng.

a) $\frac{5x+\text{\hspace{0.17em}}3}{x-2}=\frac{5x2+\text{\hspace{0.17em}}13x+\text{\hspace{0.17em}}6}{x^2-4}$;

b) $\frac{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}{x+\text{\hspace{0.17em}}3}=\frac{x^2+\text{\hspace{0.17em}}3}{x^2+\text{\hspace{0.17em}}6x+\text{\hspace{0.17em}}9}$;

c) $\frac{x^2-2}{x^2-1}=\frac{x+\text{\hspace{0.17em}}2}{x+\text{\hspace{0.17em}}1}$;

d) $\frac{2x^2-5x+\text{\hspace{0.17em}}3}{x^2\text{}+3x-4}=\frac{2x^2-x-3}{x^2+5x+\text{\hspace{0.17em}}4}$.

Lời giải:

a)    Ta có:

(5x + 3)(x² – 4)

= 5x³ – 20x + 3x² – 12 (1)

 Và (x – 2)(5x² + 13x + 6)

= 5x³ + 13x² + 6x – 10x² – 26x – 12

= 5x³ – 20x + 3x² – 12 (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

(5x + 3). ( x² – 4) = (x – 2).(5x² + 13x + 6).

Vậy đẳng thức đúng.

b)

Ta có:

(x + 1)(x² + 6x + 9)

= x³ + 6x² + 9x + x² + 6x + 9

= x³ + 7x² + 15x + 9

Và (x + 3)(x² + 3) = x³ + 3x + 3x² + 9

Từ trên suy ra:

(x + 1)(x² + 6x + 9) ≠ (x + 3)(x² + 3)

Vậy đẳng thức sai.

Suy ra: $\frac{x+\text{\hspace{0.17em}}1}{x+\text{}3}\ne \frac{x^2+\text{\hspace{0.17em}}3}{x^2+\text{\hspace{0.17em}}6x+\text{}9}$

Sửa lại $\frac{x+\text{\hspace{0.17em}}1}{x+\text{}3}=\frac{x^2+\text{\hspace{0.17em}}4x+\text{\hspace{0.17em}}3}{x^2+\text{\hspace{0.17em}}6x+\text{}9}$

c)Ta có:

(x² – 2)(x + 1) = x³ + x² – 2x – 2

và (x² – 1)(x + 2) = x³ + 2x² – x – 2

Ta có:

(x² – 2)(x + 1) ≠ (x² – 1)(x + 2)

Vậy đẳng thức sai.

Suy ra: $\frac{x^2-2}{x^2-1}\ne \frac{x+\text{\hspace{0.17em}}2}{x+\text{\hspace{0.17em}}1}$

Sửa lại: $\frac{x^2+x-2}{x^2-1}=\frac{x+\text{\hspace{0.17em}}2}{x+\text{\hspace{0.17em}}1}$

d) Ta có:

(2x² – 5x + 3)(x² + 5x + 4)

= 2x⁴ + 10x³ + 8x² – 5x³ – 25x²

 – 20x + 3x² + 15x + 12

= 2x⁴ + 5x³ – 14x² – 5x + 12

Và (x² + 3x – 4)(2x² – x – 3)

= 2x⁴ – x³ – 3x² + 6x³ – 3x² 

– 9x – 8x² + 4x + 12

= 2x⁴ + 5x³ – 14x² – 5x + 12

Ta có:

(2x² – 5x + 3)(x² + 5x + 4)

= (x² + 3x – 4)(2x² – x – 3)

Vậy đẳng thức đúng.

Bài tập bổ sung