SBT Toán 8 Bài 2: Hình thang

Mục lục Giải SBT Toán 8 Bài 2: Hình thang

Bài 11 trang 81 SBT Toán 8 Tập 1: Tính các góc của hình thang ABCD (AB // CD), biết rằng $\widehat{A}=3\widehat{D};\widehat{B}-\widehat{C}$ = 30^o.

Lời giải:

Bài 12 trang 81 SBT Toán 8 Tập 1: Tứ giác ABCD có BC = CD và DB là tia phân giác của góc D. Chứng minh rằng ABCD là hình thang.

Lời giải:

Xét ΔBCD có BC = CD (giả thiết) nên ΔBCD cân tại C.

⇒ $\widehat{B_1}=\widehat{D_1}$ (tính chất tam giác cân)

Mà $\widehat{D_1}=\widehat{D_2}$( Vì DB là tia phân giác của góc D)

Suy ra: $\widehat{B_1}=\widehat{D_2}$

Do đó: BC // AD (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

Vậy ABCD là hình thang.

Bài 13 trang 81 SBT Toán 8 Tập 1: Xem các hình dưới và cho biết:

a) Tứ giác nào chỉ có một cặp cạnh song song?

b) Tứ giác nào có hai cặp cạnh song song?

c) Tứ giác nào là hình thang.

Lời giải:

a) Tứ giác 1 có một cặp cạnh song song.

b) Tứ giác 3 có hai cặp cạnh song song.

c) Tứ giác 1 và 3 là hình thang.

Bài 14 trang 81 SBT Toán 8 Tập 1: Tính các góc B và D của hình thang ABCD, biết rằng: $\hat{A}$ = 60^o, $\hat{C}$ = 130^o

Lời giải:

Trong hình thang ABCD, ta có A và C là hai góc đối nhau.

a) Trường hợp A và B là 2 góc kề với cạnh bên.

⇒ BC // AD

Ta có: $\widehat{A}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{B}$ = 180^o (hai góc trong cùng phía bù nhau)

⇒$\widehat{B}$ = 180^o - $\widehat{A}$

= 180^o – 60^o = 120^o

Vì $\widehat{C}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{D}$ = 180^o (hai góc trong cùng phía bù nhau)

⇒ $\widehat{D}$ = 180^o - $\widehat{C}$ 

= 180^o – 130^o = 50^o

b) Trường hợp A và D là 2 góc kề với cạnh bên.

⇒ AB // CD

Vì $\widehat{A}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{D}$ = 180^o (hai góc trong cùng phía bù nhau)

⇒ $\widehat{D}$  = 180^o - $\widehat{A}$

 = 180^o – 60^o = 120^o

Vì $\widehat{C}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{B}$ = 180^o (hai góc trong cùng phía bù nhau)

⇒$\widehat{B}$  = 180^o - $\widehat{C}$

= 180^o – 130^o = 50^o

Bài 15 trang 81 SBT Toán 8 Tập 1:

Lời giải:

Xét hình thang ABCD có AB //CD.

Ta có:

* $\hat{A}$ và $\hat{D}$ là hai góc kề với cạnh bên

⇒ $\widehat{A}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{D}$ = 180^o (2 góc trong cùng phía) nên trong hai góc đó có nhiều nhất 1 góc nhọn và có nhiều nhất là 1 góc tù.

* $\hat{B}$ và $\hat{C}$ là hai góc kề với cạnh bên

⇒ $\widehat{B}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{C}$ = 180^o (2 góc trong cùng phía) nên trong hai góc đó có nhiều nhất 1 góc nhọn và có nhiều nhất là 1 góc tù.

Vậy trong bốn góc là A, B, C, D có nhiều nhất là hai góc tù và có nhiều nhất là hai góc nhọn.

Bài 16 trang 81 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng trong hình thang các tia phân giác của hai góc kề với một cạnh bên vuông góc với nhau.

Lời giải:

Bài 17 trang 81 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC, các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau ở I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt các cạnh AB và AC ở D và E.

a) Tìm các hình thang trong hình vẽ.

b) Chứng minh rằng hình thang BDEC có một đáy bằng tổng hai cạnh bên.

Lời giải:

a) Đường thẳng đi qua I song song với BC cắt AB tại D và AC tại E.

Suy ra: DE// BC; DI // BC và EI// BC.

Do đó, ta có các hình thang sau: BDEC, BDIC, BIEC.

b) Ta có: DE // BC (theo cách vẽ)

⇒ $\widehat{I_1}=\widehat{B_1}$(hai góc so le trong)

Mà $\widehat{B_1}=\widehat{B_2}$(gỉa thiết)

Suy ra: $\widehat{I_1}=\widehat{B_2}$

Do đó: ΔBDI cân tại D

⇒ DI = DB (1)

Ta có: $\widehat{I_2}=\widehat{C_1}$(so le trong)

$\widehat{C_1}=\widehat{C_2}$(giả thiết)

Suy ra: $\widehat{I_2}=\widehat{C_2}$do đó: ΔCEI cân tại E

⇒ IE = EC (2)

Mà DE = DI + IE (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra:

DE = BD + CE (điều phải chứng minh).

Bài 18 trang 82 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Ở phía ngoài tam giác ABC, vẽ tam giác BCD vuông cân tại B. Tứ giác ABCD là hình gì? Vì sao?

Lời giải:

Vì ΔABC vuông cân tại A nên 

Lại có: $\widehat{ABC}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{C_1}={90}^0$(tính chất tam giác vuông).

Suy ra: $\widehat{ABC}=\widehat{C_1}=\frac{{90}^0}{2}={45}^0$

Vì ΔBCD vuông cân tại B nên $\widehat{D}=\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{C_2}$

Lại có: $\widehat{D}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{C_2}={90}^0$(tính chất tam giác vuông).

Suy ra: $\widehat{C_2}$ = 45^o

Ta có: $\widehat{A\text{}CD}=\widehat{C_1}+\widehat{C_2}$

 = 45^o + 45^o = 90^o

⇒ AC ⊥ CD

Mà AC ⊥ AB (gt)

Do đó, AB // CD.

Vậy tứ giác ABCD là hình thang vuông.

Bài 19 trang 82 SBT Toán 8 Tập 1: Hình thang vuông ABCD có $\hat{A}=\hat{D}$ = 90^o, AB = AD = 2cm, DC = 4cm. Tính các góc của hình thang.

Lời giải:

Kẻ BH ⊥ CD (H thuộc CD).

Ta có: AD ⊥ CD (Vì ABCD là hình thang vuông có $\widehat{A}=\widehat{D}$ = 90^o )

Suy ra: BH // AD

Hình thang ABHD có hai cạnh bên song song nên HD = AB và BH = AD

AB = AD = 2cm (giả thiết)

⇒ BH = HD = 2cm

Ta có: CH = CD – HD = 4 – 2 = 2 (cm)

Suy ra: ΔBHC vuông cân tại H (do BH ⊥ CD nên $\widehat{BHC}=90°$; HC = HB = 2cm)

Do đó, $\widehat{HBC}=\widehat{C}$

Lại có: $\widehat{HBC}+\widehat{C}={90}^0$  (tính chất tam giác vuông).

⇒ $\widehat{C}$ =  45^o

Vì $\widehat{B}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{C}$ = 180^o (2 góc trong cùng phía bù nhau)

⇒ $\widehat{B}$ = 180^o – 45^o = 135^o

Bài 20 trang 82 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng tổng hai cạnh bên của hình thang lớn hơn hiệu của hai đáy.

Lời giải:

Giả sử hình thang ABCD có AB // CD.

Từ B kẻ đường thẳng song song với AD cắt CD tại E.

Hình thang ABED có hai cạnh bên song song nên

AB = ED và AD = BE

Ta có: CD – AB = CD – ED = EC (1)

Trong ΔBEC ta có:

BE + BC > EC (bất đẳng thức tam giác)

Mà BE = AD

Suy ra: AD + BC > EC (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

AD + BC > CD – AB  (điều phải chứng minh).

Bài 21 trang 82 SBT Toán 8 Tập 1: Trên hình vẽ dưới có bao nhiêu hình thang.

Lời giải:

Theo hình vẽ ta có:

AB// CD // EF // GH // IK.

Trên hình vẽ có tất cả 10 hình thang.

Đó là: ABCD, ABEF, ABGH, ABIK, DCEF, DCGH, DCIK, FEGH, FEIK, HGIK

Bài tập bổ sung