SBT Toán 8 Bài 3, 4, 5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Mục lục Giải SBT Toán 8 Bài 3, 4, 5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài 11 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1:Tính:

a) (x + 2y)²;

b) (x – 3y)(x + 3y);

c) (5 – x)² .

Lời giải:

a) (x + 2y)² 

= x² + 2.x.2y + (2y)²

= x² + 4xy + 4y²

b) (x – 3y)(x + 3y) = x² – (3y)² = x² – 9y²

c) (5 – x)² = 5² – 2.5.x + x² = 25 – 10x + x².

Bài 12 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Tính:

a) (x – 1)²;

b) (3 – y)²;

c) (x –$\frac{1}{2}$)².

Lời giải:

a) (x – 1)² = x² – 2.x.1 + 1² = x² – 2x + 1

b) (3 – y)² = 3² – 2.3.y + y² = 9 – 6y + y²

c) (x –$\frac{1}{2}$ )² = x² – 2.x.  + ( $\frac{1}{2}$)² = x² – x + $\frac{1}{4}$.

Bài 13 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương một tổng:

a) x² + 6x + 9;

b) x² + x + $\frac{1}{4}$;

c) 2xy² + x²y⁴ + 1.

Lời giải:

a) x² + 6x + 9 = x² + 2.x.3 + 3² = (x + 3)²

b) x² + x +  $\frac{1}{4}$= x² + 2.x.$\frac{1}{2}$ + ( $\frac{1}{2}$)² = (x + $\frac{1}{2}$)²

c) 2xy² + x²y⁴ + 1 = x²y⁴ + 2xy² + 1  

= (xy²)² + 2.xy².1 + 1² = (xy² + 1)².

Bài 14 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Rút gọn biểu thức:

a) (x + y)² + (x – y)²;

b) 2(x – y)(x + y) + (x + y)² + (x – y)²;

c) (x – y + z)² + (z – y)² + 2(x – y + z)(y – z).

Lời giải:

a) (x + y)² + (x – y)²

= x² + 2xy + y² + x² – 2xy + y²

= (x² + x²) + (2xy – 2xy) + (y² + y²)

= 2x² + 2y²

b) 2(x – y)(x + y) + (x + y)² + (x – y)²

= (x + y)² + 2(x + y).(x – y) + (x – y)²

(Áp dụng hằng đẳng thức thứ nhất với A = x+ y, B = x- y)

= [(x + y) + (x – y)]² = (2x)² = 4x²

c) (x – y + z)² + (z – y)² + 2(x – y + z)(y – z)

= (x – y + z)² + 2(x – y + z)(y – z) + (y – z)²

= [(x – y + z) + (y – z)]² 

=[ x + (y – y) + (z – z)]²

= x²

Bài 15 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1:Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4. Chứng minh rằng a² chia cho 5 dư 1.

Lời giải:

Số tự nhiên a chia cho 5 dư 4 nên ta có số k thỏa mãn: a = 5k + 4 (k $\in \mathrm{\mathbb{N}}$)

Ta có: a² = (5k + 4)²

= (5k)² + 2. 5k. 4 + 4²

= 25k² + 40k + 16

= 25k² + 40k + 15 + 1

= 5(5k² + 8k + 3) + 1

Ta có: 5 ⁝ 5 nên 5(5k² + 8k + 3) ⁝ 5 với mọi số tự nhiên k.

Vậy a² = (5k + 4)² chia cho 5 dư 1. (điều phải chứng minh).

Bài 16 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1:Tính giá trị của biểu thức sau:

a) x² – y² tại x = 87 và y = 13;

b) x³ – 3x² + 3x – 1 tại x = 101;

c) x³ + 9x² + 27x + 27 tại x = 97.

Lời giải:

a) Ta có: x² – y² = (x + y)(x – y)

Thay x = 87 và y = 13, ta được:

x² – y² = (x + y)(x – y)

= (87 + 13)(87 – 13)

= 100.74 = 7400

Vậy giá trị biểu thức tại x = 87 và y = 13 là 7400.

b) x³ – 3x² + 3x – 1 tại x = 101.

= x³ – 3.x².1 + 3.x.1² – 1³ 

= (x – 1)³

Thay x = 101vào biểu thức (x – 1)³ ta được:

 (101 – 1)³ = 100³ = 1 000 000

Vậy giá trị biểu thức tại x = 101 là 1 000 000.

c) Ta có: x³ + 9x² + 27x + 27

= x³ + 3.x².3 + 3.x.3² + 3³

= (x + 3)³

Thay x = 97 vào biểu thức ( x+ 3)³ ta được:

(x + 3)³ = (97 + 3)³ = 100³ = 1 000 000.

Vậy giá trị biểu thức tại x = 97 là 1 000 000.

Bài 17 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1:Chứng minh rằng:

a) (a + b)(a² – ab + b²) + (a – b)(a² + ab + b²) = 2a³;

b) a³ + b³ = (a + b)[(a – b)² + ab];

c) (a² + b²)(c² + d²) = (ac + bd)² + (ad – bc)².

Lời giải:

a) Áp dụng hằng đẳng thức số 6 và số 7, ta có:

VT = (a + b)(a² – ab + b²) + (a – b)(a² + ab + b²)

= a³ + b³ + a³ – b³ 

= (a³ + a³ )+( b³ – b³ )

= 2a³ = VP

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

b) Biến đổi vế trái, ta có:

VT = a³ + b³= (a + b)(a² – ab + b²)

= (a + b)(a² – 2ab + b² + ab)

= (a + b)[(a – b)² + ab] = VP

Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh.

c) Biến đổi vế trái ta có:

VT = (a² + b²)(c² + d²)

= a².(c² + d²) + b².(c² + d²)

= a²c² + a²d² + b²c² + b²d²

= (a²c² + 2abcd + b²d² ) + (a²d² – 2abcd + b²c²)

= (ac + bd)² + (ad – bc)² =VP ( áp dụng hằng đẳng thức thứ nhất và thứ hai).

Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh.

Bài 18 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1:

a) x² – 6x + 10 > 0 với mọi x;

b) 4x – x² – 5 < 0 với mọi x.

Lời giải:

a) Ta có: x² – 6x + 10 = x² – 2.x.3 + 9 + 1 = (x – 3)² + 1

Vì (x – 3)² ≥ 0 với mọi x nên (x – 3)² + 1  > 0 mọi x

Vậy x² – 6x + 10 > 0 với mọi x. (điều phải chứng minh)

b) Ta có: 4x – x² – 5

= – x² + 4x – 4 – 1

= – (x² – 4x + 4) – 1

= – (x² – 2.x.2 + 2²) – 1 

= – (x – 2)² – 1

Vì (x – 2)² ≥ 0 với mọi x nên – (x – 2)² ≤ 0 với mọi x.

Suy ra: – (x – 2)² – 1 ≤ – 1< 0  với mọi x

Vậy 4x – x² – 5 < 0 với mọi x. (điều phải chứng minh).

Bài 19 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức:

a) P = x² – 2x + 5;

b) Q = 2x² – 6x;

c) M = x² + y² – x + 6y + 10.

Lời giải:

a) Ta có: P = x² – 2x + 5 = x² – 2x + 1 + 4 = (x – 1)² + 4

Vì (x – 1)² ≥ 0 với mọi x nên (x – 1)² + 4 ≥ 4 với mọi x.

Hay $P\ge 4$với mọi x.

Suy ra: P = 4 là giá trị nhỏ nhất khi (x – 1)² = 0  x = 1

Vậy P = 4 là giá trị nhỏ nhất của đa thức khi x = 1.

b) Ta có: Q = 2x² – 6x = 2(x² – 3x)

= 2(x² – 2.$\frac{3}{2}$ .x + $\frac{9}{4}-\frac{9}{4}$)

= 2[(x –$\frac{3}{2}$ )² – $\frac{9}{4}$ ]

= 2(x –$\frac{3}{2}$ )² – 2.$\frac{9}{4}$

= 2(x – $\frac{3}{2}$)² – $\frac{9}{2}$ .

Vì (x – $\frac{3}{2}$)² ≥ 0 nên 2(x – $\frac{3}{2}$)² ≥ 0với mọi x

Suy ra:  2(x – $\frac{3}{2}$)² – $\frac{9}{2}$ ≥ – $\frac{9}{2}$.

Do đó: Q = – $\frac{9}{2}$là giá trị nhỏ nhất khi (x – $\frac{3}{2}$)² = 0  x = $\frac{3}{2}$.

Vậy Q = –  $\frac{9}{2}$là giá trị nhỏ nhất của đa thức khi x = $\frac{3}{2}$.

c) Ta có: M = x² + y² – x + 6y + 10

= (y² + 6y + 9) + (x² – x + 1)

= (y² + 2 .y. 3+ 3²) + (x² – 2.$\frac{1}{2}$ .x +$\frac{1}{4}$ ) + $\frac{3}{4}$

= (y + 3)² + (x – $\frac{1}{2}$ )² + $\frac{3}{4}$

Vì (y + 3)² ≥ 0 và (x – $\frac{1}{2}$)² ≥ 0 với mọi x, y.

Nên (y + 3)² + (x –  $\frac{1}{2}$)² ≥ 0

Suy ra M = (y + 3)² + (x – $\frac{1}{2}$)² + $\frac{3}{4}$≥ $\frac{3}{4}$ với mọi x, y.

Đa thức M đạt giá trị nhỏ nhất là $\frac{3}{4}$ khi:

 $\begin{array}{c}{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2=0\\ {(y+\text{}3)}^2=0\end{array}\iff \begin{array}{c}x=\frac{1}{2}\\ y=-3\end{array}$

Vậy đa thức M là giá trị nhỏ nhất là $\frac{3}{4}$ tại y = – 3 và x =$\frac{1}{2}$ .

Bài 20 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất của các đa thức:

a) A = 4x – x² + 3;

b) B = x – x²;

c) N = 2x – 2x² – 5.

Lời giải:

a) Ta có: A = 4x – x² + 3

= 7 – x² + 4x – 4

= 7 – (x² – 4x + 4)

= 7 – (x – 2)²

Vì (x – 2)² ≥ 0 với mọi x nên – (x – 2)²

Suy ra: A = 7 – (x – 2)² ≤ 7 với mọi x.

Vậy giá trị lớn nhất của  đa thức A là 7 khi x – 2 = 0 hay x = 2.

b) Ta có: B = x – x²

=  $\frac{1}{4}$– x² + x – $\frac{1}{4}$

=  $\frac{1}{4}$– (x² – x + $\frac{1}{4}$)

=  $\frac{1}{4}$– (x² – 2.x.$\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{4}$)

= $\frac{1}{4}$– (x – $\frac{1}{2}$)²

Vì (x – $\frac{1}{2}$)² ≥ 0 với mọi x nên – (x –$\frac{1}{2}$$\le 0$ )² 

Suy ra:  B = $\frac{1}{4}$ – (x – $\frac{1}{2}$)² ≤ $\frac{1}{4}$.

Vậy giá trị lớn nhất của đa thức B là $\frac{1}{4}$ khi x – $\frac{1}{2}$= 0 hay x = $\frac{1}{2}$.

c) Ta có: N = 2x – 2x² – 5

= – 2(x² – x + $\frac{5}{2}$ )

= – 2(x² – 2.x. $\frac{1}{2}$+ $\frac{1}{4}$ + $\frac{9}{4}$)

= – 2[(x – $\frac{1}{2}$)² + $\frac{9}{4}$]

= – 2(x – $\frac{1}{2}$)² – 2.$\frac{9}{4}$ = – 2(x – $\frac{1}{2}$)² – $\frac{9}{2}$.

Vì (x – $\frac{1}{2}$ )² ≥ 0 với mọi x nên – 2(x – $\frac{1}{2}$)² ≤ 0

Suy ra: N = – 2(x – $\frac{1}{2}$)² – $\frac{9}{2}$ ≤ – $\frac{9}{2}$.

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức N là  khi x – $\frac{9}{2}$ = 0 hay x = $\frac{1}{2}$.

Bài tập bổ sung