Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức: P = x^2 – 2x + 5

Giải SBT Toán 8 Bài 3, 4, 5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài 19 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: 

a) P = x² – 2x + 5;

b) Q = 2x² – 6x;

c) M = x² + y² – x + 6y + 10.

Lời giải:

a) Ta có: P = x² – 2x + 5 = x² – 2x + 1 + 4 = (x – 1)² + 4

Vì (x – 1)² ≥ 0 với mọi x nên (x – 1)² + 4 ≥ 4 với mọi x.

Hay $P\ge 4$với mọi x.

Suy ra: P = 4 là giá trị nhỏ nhất khi (x – 1)² = 0  x = 1

Vậy P = 4 là giá trị nhỏ nhất của đa thức khi x = 1.

b) Ta có: Q = 2x² – 6x = 2(x² – 3x)

= 2(x² – 2.$\frac{3}{2}$ .x + $\frac{9}{4}-\frac{9}{4}$)

= 2[(x –$\frac{3}{2}$ )² – $\frac{9}{4}$ ]

= 2(x –$\frac{3}{2}$ )² – 2.$\frac{9}{4}$

= 2(x – $\frac{3}{2}$)² – $\frac{9}{2}$ .

Vì (x – $\frac{3}{2}$)² ≥ 0 nên 2(x – $\frac{3}{2}$)² ≥ 0với mọi x

Suy ra:  2(x – $\frac{3}{2}$)² – $\frac{9}{2}$ ≥ – $\frac{9}{2}$.

Do đó: Q = – $\frac{9}{2}$là giá trị nhỏ nhất khi (x – $\frac{3}{2}$)² = 0  x = $\frac{3}{2}$.

Vậy Q = –  $\frac{9}{2}$là giá trị nhỏ nhất của đa thức khi x = $\frac{3}{2}$.

c) Ta có: M = x² + y² – x + 6y + 10

= (y² + 6y + 9) + (x² – x + 1)

= (y² + 2 .y. 3+ 3²) + (x² – 2.$\frac{1}{2}$ .x +$\frac{1}{4}$ ) + $\frac{3}{4}$

= (y + 3)² + (x – $\frac{1}{2}$ )² + $\frac{3}{4}$

Vì (y + 3)² ≥ 0 và (x – $\frac{1}{2}$)² ≥ 0 với mọi x, y.

Nên (y + 3)² + (x –  $\frac{1}{2}$)² ≥ 0

Suy ra M = (y + 3)² + (x – $\frac{1}{2}$)² + $\frac{3}{4}$≥ $\frac{3}{4}$ với mọi x, y.

Đa thức M đạt giá trị nhỏ nhất là $\frac{3}{4}$ khi:

 $\begin{array}{c}{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2=0\\ {(y+\text{}3)}^2=0\end{array}\iff \begin{array}{c}x=\frac{1}{2}\\ y=-3\end{array}$

Vậy đa thức M là giá trị nhỏ nhất là $\frac{3}{4}$ tại y = – 3 và x =$\frac{1}{2}$ .