Chứng minh rằng: (a + b)(a^2 – ab + b^2) + (a – b)(a^2 + ab + b^2) = 2a^3

Giải SBT Toán 8 Bài 3, 4, 5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài 17 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: 

a) (a + b)(a² – ab + b²) + (a – b)(a² + ab + b²) = 2a³;

b) a³ + b³ = (a + b)[(a – b)² + ab];

c) (a² + b²)(c² + d²) = (ac + bd)² + (ad – bc)².

Lời giải:

a) Áp dụng hằng đẳng thức số 6 và số 7, ta có:

VT = (a + b)(a² – ab + b²) + (a – b)(a² + ab + b²)

= a³ + b³ + a³ – b³ 

= (a³ + a³ )+( b³ – b³ )

= 2a³ = VP

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

b) Biến đổi vế trái, ta có:

VT = a³ + b³= (a + b)(a² – ab + b²)

= (a + b)(a² – 2ab + b² + ab)

= (a + b)[(a – b)² + ab] = VP

Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh.

c) Biến đổi vế trái ta có:

VT = (a² + b²)(c² + d²)

= a².(c² + d²) + b².(c² + d²)

= a²c² + a²d² + b²c² + b²d²

= (a²c² + 2abcd + b²d² ) + (a²d² – 2abcd + b²c²)

= (ac + bd)² + (ad – bc)² =VP ( áp dụng hằng đẳng thức thứ nhất và thứ hai).

Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh.