Tìm giá trị lớn nhất của các đa thức: A = 4x – x^2 + 3

Giải SBT Toán 8 Bài 3, 4, 5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài 20 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: 

a) A = 4x – x² + 3;

b) B = x – x²;

c) N = 2x – 2x² – 5.

Lời giải:

a) Ta có: A = 4x – x² + 3

= 7 – x² + 4x – 4

= 7 – (x² – 4x + 4)

= 7 – (x – 2)²

Vì (x – 2)² ≥ 0 với mọi x nên – (x – 2)²

Suy ra: A = 7 – (x – 2)² ≤ 7 với mọi x.

Vậy giá trị lớn nhất của  đa thức A là 7 khi x – 2 = 0 hay x = 2.

b) Ta có: B = x – x²

=  $\frac{1}{4}$– x² + x – $\frac{1}{4}$

=  $\frac{1}{4}$– (x² – x + $\frac{1}{4}$)

=  $\frac{1}{4}$– (x² – 2.x.$\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{4}$)

= $\frac{1}{4}$– (x – $\frac{1}{2}$)²

Vì (x – $\frac{1}{2}$)² ≥ 0 với mọi x nên – (x –$\frac{1}{2}$$\le 0$ )² 

Suy ra:  B = $\frac{1}{4}$ – (x – $\frac{1}{2}$)² ≤ $\frac{1}{4}$.

Vậy giá trị lớn nhất của đa thức B là $\frac{1}{4}$ khi x – $\frac{1}{2}$= 0 hay x = $\frac{1}{2}$.

c) Ta có: N = 2x – 2x² – 5

= – 2(x² – x + $\frac{5}{2}$ )

= – 2(x² – 2.x. $\frac{1}{2}$+ $\frac{1}{4}$ + $\frac{9}{4}$)

= – 2[(x – $\frac{1}{2}$)² + $\frac{9}{4}$]

= – 2(x – $\frac{1}{2}$)² – 2.$\frac{9}{4}$ = – 2(x – $\frac{1}{2}$)² – $\frac{9}{2}$.

Vì (x – $\frac{1}{2}$ )² ≥ 0 với mọi x nên – 2(x – $\frac{1}{2}$)² ≤ 0

Suy ra: N = – 2(x – $\frac{1}{2}$)² – $\frac{9}{2}$ ≤ – $\frac{9}{2}$.

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức N là  khi x – $\frac{9}{2}$ = 0 hay x = $\frac{1}{2}$.