Anonymous

Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ (năm 2024 + Bài Tập) – Toán 8

- asked 2 months agoVotes

0Answers

0Views

Lý thuyết Toán 8 Bài 3: Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài giảng Toán 8 Bài 3: Những hằng đẳng thức đáng nhớ

A. Lý thuyết

1. Bình phương của một tổng

Bình phương của một tổng bằng bình phương số thứ nhất cộng hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng bình phương số thứ hai.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A + B)² = A² + 2AB + B².

Ví dụ 1:

(x + 3)² = x² + 2.x.3 + 3² = x² + 6x + 9.

(2a + b)² = (2a)² + 2.2a.b + b² = 4a² + 4ab + b².

2. Bình phương của một hiệu.

Bình phương của một hiệu bằng bình phương số thứ nhất trừ hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng bình phương số thứ hai.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A – B)² = A² – 2AB + B².

Ví dụ 2:

${(y - \frac{1}{4})}^{2}$ $= y^{2} - 2. y . \frac{1}{4} + {(\frac{1}{4})}^{2}$ $= y^{2} - \frac{1}{2} y + \frac{1}{16}$

(3x – y)² = (3x)² – 2.3x.y + y² = 9x² – 6xy + y².

3. Hiệu hai bình phương

Hiệu hai bình phương bằng tích của hiệu với tổng của chúng.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A² – B² = (A – B)(A + B).

Ví dụ 3:

m² – 4 = m² – 2² = (m – 2)(m + 2)

(2a – b)(2a + b) = (2a)² – b² = 4a² – b²

B. Bài tập tự luyện.

Bài 1: Khai triển các hằng đẳng thức sau:

Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ chi tiết – Toán lớp 8 (ảnh 1)

Lời giải:

Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ chi tiết – Toán lớp 8 (ảnh 1)

b) (xy – 1)²= (xy)² – 2xy.1 + 1² = x²y² – 2xy + 1.

c) (a – 4)(a + 4) = a² – 4²= a² – 16.

Bài 2: Viết lại các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc của một hiệu:

Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ chi tiết – Toán lớp 8 (ảnh 1)

Lời giải:

c) 1 – 4xy² + 4x²y⁴ = 1 – 2.1.2xy² + (2xy²)² = (1 – 2xy²)².

Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau:

a) A = (3x + y)² – (y – 3x)²;

b) B = x⁴ + 2(y² + 2xy)x² + (y² + 2xy)².

Lời giải:

a) A = (3x + y)² – (y – 3x)²

A = [(3x + y) – (y – 3x)][(3x + y) + (y – 3x)]

A = (3x + y – y + 3x)(3x + y + y – 3x)

A = 6x.2y

A= 12xy

b) B = x⁴ + 2(y² + 2xy)x² + (y² + 2xy)²

B = (x²)² + 2(y² + 2xy)x² + (y² + 2xy)²

B = (x² + y² + 2xy)²

B = (x² + 2xy + y²)²

B = ((x + y)²)²

B = (x + y)⁴

Bài 4: Viết các biểu thức sau thành đa thức:

$a) (3x+4)^{2}$

$b) (5x-y)^{2}$

$c) (xy-\frac{1}{2}y)^{2}$

Lời giải:

$a) (3x+4)^{2}=9x^{2}+24x+16$

$b) (5x-y)^{2}=25x^{2}-10xy+y^{2}$

$c) (xy-\frac{1}{2}y)^{2}=x^{2}y^{2}-xy^{2}+\frac{1}{4}y^{2}$

Bài 5: Tính nhanh

$a) 38 \times 42$

$b) 102^{2}$

$c) 198^{2}$

$d) 75^{2}-25^{2}$

Lời giải:

$a) 38 \times 42 = (40-2)(40+2)$

$=40^{2}-2^{2}=1600-4=1598$

$b) 102^{2}=(100+2)^{2}=100^{2}+2\times 100 \times 2 +2^{2}$

$=10000+400+4=10404$

$c) 198^{2}=(200-2)^{2}=200^{2}- 2 \times 200 \times 2+2^{2}$

$=40000-800+4=39204$

$d) 75^{2}-25^{2}=(75-25)(75+25)=50\times 100=5000$

Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

A = 2x² – 4x + 4xy + 4y² – 1.

Lời giải:

Ta có:

A = 2x² – 4x + 4xy + 4y² – 1

A = x² – 4x + 4 + x² + 4xy + 4y² – 5

A = (x – 2)² + (x + 2y)² – 5

Vì (x – 2)² ≥ 0 với mọi x; (x + 2y)² ≥ 0 với mọi x; y.

Do đó A ≥ – 5 với mọi x; y.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\begin{array}{l} x - 2 = 0 \\ x + 2 y = 0 \end{array}$ $\Rightarrow \begin{array}{l} x = 2 \\ y = - 1 \end{array}$ .

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng –5 đạt được khi x = 2 và y = –1.

Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức dưới đây:

a, $A = 5x - {x^2}$

b, $B = - {x^2} + 2x + 9$

Gợi ý đáp án

a, $A = 5x - {x^2} = - \left( {{x^2} - 2.\frac{5}{2}x + \frac{{25}}{4}} \right) + \frac{{25}}{4} = - {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{25}}{4}$

Có $- {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} \le 0\forall x \Rightarrow - {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{25}}{4} \le \frac{{25}}{4}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow x = \frac{5}{2}$

Vậy $\max A = \frac{{25}}{4} \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}$

b, $B = - {x^2} + 2x + 9 = - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 10 = - {\left( {x - 1} \right)^2} + 10$

Có $- {\left( {x - 1} \right)^2} \le 0\forall x \Rightarrow - {\left( {x - 1} \right)^2} + 10 \le 10$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow x = 1$

Vậy max B = 10 khi và chỉ khi x = 1

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 3: Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài 1:

A. 4 – (a + b)² = (2 + a + b)(2 – a + b)

B. 4 – (a + b)² = (4 + a + b)(4 – a – b)

C. 4 – (a + b)² = (2 + a – b)(2 – a + b)

D. 4 – (a + b)² = (2 + a + b)(2 – a – b)

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có 4 – (a + b)² = 2² – (a + b)²

= (2 + a + b)[2 – (a + b)]

= (2 + a + b)(2 – a – b)

Bài 2:

A. a² + b² + c² – 2(bc + ac + ab)

B. a² + b² + c² + bc – ac – 2ab

C. a² + b² + c² + 2(bc – ac – ab)

D. a² + b² + c² + 2(bc – ac – ab)

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có (a - b - c)² = [(a - b) - c]²

= (a - b)² - 2(a - b).c + c²

= a² - 2ab + b² - 2ac + 2bc + c²

= a² + b² + c² + 2(bc – ac – ab)

Bài 3:

A. (A + B)² = A² + 2AB + B²

B. (A + B)² = A² + AB + B²

C. (A + B)² = A² + B²

D. (A + B)² = A² – 2AB + B²

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích: Ta có (A + B)² = A² + 2AB + B²

Bài 4:

A. (x + y)² = (x + y)(x + y)

B. x² – y² = (x + y)(x – y)

C. (-x – y)² = (-x)² – 2(-x)y + y²

D. (x + y)(x + y) = y² – x²

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có (x + y)(x + y) = (x + y)²

= x² + 2xy + y² ≠ y² – x²

nên câu D sai.

Bài 5:

A. (x + 2y)² = x² + 4xy + 4y²

B. (x – 2y)² = x² – 4xy + 4y²

C. (x – 2y)² = x² – 4y²

D. (x – 2y)(x + 2y) = x² – 4y²

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có

(x + 2y)² = x² + 2x.2y + (2y)²

= x² + 4xy + 4y² nên A đúng

(x – 2y)² = x² – 2x.2y + (2y)²

= x² – 4xy + 4y²nên B đúng, C sai.

(x – 2y)(x + 2y) = x² – (2y)²

= x² – 4y² nên D đúng

Bài 6:

A. (A – B)(A + B) = A² + 2AB + B²

B. (A + B)(A – B) = A² – B²

C. (A + B)(A – B) = A² – 2AB + B²

D. (A + B)(A – B) = A² + B²

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích: Ta có A² – B² = (A – B)(A + B)

Bài 7:

theo hằng đẳng thức ta được

A. (4x – 5y)(4x + 5y)

B. (4x – 25y)(4x + 25y)

C. (2x – 5y)(2x + 5y)

D. (2x – 5y)²

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có

x² – 25y² = (x)² – (5y)²

= (x – 5y)(x + 5y)

Bài 8:

Trắc nghiệm Những hằng đẳng thức đáng nhớ có đáp án - Toán lớp 8 (ảnh 1)

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Trắc nghiệm Những hằng đẳng thức đáng nhớ có đáp án - Toán lớp 8 (ảnh 1)

Bài 9:

A. 9x² – 24xy + 16y²

B. 9x² – 12xy + 16y²

C. 9x² – 24xy + 4y²

D. 9x² – 6xy + 16y²

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có (3x – 4y)²

= (3x)² – 2.3x.4y + (4y)²

= 9x² – 24xy + 16y²

Bài 10:

Trắc nghiệm Những hằng đẳng thức đáng nhớ có đáp án - Toán lớp 8 (ảnh 1)

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có ${(\frac{x}{2} - 2 y)}^{2}$

= ${(\frac{x}{2})}^{2} - 2. \frac{x}{2} .2 y + {(2 y)}^{2}$

$= \frac{x^{2}}{4} - 2 x y + 4 y^{2}$

Bài tập liên quan

▸Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp theo)

▸Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

▸Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

▸Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm các hạng tử

Write your answer here

Anonymous

Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ (năm 2024 + Bài Tập) – Toán 8

- asked 2 months agoVotes

0Answers

0Views

Lý thuyết Toán 8 Bài 3: Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài giảng Toán 8 Bài 3: Những hằng đẳng thức đáng nhớ

A. Lý thuyết

1. Bình phương của một tổng

Bình phương của một tổng bằng bình phương số thứ nhất cộng hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng bình phương số thứ hai.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A + B)² = A² + 2AB + B².

Ví dụ 1:

(x + 3)² = x² + 2.x.3 + 3² = x² + 6x + 9.

(2a + b)² = (2a)² + 2.2a.b + b² = 4a² + 4ab + b².

2. Bình phương của một hiệu.

Bình phương của một hiệu bằng bình phương số thứ nhất trừ hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng bình phương số thứ hai.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A – B)² = A² – 2AB + B².

Ví dụ 2:

${(y - \frac{1}{4})}^{2}$ $= y^{2} - 2. y . \frac{1}{4} + {(\frac{1}{4})}^{2}$ $= y^{2} - \frac{1}{2} y + \frac{1}{16}$

(3x – y)² = (3x)² – 2.3x.y + y² = 9x² – 6xy + y².

3. Hiệu hai bình phương

Hiệu hai bình phương bằng tích của hiệu với tổng của chúng.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A² – B² = (A – B)(A + B).

Ví dụ 3:

m² – 4 = m² – 2² = (m – 2)(m + 2)

(2a – b)(2a + b) = (2a)² – b² = 4a² – b²

B. Bài tập tự luyện.

Bài 1: Khai triển các hằng đẳng thức sau:

Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ chi tiết – Toán lớp 8 (ảnh 1)

Lời giải:

Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ chi tiết – Toán lớp 8 (ảnh 1)

b) (xy – 1)²= (xy)² – 2xy.1 + 1² = x²y² – 2xy + 1.

c) (a – 4)(a + 4) = a² – 4²= a² – 16.

Bài 2: Viết lại các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc của một hiệu:

Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ chi tiết – Toán lớp 8 (ảnh 1)

Lời giải:

c) 1 – 4xy² + 4x²y⁴ = 1 – 2.1.2xy² + (2xy²)² = (1 – 2xy²)².

Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau:

a) A = (3x + y)² – (y – 3x)²;

b) B = x⁴ + 2(y² + 2xy)x² + (y² + 2xy)².

Lời giải:

a) A = (3x + y)² – (y – 3x)²

A = [(3x + y) – (y – 3x)][(3x + y) + (y – 3x)]

A = (3x + y – y + 3x)(3x + y + y – 3x)

A = 6x.2y

A= 12xy

b) B = x⁴ + 2(y² + 2xy)x² + (y² + 2xy)²

B = (x²)² + 2(y² + 2xy)x² + (y² + 2xy)²

B = (x² + y² + 2xy)²

B = (x² + 2xy + y²)²

B = ((x + y)²)²

B = (x + y)⁴

Bài 4: Viết các biểu thức sau thành đa thức:

$a) (3x+4)^{2}$

$b) (5x-y)^{2}$

$c) (xy-\frac{1}{2}y)^{2}$

Lời giải:

$a) (3x+4)^{2}=9x^{2}+24x+16$

$b) (5x-y)^{2}=25x^{2}-10xy+y^{2}$

$c) (xy-\frac{1}{2}y)^{2}=x^{2}y^{2}-xy^{2}+\frac{1}{4}y^{2}$

Bài 5: Tính nhanh

$a) 38 \times 42$

$b) 102^{2}$

$c) 198^{2}$

$d) 75^{2}-25^{2}$

Lời giải:

$a) 38 \times 42 = (40-2)(40+2)$

$=40^{2}-2^{2}=1600-4=1598$

$b) 102^{2}=(100+2)^{2}=100^{2}+2\times 100 \times 2 +2^{2}$

$=10000+400+4=10404$

$c) 198^{2}=(200-2)^{2}=200^{2}- 2 \times 200 \times 2+2^{2}$

$=40000-800+4=39204$

$d) 75^{2}-25^{2}=(75-25)(75+25)=50\times 100=5000$

Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

A = 2x² – 4x + 4xy + 4y² – 1.

Lời giải:

Ta có:

A = 2x² – 4x + 4xy + 4y² – 1

A = x² – 4x + 4 + x² + 4xy + 4y² – 5

A = (x – 2)² + (x + 2y)² – 5

Vì (x – 2)² ≥ 0 với mọi x; (x + 2y)² ≥ 0 với mọi x; y.

Do đó A ≥ – 5 với mọi x; y.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\begin{array}{l} x - 2 = 0 \\ x + 2 y = 0 \end{array}$ $\Rightarrow \begin{array}{l} x = 2 \\ y = - 1 \end{array}$ .

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng –5 đạt được khi x = 2 và y = –1.

Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức dưới đây:

a, $A = 5x - {x^2}$

b, $B = - {x^2} + 2x + 9$

Gợi ý đáp án

a, $A = 5x - {x^2} = - \left( {{x^2} - 2.\frac{5}{2}x + \frac{{25}}{4}} \right) + \frac{{25}}{4} = - {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{25}}{4}$

Có $- {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} \le 0\forall x \Rightarrow - {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{25}}{4} \le \frac{{25}}{4}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow x = \frac{5}{2}$

Vậy $\max A = \frac{{25}}{4} \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}$

b, $B = - {x^2} + 2x + 9 = - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 10 = - {\left( {x - 1} \right)^2} + 10$

Có $- {\left( {x - 1} \right)^2} \le 0\forall x \Rightarrow - {\left( {x - 1} \right)^2} + 10 \le 10$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow x = 1$

Vậy max B = 10 khi và chỉ khi x = 1

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 3: Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài 1:

A. 4 – (a + b)² = (2 + a + b)(2 – a + b)

B. 4 – (a + b)² = (4 + a + b)(4 – a – b)

C. 4 – (a + b)² = (2 + a – b)(2 – a + b)

D. 4 – (a + b)² = (2 + a + b)(2 – a – b)

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có 4 – (a + b)² = 2² – (a + b)²

= (2 + a + b)[2 – (a + b)]

= (2 + a + b)(2 – a – b)

Bài 2:

A. a² + b² + c² – 2(bc + ac + ab)

B. a² + b² + c² + bc – ac – 2ab

C. a² + b² + c² + 2(bc – ac – ab)

D. a² + b² + c² + 2(bc – ac – ab)

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có (a - b - c)² = [(a - b) - c]²

= (a - b)² - 2(a - b).c + c²

= a² - 2ab + b² - 2ac + 2bc + c²

= a² + b² + c² + 2(bc – ac – ab)

Bài 3:

A. (A + B)² = A² + 2AB + B²

B. (A + B)² = A² + AB + B²

C. (A + B)² = A² + B²

D. (A + B)² = A² – 2AB + B²

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích: Ta có (A + B)² = A² + 2AB + B²

Bài 4:

A. (x + y)² = (x + y)(x + y)

B. x² – y² = (x + y)(x – y)

C. (-x – y)² = (-x)² – 2(-x)y + y²

D. (x + y)(x + y) = y² – x²

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có (x + y)(x + y) = (x + y)²

= x² + 2xy + y² ≠ y² – x²

nên câu D sai.

Bài 5:

A. (x + 2y)² = x² + 4xy + 4y²

B. (x – 2y)² = x² – 4xy + 4y²

C. (x – 2y)² = x² – 4y²

D. (x – 2y)(x + 2y) = x² – 4y²

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có

(x + 2y)² = x² + 2x.2y + (2y)²

= x² + 4xy + 4y² nên A đúng

(x – 2y)² = x² – 2x.2y + (2y)²

= x² – 4xy + 4y²nên B đúng, C sai.

(x – 2y)(x + 2y) = x² – (2y)²

= x² – 4y² nên D đúng

Bài 6:

A. (A – B)(A + B) = A² + 2AB + B²

B. (A + B)(A – B) = A² – B²

C. (A + B)(A – B) = A² – 2AB + B²

D. (A + B)(A – B) = A² + B²

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích: Ta có A² – B² = (A – B)(A + B)

Bài 7:

theo hằng đẳng thức ta được

A. (4x – 5y)(4x + 5y)

B. (4x – 25y)(4x + 25y)

C. (2x – 5y)(2x + 5y)

D. (2x – 5y)²

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có

x² – 25y² = (x)² – (5y)²

= (x – 5y)(x + 5y)

Bài 8:

Trắc nghiệm Những hằng đẳng thức đáng nhớ có đáp án - Toán lớp 8 (ảnh 1)

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Trắc nghiệm Những hằng đẳng thức đáng nhớ có đáp án - Toán lớp 8 (ảnh 1)

Bài 9:

A. 9x² – 24xy + 16y²

B. 9x² – 12xy + 16y²

C. 9x² – 24xy + 4y²

D. 9x² – 6xy + 16y²

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có (3x – 4y)²

= (3x)² – 2.3x.4y + (4y)²

= 9x² – 24xy + 16y²

Bài 10:

Trắc nghiệm Những hằng đẳng thức đáng nhớ có đáp án - Toán lớp 8 (ảnh 1)

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có ${(\frac{x}{2} - 2 y)}^{2}$

= ${(\frac{x}{2})}^{2} - 2. \frac{x}{2} .2 y + {(2 y)}^{2}$

$= \frac{x^{2}}{4} - 2 x y + 4 y^{2}$

Bài tập liên quan

▸Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp theo)

▸Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

▸Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

▸Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm các hạng tử

Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ (năm 2024 + Bài Tập) – Toán 8

Bài 4: Viết các biểu thức sau thành đa thức:

Lời giải:

Bài 5: Tính nhanh

Lời giải:

Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức dưới đây:

Gợi ý đáp án

Bài 1:

Bài 2:

Bài 3:

Bài 4:

Bài 5:

Bài 6:

Bài 7:

Bài 8:

Bài 9:

Bài 10:

Bài tập liên quan

Write your answer here

Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ (năm 2024 + Bài Tập) – Toán 8

Bài 4: Viết các biểu thức sau thành đa thức:

Lời giải:

Bài 5: Tính nhanh

Lời giải:

Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức dưới đây:

Gợi ý đáp án

Bài 1:

Bài 2:

Bài 3:

Bài 4:

Bài 5:

Bài 6:

Bài 7:

Bài 8:

Bài 9:

Bài 10:

Bài tập liên quan

Write your answer here

Top Questions

Popular Tags