Lý thuyết Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta - lét (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 8

Lý thuyết Toán 8 Bài 2: Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta – lét

Bài giảng Toán 8 Bài 2: Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta – lét

A. Lý thuyết

1. Định lý đảo

- Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh một tam giác và định ra trên hai cạnh ấy những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

Ví dụ 1. Trong tam giác ABC có AB = 10cm; AC = 15cm. Lấy trên cạnh AB điểm B’, trên cạnh AC lấy điểm C’ sao cho AB’ = 4cm; AC’ = 6cm. Chứng minh B’C’// BC.

Lời giải:

Ta có: B’B = AB – AB’ = 10 – 4 = 6cm,

Và CC’ = AC – AC’ = 15 – 6 = 9 cm

Ta có:

$\frac{\mathrm{AB}\text{'}}{\mathrm{BB}\text{'}}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3};\frac{\mathrm{AC}\text{'}}{\mathrm{CC}\text{'}}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{\mathrm{AB}\text{'}}{\mathrm{BB}\text{'}}=\frac{\mathrm{AC}\text{'}}{\mathrm{CC}\text{'}}$

Theo định lí ta – lét đảo, suy ra: B’C’ // BC.

2. Hệ quả của định lý Ta – lét

- Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh còn lại của một của một tam giác và song song với các cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh còn lại của tam giác đã cho.

- Chú ý: Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng song song với một cạnh và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại.

Ví dụ 2. Trong tam giác ABC có AB = 6cm và B’C’// BC. Lấy trên cạnh AB điểm B’, trên cạnh AC lấy điểm C’ sao cho AB’ = 4cm; AC’ = 3cm. Tính độ dài cạnh AC.

Lời giải:

Áp dụng hệ quả trên ta có:

$\frac{\mathrm{AB}\text{'}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AC}\text{'}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}{\mathrm{BC}}$

Khi đó ta có:

$\frac{\mathrm{AB}\text{'}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AC}\text{'}}{\mathrm{AC}}\iff \frac{4}{6}=\frac{3}{\mathrm{AC}}\Rightarrow \mathrm{AC}=\frac{6.3}{4}=\frac{9}{2}\left(\mathrm{cm}\right)$

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính x trong hình vẽ sau, biết FG// HT

Lời giải:

Áp dụng hệ quả của định lí Ta – lét với FG// HT ta có:

$\frac{\mathrm{EF}}{\mathrm{ET}}=\frac{\mathrm{EG}}{\mathrm{HE}}\iff \mathrm{ET}=\frac{\mathrm{EF}.\mathrm{HE}}{\mathrm{EG}}=\frac{3.3}{2}=4,5$

Vậy x = 4,5.

Bài 2. Tính độ dài x, y trong các hình sau biết DE // BC

a)

b)

Lời giải:

a) Áp dụng hệ quả của định lí Ta – lét ta có:

$\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}}$ hay $\frac{\mathrm{x}}{8}=\frac{28,5+9,5}{9,5}=\frac{38}{9,5}$

$\iff \mathrm{x}=\frac{8.38}{9,5}=32$

Vậy x = 32.

b) Ta có: A’B’// AB vì cùng vuông góc AA’.

Áp dụng hệ quả của định lí Ta – lét ta có:

$\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}\parallel \mathrm{AB}\Rightarrow \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}}=\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{O}\text{'}}$

hay $\frac{\mathrm{x}}{4,2}=\frac{6}{3}\iff \mathrm{x}=8,4$

Áp dụng định lí Py – ta – go với tam giác OAB ta có:

${\mathrm{OB}}^2={\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{OA}}^2\Rightarrow \mathrm{y}=\sqrt{8,4^2+6^2}\approx 10,32$

Vậy $\mathrm{x}=8,4$ và $\mathrm{y}\approx 10,32$.

Bài 3. Cho tam giác ABC, một đường thẳng d cắt 2 cạnh AB và AC tại M và N sao cho AM = 4cm, MB = 5cm, AN = 6 cm và AC = 13,5cm; BC = 12 cm. Tính MN?

Lời giải:

Do N nằm giữa A và C nên:

NC = AC - AN = 13,5 -  6 = 7,5cm

Ta có: $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{MB}}=\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{NC}}\left(\frac{4}{5}=\frac{6}{7,5}\right)$

Suy ra: MN // BC ( định lí  Ta let đảo)

Theo hệ quả định lí ta - let ta có;

$\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{BC}}\Rightarrow \mathrm{MN}=\frac{\mathrm{AN}.\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{6.12}{13,5}=\frac{16}{3}\mathrm{cm}$

Bài 4. Cho tam giác ABC, đường thẳng d song song với BC cắt 2 cạnh  AB và AC lần lượt tại M và N. Biết rằng $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{MB}}=\frac{1}{2}$. Tỉnh tỉ số chu vi tam giác AMN và ABC?

Lời giải:

Ta có: $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{MB}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{MB}+\mathrm{AM}}=\frac{1}{2+1}\Rightarrow \frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}=\frac{1}{3}$

Vì MN// BC nên theo hệ quả định lí Ta let ta có:

$\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{BC}}=\frac{1}{3}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{AM}+\mathrm{AN}+\mathrm{MN}}{\mathrm{AB}+\mathrm{AC}+\mathrm{BC}}=\frac{1}{3}$

Do đó, tỉ số chu vi tam giác AMN và ABC là $\frac{1}{3}$

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 2: Định lý đảo và hệ quả của định lý Ta-let

Bài 1:

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Theo định lý đảo của định lý Ta-lét. Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

Dễ thấy, từ các điều kiện 

Dễ thấy, từ các điều kiện

$\frac{DB}{DA}=\frac{EC}{EA}$; $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$; $\frac{AB}{DB}=\frac{AC}{EC}$ ta đều suy ra được DE // BC.

Chỉ có D sai.

Bài 2:

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông OA’B’,

ta có: OA’² + A’B’² = OB’²

Bài 3: Chọn câu trả lời đúng:

Cho hình thang ABCD (AB // CD), O là giao điểm của AC và BD. Xét các khẳng định sau:

A. Chỉ có (I) đúng

B. Chỉ có (II) đúng

C. Cả (I) và (II) đúng

D. Cả (I) và (II) sai

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Vì AB // CD, áp dụng hệ quả định lý Talet,

Bài 4:

A. 8cm²

B. 6cm²

C. 16cm²

D. 32cm²

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Kẻ AH ⊥ DC; OK ⊥ DC tại H, K suy ra AH // OK

Chiều cao của hình thang:

Bài 5.

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Bài 6:

A. $\frac{64}{3}$cm²

B. 15cm²               

C. 16cm²               

D. 32cm²

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Kẻ AH ⊥ DC; OK ⊥ DC tại H, K suy ra AH // OK

Chiều cao của hình thang:

Bài 7:

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Theo định lý đảo của định lý Ta-lét. Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

Nên D sai.

Bài 8:

A. x = 7,15

B. x = 7,10

C. x = 7,14

D. x = 7,142

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có: AB = BD + AD = 5 + 2 = 7

Vì DE // AC, áp dụng hệ quả của định lý Talet, ta có:

$\begin{array}{l}\frac{BD}{BA}=\frac{DE}{AC}\iff \frac{5}{7}=\frac{x}{10}\\ \iff 7x=50\\ \iff x=\frac{50}{7}\approx 7,14\end{array}$

Bài 9:

A. 6 cm

B. 5 cm

C. 4 cm

D. 7 cm

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Áp dụng định lý Ta-lét:

Bài 10:

A. DE//AC

B. AD//EC

C. DE//BC

D. BE//AC

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có :

$\frac{BD}{DA}=\frac{5}{2},\frac{BE}{EC}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}\Rightarrow \frac{BD}{DA}=\frac{BE}{EC}$

Theo định lý đảo của định lý Talet, ta suy ra DE//AC