Anonymous
0
0
Lý thuyết Chia đa thức một biến đã sắp xếp (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 8
- asked 4 months agoVotes
0Answers
0Views
Lý thuyết Toán 8 Bài 12: Chia đa thức một biến đã sắp xếp
Bài giảng Toán 8 Bài 12: Chia đa thức một biến đã sắp xếp
A. Lý thuyết
1. Phép chia hết
- Phép chia hết là phép chia có đa thức dư bằng 0.
Quy tắc chia:
+ Sắp xếp các đa thức theo thứ tự giảm dần của biến.
+ Lấy hạng tử cao nhất của đa thức bị chia chia cho hạng tử cao nhất của đa thức chia ta được thương 1.
+ Nhân thương 1 với đa thức chia và lấy đa thức bị chia trừ đi tích đó.
+ Lấy hạng tử cao nhất của đa thức vừa tìm được chia cho hạng tử cao nhất đa thức chia ta được thương 2.
+ Tiếp tục lặp lại các bước trên đến khi nhận được hiệu bằng 0.
Ví dụ 1: Làm tính chia: (x3 – x2 – 5x – 3) : (x – 3).
Lời giải:
Ta có:
Vậy (x3 – x2 – 5x – 3) : (x – 3) = x2 + 2x + 1.
2. Phép chia có dư
- Phép chia có dư là phép chia có đa thức dư khác 0.
Quy tắc chia: Làm tương tự phép chia hết đến khi thu được đa thức dư có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức chia.
Chú ý: Với hai đa thức tùy ý A và B của cùng một biến (B ≠ 0), tồn tại duy nhất một cặp đa thức Q và R sao cho A = B.Q + R, trong đó R = 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B (R được gọi là dư trong phép chia A cho B).
Khi R = 0 phép chia A cho B là phép chia hết.
Ví dụ 2: Làm tính chia: (3x3 + 2x2 + 5x – 3) : (x2 + 1).
Lời giải:
Ta có:
Vậy (3x3 + 2x2 + 5x – 3) : (x2 + 1) = 3x + 2 (dư 2x – 5)
Hay 3x3 + 2x2 + 5x – 3 = (x2 + 1).(3x + 2) + 2x – 5.
B. Bài tập tự luyện
Bài 1: Sắp xếp các đa thức theo thũy thừa giảm dần của biến rồi làm phép chia:
a) (5x2 + 15 – 3x3 – 9x) : (5 – 3x);
b) (x3 + 5x + x2 – 1) : (x – 1);
c) (12x – 3x2 + 2x3 – 13) : (x2 + 4).
Lời giải:
a) Sắp xếp đa thức bị chia và đa thức chia theo thứ tự giảm dần của biến ta được:
– 3x3 + 5x2 – 9x + 15 và – 3x + 5.
Thực hiện phép chia:
Vậy (5x2 + 15 – 3x3 – 9x) : (5 – 3x) = x2 + 3.
b) Sắp xếp đa thức ta được: x3 + x2 + 5x – 1.
Thực hiện phép:
Vậy x3 + 5x + x2 – 1 = (x – 1)(x2 + 2x + 7) + 6.
c) Sắp xếp đa thức ta được: 2x3 – 3x2 + 12x – 13.
Vậy 12x – 3x2 + 2x3 – 13 = (x2 + 4).(2x – 3) + 4x – 1.
Bài 2: Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện phép chia:
a) (8x3 + 27) : (2x + 3);
b) (a3 + 6a2 + 12a + 8) : (a + 2);
c) (m3 – 9 m2n + 27mn2 – 27n3) : (m – 3n)2.
Lời giải:
a) (8x3 + 27) : (2x + 3)
= (2x + 3)(4x2 – 6x + 9) : (2x + 3)
= 4x2 – 6x + 9.
b) (a3 + 6a2 + 12a + 8) : (a + 2)
= (a + 2)3 : (a + 2)
= (a + 2)2
c) (m3 – 9 m2n+ 27mn2 – 27n3) : (m – 3n)2
= (m – 3n)3 : (m – 3n)2
= m – 3n .
Bài 3: Tìm đa thức M biết:
2x6 – x4 – 2x2 + 1 = M. (2x2 – 1).
Lời giải:
a) Ta có: 2x6 – x4 – 2x2 + 1 = M. (2x2 – 1)
Suy ra M = (2x6 – x4 – 2x2 + 1) : (2x2 – 1)
Thực hiện phép chia:
Vậy M = x4 – 1.
Bài 4: Tìm a để đa thức A chia hết cho đa thức B với:
A = x3 – 6x2 + 11x + a và B = x2 – 2x + 3.
Lời giải:
Thực hiện phép chia A cho B ta được:
Để đa thức A chia hết cho đa thức B thì a + 12 = 0. Suy ra a = – 12.
Vậy a = – 12 thì đa thức A chia hết cho đa thức B.
Trắc nghiệm Toán 8 Bài 12: Chia đa thức cho một biến đã sắp xếp
Bài 1:
cho đa thức x2 – 1 được đa thức dư là
A. 0
B. 1
C. 2
D. 10
Đáp án: A
Giải thích:
Vậy đa thức dư là R = 0
Bài 2:
(I): Phép chia đa thức 3x3 – 2x2 + 5 cho đa thức 3x – 2 là phép chia hết
(II): Phép chia đa thức (2x3 + 5x2 – 2x + 3) cho đa thức (2x2 – x + 1) là phép chia hết
Chọn câu đúng
A. Cả (I) và (II) đều đúng
B. Cả (I) và (II) đều sai
C. (I) đúng, (II) sai
D. (I) sai, (II) đúng
Đáp án: D
Giải thích:
Vì phần dư R = 5 ≠ 0 nên phép chia đa thức 3x3 – 2x2 + 5 cho đa thức 3x – 2 là phép chia có dư.
Do đó (I) sai
Lại có
Nhận thấy phần dư R = 0 nên phép chia đa thức (2x3 + 5x2 – 2x + 3) cho đa thức (2x2 – x + 1) là phép chia hết.
Do đó (II) đúng
Bài 3:
A. 2x + 2
B. -2x + 2
C. -2x - 2
D. 3 - 2x
Đáp án: B
Giải thích:
Vậy đa thức dư là R = -2x + 2
Bài 4:
cho đa thức x2 + x + 1 được đa thức thương là:
A. 3x3 – 2x2 – 5x + 3
B. 3x3 + 2x2 – 5x + 3
C. 3x3 – 2x2 – x + 3
D. 2x – 4
Đáp án: B
Giải thích:
Đa thức thương là: 3x3 + 2x2 – 5x + 3
Bài 5:
(I): Phép chia đa thức (2x3 – 26x – 24) cho đa thức x2 + 4x + 3 là phép chia hết
(II): Phép chia đa thức (x3 – 7x + 6) cho đa thức x + 3 là phép chia hết
Chọn câu đúng
A. Cả (I) và (II) đều đúng
B. Cả (I) và (II) đều sai
C. (I) đúng, (II) sai
D. (I) sai, (II) đúng
Đáp án: A
Giải thích:
Vì phần dư R = 0 nên Phép chia đa thức(2x3 – 26x – 24) cho đa thức x2 + 4x + 3 là phép chia hết.
Do đó (I) đúng.
Lại có
Nhận thấy phần dư R = 0 nên phép chia đa thức (x3 – 7x + 6) cho đa thức x + 3 là phép chia hết.
Do đó (II) đúng
Bài 6:
A. x + 3
B. x – 3
C. x2 + 3x + 6
D. x2 – 3x + 6
Đáp án: C
Giải thích:
Vậy đa thức cần điền vào chỗ trống là x2 + 3x + 6
Bài 7:
(2a3 + 7ab2 – 7a2b – 2b3) : (2a – b) là
A. (a – b)(a – 2b)
B. (a + b)2
C. (a – b)(b – 2a)
D. a – b
Đáp án: A
Giải thích:
Ta có 2a3 + 7ab2 – 7a2b – 2b3
= 2(a3 – b3) – 7ab(a – b)
= 2(a – b)(a2 + ab + b2) – 7ab(a – b)
= (a – b)(2a2 – ab – 4ab + 2b2)
= (a – b)[a(2a – b) – 2b(2a – b)]
= (a – b)(2a – b)(a – 2b)
Nên (2a3 + 7ab2 – 7a2 – 2b3) : (2a – b)
= (a – b)(2a – b)(a – 2b) : (2a – b)
= (a – b)(a – 2b)
Bài 8:
x4 – 2x3 + x2 – 3x + 1 cho đa thức x2 + 1 có hệ số tự do là
A. 2
B. 3
C. 1
D. 4
Đáp án: C
Giải thích:
Đa thức dư là – x + 1 có hệ số tự do là 1.
Bài 9:
10x2 – 7x + a chia hết cho 2x – 3
A. a = 24
B. a = 12
C. a = -12
D. a = 9
Đáp án: C
Giải thích:
(10x2 – 7x + a) ⁝ (2x – 3)
Để 10x2 – 7x + a chia hết cho 2x – 3
thì a + 12 = 0 a = -12
Bài 10:
(3x4 – 2x3 + 4x – 2x2 – 8) cho đa thức (x2 – 2) có hệ số tự do là
A. 2
B. 3
C. 1
D. 4
Đáp án: D
Giải thích:
Ta có:
(3x4 – 2x3 + 4x – 2x2 – 8) : (x2 – 2)
= (3x4 – 2x3– 2x2 + 4x – 8) : (x2 – 2)
(3x4 – 2x3– 2x2 + 4x – 8) : (x2 – 2) = 3x2 – 2x + 4
Hệ số tự do của thương là 4