Lý thuyết Thể tích của hình hộp chữ nhật (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 8

Lý thuyết Toán 8 Bài 3: Thể tích của hình hộp chữ nhật

Bài giảng Toán 8 Bài 3: Thể tích của hình hộp chữ nhật

A. Lý thuyết

1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Hai mặt phẳng vuông góc

a) Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

- Đường thẳng d gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (P). Kí hiệu .

- Nhận xét: Nếu một đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) tại điểm A thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P) và đi qua điểm A.

- Ví dụ 1. Đường thẳng BC vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau CD và CP cùng nằm trong mp(DCPQ) nên $\mathrm{BC}\perp \mathrm{mp}\left(\mathrm{DCPQ}\right)$

b) Hai mặt phẳng vuông góc

- Mặt phẳng (P) gọi là vuông góc với mặt phẳng (Q) nếu mặt phẳng (P) chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (Q). Kí hiệu $\left(\mathrm{P}\right)\perp \left(\mathrm{Q}\right)$.

- Ví dụ 2.

Cho hình hộp chữ nhật ABCD. MNPQ. Chứng minh rằng $\mathrm{mp}\left(\mathrm{ABCD}\right)\perp \mathrm{mp}\left(\mathrm{ABNM}\right)$

Lời giải:

Ta có BN vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau AB và BC của mặt phẳng (ABCD) nên $\mathrm{BN}\perp \mathrm{mp}\left(\mathrm{ABCD}\right)$

Lại có: BN nằm trong mp(ABNM) nên $\mathrm{mp}\left(\mathrm{ABCD}\right)\perp \mathrm{mp}\left(\mathrm{ABNM}\right)$.

2. Thể tích hình hộp chữ nhật

- Cho hình hộp chữ nhật có kích thước các cạnh là a; b; c (cùng đơn vị độ dài) thì thể tích hình hộp chữ nhật là V = a.b.c.

- Thể tích hình lập phương cạnh a là V = a³.

Ví dụ 3. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 4cm; AD = 6cm; AA’ = 5cm. Thể tích hình hộp chữ nhật đã cho là

V = 4.6.5 = 120 cm³

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. MNPQ có AB = 6cm; BC = 8cm và thể tích của hình hộp là 480cm³. Tính BM?

Lời giải:

Thể tích của hình hộp chữ nhật là:

$\mathrm{V}=\mathrm{AB}.\mathrm{BC}.\mathrm{AM}\Rightarrow \mathrm{AM}=\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{AB}.\mathrm{BC}}=\frac{480}{6.8}=10\mathrm{cm}$

Áp dụng định lý pyta go vào tam giác vuông ABM có:

BM² = AM² + AB² = 10²  + 6² = 136 nên $\mathrm{BM}=\sqrt{136}$ cm

Bài 2. Cho hình lập phương có thể tích là: 64cm³. Tính diện tích toàn phần của hình lập phương?

Lời giải :

 Gọi a là độ dài cạnh của hình lập phương

Thể tích của hình lập phương là; 

V = a³ = 64 nên a = 4 cm

Suy ra, diện tích 1 mặt bên của hình lập phương là:

 S = a² = 16cm²

Diện tích toàn phần của hình lập phương là:

6.16 = 96cm²

Bài 3. Cho một hình hộp chữ nhật có các kích thước tỉ lệ với 3; 4; 5 và thể tích của hình hộp là 60cm³. Khi đó, kích thước lớn nhất của hình hộp là:

Lời giải:

Gọi kích thước của hình hộp chữ nhật đã cho là  a, b, c

Vì các kích thước tỉ lệ với 3; 4; 5 nên:

$\frac{\mathrm{a}}{3}=\frac{\mathrm{b}}{4}=\frac{\mathrm{c}}{5}=\mathrm{t}$

Thể tích của hình hộp là:

 V = abc nên: 3t. 4t. 5t= 480

Suy ra:  60t³ = 60 nên t = 1

Do đó, a = 3cm; b = 4cm; c = 5cm

Vậy cạnh lớn nhất của hình hộp là 5cm

Bài 4. Diện tích toàn phần của hình lập phương l50 cm². Tính thể tích của nó?

Lời giải:

 Hình lập phương có 6 mặt, diện tích mỗi mặt là;

150 : 6  = 25 cm²

Độ dài mỗi cạnh là: $\sqrt{25}=5$ cm

Thể tích của hình lập phương là  V = 5³ =  125 cm³.

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 3: Thể tích hình hộp chữ nhật

Bài 1:

A. a³ (cm³)

B. 2a³ (cm³)

C. 3a³ (cm³)

D. 6a (cm³)

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Thê tích của hình lập phương cạnh 5 cm là V = a³ (cm³)  

Bài 2:

A. 27 cm³

B. 27$\sqrt{3}$ cm³

C. 18$\sqrt{3}$ cm³

D. 18 cm³

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Gọi a là cạnh của hình lập phương. Theo định lý Pitago ta có:

AC^’2 = AC² + CC’²

= AB² + BC² + CC^’2

= a² + a² + a² = ($3\sqrt{3}$)² = 27

$\iff$ 3a² = 27 $\iff$ a² = 9

$\iff$ a = 3

Từ đó a = 3 (cm). Thể tích của hình lập phương bằng 2³ = 27 (cm³)

Bài 3:

A. 30 m³

B. 22, 5 m³

C. 7, 5 m³

D. 5, 7 m³

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Vì bể nước có dạng hình hộp chữ nhật nên ta tính được thể tích bể nước là:

 V = 4.3.2, 5 = 30 m³

Vì $\frac{3}{4}$ bể đang chứa nước nên thể tích phần bể chứa nước là:

V(chứa nước) = $\frac{3}{4}$V

= $\frac{3}{4}$30 = 22, 5 m³

Vậy thể tích phần bể không chức nước là:

V(không chứa nước) = V – V(chứa nước)

= 30 – 22, 5 = 7, 5 m³

Bài 4:

A.$\frac{1}{8}$

B.$\frac{7}{8}$

C. $\frac{1}{4}$

D.$\frac{1}{2}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Gọi chiều dài một cạnh của hình lập phương A là a.

Vì hình lập phương A có cạnh bằng $\frac{1}{2}$cạnh của hình lập phương B nên chiều dài 1 cạnh của hình lập phương B là 2a

Thể tích hình lập phương A là:

V_A = a³.

Thể tích hình lập phương B là:

V_B = (2a)³ = 8a³

=> V_B = 8V_A

=> V_A = $\frac{1}{8}$V_B

Vậy thể tích hình lập phương A bằng $\frac{1}{8}$ thể tích hình lập phương B

Bài 5:

A. a²

B. 4a²

C. 2a²

D. a³

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Thê tích của hình hộp chữ nhật là

V = a.2a. $\frac{a}{2}$= a³ (đvtt)

Bài 6:

A. 25 cm³

B. 50 cm³

C. 125 cm³

D. 625 cm³

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Thê tích của hình lập phương cạnh 5 cm là

V = 5³ = 125 cm³     

Bài 7:

A. 48000 đồng

B. 64000 đồng

C. 45000 đồng

D. 96000 đồng

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Thùng sắt (không nắp) có dạng hình lập phương

=> Thùng sắt có 5 mặt bằng nhau.

Diện tích một thùng sắt là:

S = 0, 8² = 0, 64 m²

Ta có diện tích mặt trong thùng sắt bằng diện tích mặt ngoài thùng sắt. Vậy diện tích mặt trong và mặt ngoài thùng sắt là:

S_mt = S_mn = 5S = 5. 0,64 = 3,2 m²

Số tiền người thuê sơn thùng sắt cần trả là:

3, 2 .15000 = 48000 đồng.

Bài 8:

A. a²

B. 2a³

C. 2a⁴

D. a³

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Thê tích của hình hộp chữ nhật là

V = a.a.2a = 2a³ (đvtt)

Bài 9:

A. 40 cm

B. 30 cm

C. 32 cm

D. 35 cm

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Đổi 1m = 100 cm

Thể tích phần bể chứa nước ban đầu là:

 V = 100.70.30 = 210000 cm³

Sau khi cho vào một hòn đá thể tích tăng 14000 cm³. Vậy thể tích phần bể chứa nước lúc sau là:

V₁ = V + 14000

= 210000 + 14000 = 224000 cm³

Vì chiều dài và chiều rộng bể nước không thay đổi nên sự thay đổi là do chiều cao mực nước thay đổi. Gọi chiều cao mực nước lúc sau là h cm. Ta có:

V = 100.70.h = 224000

=> h =  = 32 cm

Bài 10:

A. 86000 đồng

B. 69000 đồng

C. 96600 đồng

D. 96000 đồng

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Thùng sắt (không nắp) có dạng hình lập phương

=> Thùng sắt có 5 mặt bằng nhau.

Diện tích một thùng sắt là:

S = 0, 8² = 0, 64 m²

Ta có diện tích mặt trong thùng sắt bằng diện tích mặt ngoài thùng sắt. Vậy diện tích mặt trong và mặt ngoài thùng sắt là:

S_mt = S_mn = 5S = 5. 0,64 = 3,2 m²

Số tiền người thuê sơn thùng sắt cần trả là:

(S_mt + S_mn).15000 = (3, 2 + 3, 2).15000

= 6, 4. 15000 = 96000 đồng.