Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm các hạng tử (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 8

Lý thuyết Toán 8 Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm các hạng tử

Bài giảng Toán 8 Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm các hạng tử

A. Lý thuyết

Khái niệm: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử là cách nhóm các hạng tử phù hợp nhằm xuất hiện nhân tử chung hoặc sẻ dụng các hằng đẳng thức.

- Ta vận dụng phương pháp nhóm hạng tử khi không thể phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung hay bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.

Ví dụ: Phân tích đa thức x² – 4x + xy – 4y  thành nhân tử.

Lời giải:

x² – 4x + xy – 4y 

= (x² – 4x) + (xy – 4y) 

= x(x – 4) + y(x – 4)

= (x – 4)(x + y)

B. Bài tập tự luyện

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

a) a⁴ – 8a³ + a² – 8a;

b) x² – bx + ax – ab;

c) 2xy + 4z + 8y + xz.

Lời giải:

a) a⁴ – 8a³ + a² – 8a

 = a³(a – 8) + a(a – 8)

= (a³ + a)(a – 8)

= a(a² + 1)(a – 8)

b) x² – bx + ax – ab

= x(x – b) + a(x – b)

= (x – b)(x + a)

c) 2xy + 4z + 8y + xz

= (2xy + xz) + (4z + 8y)

= x(2y + z) + 4(z + 2y)

= (z + 2y)(x + 4).

Bài 2: Tìm x biết:

x(x + 2) + x² = – 2x.

Lời giải:

x(x + 2) + x² = – 2x

x(x + 2) + x² + 2x = 0

x(x + 2) + x(x + 2) = 0

2x(x + 2) = 0

$\Rightarrow \begin{array}{l}2x=0\\ x+2=0\end{array}$$\Rightarrow \begin{array}{l}x=0\\ x=-2\end{array}$

Vậy x = 0; x = – 2 .

Bài 3: Tính nhanh:

a) 15.55 + 37.122 + 15.45 – 37.22;

b) 25² + 35² – 90 + 70.25.

Lời giải:

a) 15.55 + 37.122 + 15.45 – 37.22

= (15.55 + 15.45) + (37.122 – 37.22)

= 15.(55 + 45) + 37. (122 – 22)

= 15.100 + 37. 100

= (15 + 37).100

= 52 . 100

= 5200

b) 25² + 35² – 90 + 70.25

= 25² + 70.25 + 35² – 90

= 25² + 2.25.35 + 35² – 90

= (25 + 35)² – 90

= 60² –  90

= 3600 – 90

= 3510.

Bài 4: Tính giá trị của biểu thức A = x² + y² – 9z² + 2xy khi x + y – 3z = 0.

Lời giải:

A = x² + y² – 9z² + 2xy

A = x² + 2xy + y² – 9z²

A = (x + y)² – (3z)²

A = (x + y – 3z)(x + y + 3z)

Thay x + y – 3z = 0 vào A, ta được: A = 0.(x + y + 3z) = 0.

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử

Bài 1:

x³ + 2x² – 9x – 18 = 0

A. 1                       

B. 2                       

C. 0                       

D. 3

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Bài 2:

x(x – 1)(x + 1) + x² – 1 = 0

A. 1                       

B. 2                       

C. 0                       

D. 3

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Bài 3:

a⁴ + a³ + a³b + a²b thành nhân tử ta được

A. a²(a + b)(a + 1)                                          

B. a(a + b)(a + 1)

C. (a² + ab)(a + 1)                                          

D. (a + b)(a + 1)

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có

a⁴ + a³ + a³b + a²b

= (a⁴ + a³) + (a³b + a²b)

= a³(a + 1) + a²b(a + 1)

= (a + 1)(a³ + a²b)

= a²(a + b)(a + 1)

Bài 4:

37.7 + 7.63 – 8.3 – 3.2

A. 700                   

B. 620                   

C. 640                   

D. 670

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

37.7 + 7.63 – 8.3 – 3.2

= (37.7 + 7.63) – (8.3 + 3.2)

= 7(37 + 63) – 3(8 + 2)

= 7.100 – 3.10

= 700 – 30 = 670

Bài 5:

A = x² – 5x + xy – 5y tại x = -5; y = -8

A. 130                   

B. 120                   

C. 140                   

D. 150

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

A = x² – 5x + xy – 5y

= (x² + xy) – (5x + 5y)

= x(x + y) – 5(x + y)

= (x – 5)(x + y)

Tại x = -5; y = -8 ta có

A = (-5 – 5)(-5 – 8)

= (-10)(-13) = 130

Bài 6:

5x² + 10xy – 4x – 8y

A. (5x – 2y)(x + 4y)                                       

B. (5x + 4)(x – 2y)    

C. (x + 2y)(5x – 4)                                         

D. (5x – 4)(x – 2y)

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

5x² + 10xy – 4x – 8y

= (5x² + 10xy) – (4x + 8y)

= 5x(x + 2y) – 4(x + 2y)

= (5x – 4)(x + 2y)

Bài 7:

A. A > 1                

B. A > 0                

C. A < 0                

D. A ≥ 1

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có

A = x⁴ + 2x³ – 8x – 16

= (x⁴ – 16) + (2x³ – 8x)

= (x² – 4)(x² + 4) + 2x(x² – 4)

= (x² – 4)(x² + 2x + 4)

Ta có x² + 2x + 4

= x² + 2x + 1 + 3

= (x + 1)² + 3 ≥ 3 > 0, Ɐx

Mà |x| < 2  x² < 4  x² – 4 < 0

Suy ra A = (x² – 4)(x² + 2x + 4) < 0 khi |x| < 2

Bài 8:

N = x³ + 3x²y + 3xy² + y³ + x² + 2xy + y²

A. N > 1200          

B. N < 1000          

C. N < 0                

D. N > 1000

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có

N = x³ + 3x²y + 3xy² + y³ + x² + 2xy + y²

= (x³ + 3x²y + 3xy² + y³) + (x² + 2xy + y²)

= (x + y)³ + (x + y)²

= (x + y)²(x + y + 1)

Từ đề bài x = 10 – y  x + y = 10.

Thay x + y = 10 vào

N = (x + y)²(x + y + 1) ta được

N = 10²(10 + 1) = 1100

Suy ra N > 1000 khi x = 10 – y

Bài 9:

A. (x + 2a)(x – 1)  

B. (x – 2a)(x + 1)  

C. (x + 2a)(x + 1)  

D. (x – 2a)(x – 1)

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có

x² + x – 2ax – 2a

= (x² + x) – (2ax + 2a)

= x(x + 1) – 2a(x + 1)

= (x – 2a)(x + 1)

Bài 10:

A. (a² + b)(5x – 2y)                                        

B. (a² – b)(2x – 5y)

C. (a² + b)(2x + 5y)                                        

D. (a² + b)(2x – 5y)

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có

2a²x – 5by – 5a²y + 2bx

= (2a²x – 5a²y) + (2bx – 5by)

= a²(2x – 5y) + b(2x – 5y)

= (a² + b)(2x – 5y)