Lý thuyết Tính chất đường phân giác của tam giác (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 8

Lý thuyết Toán 8 Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác

Bài giảng Toán 8 Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác

A. Lý thuyết

1. Định lý

Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn ấy.

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có AD là đường phân giác của góc $\widehat{\mathrm{BAC}}$ sao cho DB = 4cm, AB = 6cm; AC = 8cm. Tính độ dài cạnh DC.

Lời giải:

Áp dụng định lí trên ta có:

$\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$

Hay $\frac{4}{\mathrm{DC}}=\frac{6}{8}\Rightarrow \mathrm{DC}=\frac{4.8}{6}=\frac{16}{3}\mathrm{cm}$

2. Chú ý

Định lí vẫn đúng với đường phân giác của góc ngoài của tam giác

Nếu AE’ là phân giác của góc $\widehat{\mathrm{BAx}}$

Ta có: $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{DB}\text{'}}{\mathrm{D}\text{'}\mathrm{C}}$.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6cm; BC = 10cm, AD là đường phân giác của tam giác. Tính BD; CD

Lời giải:

Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác vuông ABC ta có:

AC² = BC² – AB²

nên $\mathrm{AC}=\sqrt{{\mathrm{BC}}^2-{\mathrm{AB}}^2}=\sqrt{{10}^2-6^2}=8\left(\mathrm{cm}\right)$

Tam giác ABC có AD là đường phân giác của góc $\widehat{\mathrm{BAC}}$

Ta có: $\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$.

Khi đó ta có: $\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\Rightarrow \frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{DB}+\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AB}+\mathrm{AC}}$ (tính chất tỉ lệ thức)

Hay

$\frac{\mathrm{DB}}{10}=\frac{6}{6+8}\Rightarrow \mathrm{DB}=\frac{30}{7}\mathrm{cm};\mathrm{DC}=\mathrm{BC}-\mathrm{DB}=\frac{40}{7}\mathrm{cm}$

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD. Tính AB, BC biết AD = 4 cm và DC = 5cm.

Lời giải:

Áp dụng tính chất đường phân giác BD của tam giác ABC, ta có:

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{DA}}{\mathrm{DC}}=\frac{4}{5}\Rightarrow \frac{\mathrm{AB}}{4}=\frac{\mathrm{BC}}{5}$

Đặt $\frac{\mathrm{AB}}{4}=\frac{\mathrm{BC}}{5}$= t ( t > 0)

$\Rightarrow \begin{array}{l}\mathrm{AB}=4\mathrm{t}\\ \mathrm{BC}=5\mathrm{t}\end{array}$

Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác ABC ta có:

BC² = AC² + AB² hay (5t)²  = 9²  + (4t)²

$\iff$9t² = 81.t² = 9 nên t = 3 ( vì t > 0)

Khi đó: AB = 4.3 = 12 cm; BC = 5.3 = 15 cm

Bài 3. Cho tam giác ABC, các đường phân giác BD và CE. Biết $\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DC}}=\frac{2}{3}$, $\frac{\mathrm{EA}}{\mathrm{EB}}=\frac{5}{6}$. Tính các cạnh của tam giác ABC, biết chu vi của tam giác là 45cm.

Lời giải:

Áp dụng tính chất của các đường phân giác BD và CE của tam giác ABC ta được:

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DC}}=\frac{2}{3}=\frac{4}{6}\Rightarrow \frac{\mathrm{AB}}{4}=\frac{\mathrm{BC}}{6}=\mathrm{t}\Rightarrow \begin{array}{l}\mathrm{AB}=4\mathrm{t}\\ \mathrm{BC}=6\mathrm{t}\end{array}\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EB}}=\frac{5}{6}\Rightarrow \frac{\mathrm{AC}}{5}=\frac{\mathrm{BC}}{6}=\mathrm{t}\Rightarrow \begin{array}{l}\mathrm{AC}=5\mathrm{t}\\ \mathrm{BC}=6\mathrm{t}\end{array}$

Theo giả thiết ta có, chu vi tam giác ABC là 45 nên:

AB + BC + AC = 15t = 45 nên t = 3.

Vậy AB = 12 cm; BC = 18cm; AC = 15cm.

Bài 4. Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM và đường phân giác AD của góc $\widehat{\mathrm{BAC}}$. Biết AB = 12 cm; AC = 8cm  và BC = 15cm. Tính tỉ số $\frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{BD}}$.

Lời giải:

Do M là trung điểm của BC nên: 

$\mathrm{BM}=\mathrm{MC}=\frac{1}{2}\mathrm{BC}=\frac{1}{2}.15=7,5\mathrm{cm}$

Theo tính chất tia phân giác của góc ta có: $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{DC}}$

Suy ra: $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DC}}$

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{AB}+\mathrm{AC}}{\mathrm{DB}+\mathrm{DC}}=\frac{12+8}{15}=\frac{4}{3}$

Suy ra: 

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BD}}=\frac{4}{3}\Rightarrow \mathrm{BD}=\frac{3.\mathrm{AB}}{4}=\frac{3.12}{4}=9\mathrm{cm}$

Do đó: $\frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{BD}}=\frac{7,5}{9}=\frac{5}{6}$

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác

Bài 1:

A. $\frac{7}{15}$

B. $\frac{1}{7}$

C. $\frac{15}{7}$

D. $\frac{1}{15}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Xét tam giác ABC, vì AD là phân giác

Bài 2:

1. Chọn khẳng định đúng.

A. DE // BC

B. DI = IE

C. DI > IE

D. Cả A, B đều đúng

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Vì MD và ME lần lượt là phân giác 

(hệ quả định lí Talet) mà BM = MC nên DI = IE.

Nên cả A, B đều đúng.

2. Tính độ dài DE, biết BC = 30cm, AM = 10cm.

A. 9cm

B. 6cm

C. 15cm

D. 12cm

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Vì DI = IE (cmt) nên MI là đường trung tuyến của tam giác MDE.

ΔMDE vuông (vì MD, ME là tia phân giác của góc kề bù)

nên MI = DI = IE

Đặt DI = MI = x, ta có $\frac{DI}{BM}=\frac{AI}{AM}$ (cmt)

nên $\frac{x}{15}=\frac{10-x}{10}$ 

Từ đó x = 6 suy ra DE = 12cm

Bài 3:

A. 3400

B. 4900

C. 4100

D. 3600

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Bài 4:

A. 9cm

B. 6cm

C. 45cm

D. 3$\sqrt{5}$cm

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: AB = AC = 10cm

Suy ra ΔABC cân tại A

Có I là giao các đường phân giác của ΔABC

Suy ra AI, BI là đường phân giác của ΔABC

Gọi H là giao của AI và BC

Khi đó ta có AH vừa là đường phân giác, vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy của tam giác cân ABC (tính chất tam giác cân).

=> H là trung điểm của cạnh BC

=> BH = HC =  $\frac{BC}{2}=\frac{12}{2}$= 6cm

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác ABH vuông tại H, ta có:

Bài 5:

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Vì trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thanh hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy nên $\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CE}$

Bài 6:

A. 9cm

B. 6cm

C. 45cm

D. 3 cm

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có: AB = AC = 10cm

Suy ra ΔABC cân tại A

Có I là giao các đường phân giác của ΔABC

Suy ra AI, BI là đường phân giác của ΔABC

Gọi H là giao của AI và BC

Khi đó ta có AH vừa là đường phân giác, vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy của tam giác cân ABC (tính chất tam giác cân).

=> H là trung điểm của cạnh BC

=> BH = HC = $\frac{BC}{2}=\frac{12}{2}$ = 6cm

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác ABH vuông tại H, ta có:

AH² + BH² = AB²

Bài 7: Cho ΔABC, AE là phân giác ngoài của góc A. Hãy chọn câu sai:

 

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Vì trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thanh hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy

Chỉ có B sai.

Bài 8:

A. 3cm

B. 6cm

C. 9cm

D. 12cm

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Vì BD là đường phân giác của  

Bài 9:

A. 1,5

B. 3

C. 4,5

D. 4

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lý Pytago có: BC² = AB² + AC²

BD là tia phân giác góc B  

Bài 10:

A. 4cm

B. 6cm

C. 9cm

D. 12cm

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

AB² + AC² = BC²