Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 8

Lý thuyết Toán 8 Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

Bài giảng Toán 8 Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

A. Lý thuyết

Khái niệm: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

 Khi áp dụng phương pháp dùng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử, ta cần lưu ý:

- Trước tiên nhận xét xem các hạng tử của đa thức có chứa nhân tử chung không, nếu có thì áp dụng phương pháp đặt thành nhân tử chung.

- Nếu không thì ta có thể sử dụng các hằng đẳng thức sau đây để phân tích đa thức thành nhân tử:

1) (A + B)² = A² + 2AB + B²

2) (A – B)² = A² – 2AB + B²

3) A² –  B² = (A – B)(A + B)

4) (A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³

5) (A – B)³ = A³ – 3A²B + 3AB² – B³

6) A³ + B³ = (A + B)(A² – AB + B²)

7) A³ – B³ = (A – B)(A² + AB + B²)

Ví dụ: Phân tích đa thức x³ + 3x² + 3x – 7 thành nhân tử.

Lời giải:

x³ + 3x² + 3x – 7

= x³ + 3x² + 3x + 1  – 8

= (x + 1)³ – 2³

= (x + 1 – 2)[(x + 1)² + 2.(x + 1) + 2²]

= (x – 1)(x² + 2x + 1 + 2x + 2 + 4)

= (x – 1)(x² + 4x + 7).

B. Bài tập tự luyện

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

a) 4(x + 1)² – (2x + 3)²;

b) $x^2+5x+\frac{25}{4}$;

c) x² + 4x – 5;

d) x² + 4xy + 3y².

Lời giải:

a) 4(x + 1)² – (2x + 3)²

= [2(x + 1) – (2x + 3)][2(x + 1) + (2x + 3)]

= (2x + 2 – 2x – 3)(2x + 2 + 2x + 3)

= – (4x + 5)

c) x² + 4x – 5

=  x² + 4x + 4 – 9

= (x + 2)² – 3²

= (x + 2 – 3 )(x + 2 + 3)

= (x – 1)(x + 5)

d) x² + 4xy + 3y²

= x² + 4xy + 4y² – y²

= (x + 2y)² – y²

= (x + 2y – y )(x + 2y + y)

= (x + y) (x + 3y)

Bài 2: Tìm x biết:

1 – 4x²  = (2x + 1)²

Lời giải:

1 – 4x²  = (2x + 1)²

(1 – 2x)(1 + 2x) = (2x + 1)²

(1 – 2x)(1 + 2x) – (2x + 1)² = 0

(2x + 1)[1 – 2x – (2x + 1)] = 0

(2x + 1)(– 4x) = 0

Bài 3: Chứng minh (9n – 1)² – 4 chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n.

Lời giải:

(9n – 1)² – 4

= (9n – 1)² – 2²

= (9n – 1 – 2 )(9n – 1 + 2)

= (9n – 3)(9n + 1)

= 3(3n – 1)(9n + 1)

Vì 3 ⁝ 3 nên 3(3n – 1)(9n + 1) ⁝ 3 với mọi số tự nhiên n (tính chất chia hết của một tích).

Vậy (9n – 1)² – 4 chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n.

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hằng đẳng thức

Bài 1:

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Bài 2:

x³y³ + 6x²y² + 12xy + 8 thành nhân tử ta được

A. (xy + 2)³           

B. (xy + 8)³                     

C. x³y³ + 8            

D. (x³y³ + 2)³

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có

x³y³ + 6x²y² + 12xy + 8

= (xy)³ + 3(xy)².2 + 3xy.2² + 2³

= (xy + 2)³

Bài 3:

Khi đó, giá trị của m và n là

A. m = -2; n = -3   

B. m = 3; n = 2     

C. m = 3; n = -4    

D. m = 2; n = 3

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có 9a² – (a – 3b)²

= (3a)² – (a – 3b)²

= (3a + a – 3b)(3a – a + 3b)

= (4a – 3b)(2a + 3b)

Suy ra m = 2; n = 3

Bài 4:

khi đó giá trị của biểu thức A = x² – 4xy + 4y² – 4m² – 4mn – n² bằng

A. A = 1                

B. A = 0                

C. A = 2                

D. Chưa đủ dữ kiện để tính

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có

A = x² – 4xy + 4y² – 4m² – 4mn – n²

= x² – 2x.2y + (2y)² – (4m² + 4mn + n²)

= (x – 2y)² – (2m + n)²

= (x – 2y + 2m + n)(x – 2y – 2m – n)

Ta có

x + n = 2(y – m)

$\iff$ x + n = 2y – 2m

$\iff$ x – 2y + n + 2m = 0

Thay x – 2y + n + 2m = 0 vào A ta được

A = 0.(x – 2y – 2m – n) = 0

Vậy A = 0

Bài 5:

8x³ + 12x²y + 6xy² + y³ thành nhân tử ta được

A. (x + 2y)³           

B. (2x + y)³                     

C. (2x – y)³           

D. (8x + y)³

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có

8x³ + 12x²y + 6xy² + y³

= (2x)³ + 3.(2x)²y + 3.2x.y² + y³

= (2x + y)³

Bài 6:

A. (5x – 4)² – 49x² = -8(3x + 1)(x + 2)          

B. (5x – 4)² – 49x² = (3x – 1)(x + 2)

C. (5x – 4)² – 49x² = -8(3x - 1)(x - 2)            

D. (5x – 4)² – 49x² = -8(3x - 1)(x + 2)

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có

(5x – 4)² – 49x²

= (5x – 4)² – (7x)²

= (5x – 4 + 7x)(5x – 4 – 7x)

= (12x – 4)(-2x – 4)

= 4.(3x – 1).(-2)(x + 2)

= -8(3x – 1)(x + 2)

Bài 7:

P = x³ – 3x² + 3x với x = 101

A. 100³ + 1            

B. 100³ – 1            

C. 100³                  

D. 101³

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có

P = x³ – 3x² + 3x – 1 + 1

= (x – 1)³ + 1

Thay x = 101 vào P ta được

P = (101 – 1)³ + 1

= 100³ + 1

Bài 8:

Chọn câu đúng về giá trị của m.

A. m > 47              

B. m < 0                

C. m ⁝ 9                 

D. m là số nguyên tố

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có

(4x² + 4x – 3)² – (4x² + 4x + 3)²

= (4x² + 4x – 3 + 4x² + 4x + 3)(4x² + 4x – 3 – 4x² – 4x – 3)

= (8x² + 8x).(-6)

= 8.x(x + 1).(-6)

= -48x(x + 1) nên m = -48 < 0

Bài 9: Đa thức 4b²c² – (c² + b² – a²)² được phân tích thành

A. (b + c + a)(b + c – a)(a + b – c)(a – b + c)

B. (b + c + a)(b – c – a)(a + b – c)(a – b + c)

C. (b + c + a)(b + c – a)(a + b – c)²

D. (b + c + a)(b + c – a)(a + b – c)(a – b – c)

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có

4b²c² – (c² + b² – a²)²

= (2bc)² – (c² + b² – a²)²

= (2bc + c² + b² – a²)(2bc – c² – b² + a²)

= [(b + c)² – a²][a² – (b² – 2bc + c²)]

= [(b + c)² – a²][a² – (b – c)²]

= (b + c + a)(b + c – a)(a + b – c)(a – b + c)

Bài 10:

A. (x + y)²(x² – xy + y²)(x² + xy + y²) 

B. (x + y)(x² – 2xy + y²)(x – y)(x² + 2xy + y²)

C. (x + y)(x² – xy + y²)(x – y)(x² + xy + y²)

D. (x + y)(x² + 2xy + y²)(y – x)(x² + xy + y²)

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có

x⁶ – y⁶

= (x³)² – (y³)²

= (x³ + y³)(x³ – y³)

= (x + y)(x² – xy + y²)(x – y)(x² + xy + y²)