Lý thuyết Diện tích xung quanh của hình chóp đều (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 8

Lý thuyết Toán 8 Bài 8: Diện tích xung quanh của hình chóp đều

Bài giảng Toán 8 Bài 8: Diện tích xung quanh của hình chóp đều

A. Lý thuyết.

1. Công thức tính diện tích xung quanh của hình chóp đều

- Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn:

S_xq = p.d (trong đó p: nửa chu vi đáy, d: trung đoạn)

- Diện tích toàn phần của hình chóp

Diện tích toàn phần của hình chóp bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích đáy:

S_tp = S_xq + S (trong đó S: diện tích đáy)

- Ví dụ 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh đáy là 3cm, chiều cao 5cm.

a) Tính diện tích xung quanh của hình chóp.

b) Tính diện tích toàn phần của hình chóp.

Lời giải:

a) Ta có ABCD là hình vuông, khi đó nửa chu vi bằng: .

$\mathrm{p}=\frac{\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CD}+\mathrm{DA}}{2}=\frac{3+3+3+3}{2}=6\left(\mathrm{cm}\right)$

Kẻ SM vuông góc với CD.

Do tam giác SCD cân tại S nên SM cũng là đường trung tuyến

Suy ra M là trung điểm của CD.

Xét tam giác ACD, có:

O là trung điểm của AC

M là trung điểm của CD

Suy ra OM là đường trung bình của tam giác ACD

$\Rightarrow \mathrm{OM}=\frac{1}{2}\mathrm{AD}=\frac{1}{2}.3=\frac{3}{2}$

Xét tam giác SOM vuông tại O, có:

${\mathrm{SM}}^2={\mathrm{SO}}^2+{\mathrm{OM}}^2=5^2+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{109}{4}\Rightarrow \mathrm{SM}=\frac{\sqrt{109}}{2}\mathrm{cm}$

Diện tích xung quanh của hình chóp đều là:

${\mathrm{S}}_{\mathrm{xq}}=\mathrm{p}.\mathrm{d}=\mathrm{p}.\mathrm{SM}=6.\frac{\sqrt{109}}{2}=3\sqrt{109}\left({\mathrm{cm}}^2\right)$

b) Diện tích đáy là: S = 3² = 9 cm²

+ Diện tích toàn phần của hình chóp đều là

${\mathrm{S}}_{\mathrm{tp}}={\mathrm{S}}_{\mathrm{xq}}+{\mathrm{S}}_{\mathrm{ABCD}}=3\sqrt{109}+9\left({\mathrm{cm}}^2\right)$

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình chóp tứ giác đều có các mặt bên là tam giác đều cạnh 6cm. Tính diện tích toàn phần của hình chóp?

Lời giải:

Do mặt bên của hình chóp là tam giác đều cạnh 6cm nên đáy là hình vuông cạnh 6cm.

Nửa chu vi đáy là $\mathrm{p}=\frac{6+6+6+6}{2}=12\mathrm{cm}$

Các mặt bên là tam giác đều cạnh 6cm nên độ dài trung đoạn là

$\mathrm{d}=\mathrm{SH}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\mathrm{cm}$

Diện tích xung quanh là ${\mathrm{S}}_{\mathrm{xq}}=\mathrm{p}.\mathrm{d}=12.3\sqrt{3}=36\sqrt{3}{\mathrm{cm}}^2$

Diện tích đáy là: 6² = 36cm²

Diện tích toàn phần là: ${\mathrm{S}}_{\mathrm{tp}}=36\sqrt{3}+36{\mathrm{cm}}^2$

Bài 2. Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh bên là 5cm và đáy là hình vuông cạnh 8cm.Tính diện tích xung quanh của hình chóp?

Lời giải:

Nửa chu vi đáy là: $\mathrm{p}=\frac{8+8+8+8}{2}=16\mathrm{cm}$

Gọi H là trung điểm của CD, suy ra: CH = DH = 4cm

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông SHC có:

SH² = SC² – CH² = 5² – 4² = 9 nên SH = 3cm

Diện tích xung quanh của hình chóp là;

 S_xq= p. SH = 16. 3 = 48 cm²

Bài 3. Một hình chóp đều có độ dài cạnh bên là 13cm, đáy là tam giác đều ABC. Biết độ dài trung đoạn bằng 12 cm. Tính diện tích xung quanh của hình chóp.

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của BC.

Theo giả thiết ta có: SM = 12 cm; SC = 13cm

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông SMC có:

MC² = SC² – SM² = 13² – 12² = 25

Suy ra: MC = 5cm.

Vì M là trung điểm BC nên BC = 2MC = 10cm.

Vì đáy là tam giác đều nên AB = BC= CA = 10cm

Nửa chu vi đáy là $\mathrm{p}=\frac{\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}}{2}=15\mathrm{cm}$

Diện tích xung quanh là: S_xq = p.d = 15. 12 = 180cm².

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 8: Diện tích xung quanh hình chóp đều

Bài 1:

A. 300cm²

B. 1200cm²

C. 150cm²

D. 600cm²

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Mặt bên hình chóp cụt tứ giác đều là hình thang cân nên diện tích một mặt bên

bằng $\frac{(10+15).12}{2}$ = 150 (cm²)

Hình chóp cụt tứ giác đều có 4 mặt bên bằng nhau nên diện tích xung quanh bằng

150.4 = 600 (cm²)

Bài 2:

A. Tích nửa diện tích đáy và chiều cao

B. Tích nửa chu vi đáy và trung đoạn

C. Tích chu vi đáy và chiều cao

D. Tổng chu vi đáy và trung đoạn

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Diện tích xung quanh hình chóp đều bằng tích của nửa chu vi đáy và trung đoạn.

Bài 3:

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Diện tích đáy là diện tích hình vuông nên ta có:

Diện tích xung quanh là:

$4.\frac{1}{2}\mathrm{.4.7}=56c{m}^2$

Diện tích toàn phần là:

$56+16=72c{m}^2$

Bài 4:

A. 120cm²

B. 70cm²

C. 150cm²

D. 140cm²

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Mặt bên hình chóp cụt tứ giác đều là hình thang cân nên diện tích một mặt bên bằng

$\frac{(6+8).5}{2}$ = 35(cm²)

Hình chóp cụt tứ giác đều có 4 mặt bên bằng nhau nên diện tích xung quanh bằng

35.4 = 140 (cm²)

Bài 5:

A. Tích nửa chu vi đáy và đường cao của hình chóp

B. Tích nửa chu vi đáy và trung đoạn

C. Tích chu vi đáy và trung đoạn

D. Tổng chu vi đáy và trung đoạn

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng tích của nửa chu vi đáy và trung đoạn.

Bài 6:

A. 60 (cm²)

B. 20 (cm²)

C. 30(cm²)

D. 40 (cm²)

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Do SABC là hình chóp tam giác đều nên hình chóp có tất cả các mặt bằng nhau nên diện tích bằng nhau cùng bằng 

Diện tích xung quanh là:

Bài 7:

A. 8m

B. 16m

C. 32m

D. 48m

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Gọi độ dài cạnh đáy là x

Do tất cả các mặt bên là tam giác đều nên cạnh của các mặt bên cũng bằng x

Diện tích một mặt bên là:

$\frac{1}{2}.x.20=10x\left(m^2\right)$

Khi đó diện tích xung quanh là:

$4.10x=40x\left(m^2\right)$

Theo đầu bài ta có:

$40x=320\iff x=8m$

Bài 8:

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Gọi M là giao điểm của CH và AB ta có CM  AB và AM = BM. Vì H là trọng tâm ΔABC

nên CM =$\frac{3}{2}$ CH

= $\frac{3}{2}.2\sqrt{3}=3\sqrt{3}$ (cm)

Đặt AB = BC = x,

ta có BC² - MB² = CM² (định lý Pytago cho ΔMBC)

nên $x^2-{\left(\frac{x}{2}\right)}^2={\left(3\sqrt{3}\right)}^2$ hay $\frac{3x^2}{4}=27$

Suy ra x = 6. Vậy BA = 6cm.

Bài 9:

1. Độ dài cạnh hình chóp là:

A. 9cm

B. 3cm

C. 6cm

D. 12cm

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Gọi M là giao điểm của CH và AB ta có CM  AB và AM = BM. Vì H là trọng tâm ΔABC

Vậy các cạnh của hình chóp có độ dài là 9cm.

2. Tính diện tích xung quanh hình chóp (làm tròn đến một chữ số thập phân)

A. 105(cm²)

B. 105,2(cm²)

C. 210,4(cm²)

D. 108(cm²)

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Xét tam giác SAB và CAB là hai tam giác đều  có cạnh bằng nhau nên SM = CM

=> SM = CM = $\frac{9\sqrt{3}}{2}$ cm

S_xq == pd = $\frac{9.3}{2}.\frac{9\sqrt{3}}{2}\approx \mathrm{105,2}$(cm²)

Bài 10:

A. 24,64cm³

B. 25,46cm³

C. 26,46cm³

D. 26,64cm³

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Chóp tam giác đều S.ABC có SH  (ABC) nên H là trọng tâm tam giác ABC và D là trung điểm BC.

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác ABD vuông tại D ta có