Lý thuyết Khái niệm tam giác đồng dạng (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 8

Lý thuyết Toán 8 Bài 4: Khái niệm tam giác đồng dạng

Bài giảng Toán 8 Bài 4: Khái niệm tam giác đồng dạng

A. Lý thuyết

1.Tam giác đồng dạng

a) Định nghĩa

Tam giác A’B’C’ gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu:

$\hat{\mathrm{A}}=\widehat{\mathrm{A}\text{'}};\hat{\mathrm{B}}=\widehat{\mathrm{B}\text{'}};\hat{\mathrm{C}}=\widehat{\mathrm{C}\text{'}}$ và $\frac{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}{\mathrm{BC}}$

Tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC được kí hiệu là ∆A’B’C’$\infty$∆ ABC.

Tỉ số các cạnh tương ứng $\frac{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}{\mathrm{BC}}=\mathrm{k}$ được gọi là tỉ số đồng dạng

b) Tính chất

Các tính chất của hai tam giác đồng dạng:

Tính chất 1. Mỗi tam giác đồng dạng với chính nó.

Tính chất 2. Nếu ∆ABC$\infty$∆ A’B’C’ thì ∆A’B’C’$\infty$∆ ABC.

Tính chất 3. Nếu ∆A’B’C’$\infty$∆ A”B”C” và ∆A”B”C”$\infty$∆ ABC thì ∆A’B’C’$\infty$∆ ABC.

Ví dụ 1. Cho ∆A’B’C’$\infty$∆ ABC như hình vẽ. Tính tỉ số đồng dạng ?

Lời giải:

Ta có ∆A’B’C’$\infty$∆ ABC. Khi đó tỉ số đồng dạng là

$\frac{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}{\mathrm{BC}}=\frac{2}{4}=\frac{2,5}{5}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

2. Định lý

Một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại tạo thành một tam giác đồng dạng với tam giác đã cho.

- Chú ý: Định lí cũng đúng cho trường hợp đường thẳng d cắt phần kéo dài của hai tam giác song song với cạnh còn lại.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho ∆A’B’C’$\infty$∆ ABC có $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}}=\frac{3}{7}$. Biết hiệu số chu vi của ∆A’B’C’ và ∆ABC là 40cm. Tính chu vi của hai tam giác ABC và A’B’C’

Lời giải:

Ta có: ∆A’B’C’$\infty$∆ ABC nên:

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}=\frac{3}{7}$

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}=\frac{3}{7}=\frac{\mathrm{AB}+\mathrm{AC}+\mathrm{BC}}{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}+\mathrm{A}\text{'}\mathrm{C}\text{'}+\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}$

Khi đó $\frac{{\mathrm{P}}_{\mathrm{ABC}}}{{\mathrm{P}}_{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}}=\frac{3}{7}\Rightarrow {\mathrm{P}}_{\mathrm{ABC}}=\frac{3}{7}{\mathrm{P}}_{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}}$

Mà P_A’B’C’ – P_ABC = 40cm

Nên: ${\mathrm{P}}_{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}-\frac{3}{7}{\mathrm{P}}_{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}=40\iff \frac{4}{7}{\mathrm{P}}_{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}=40$

Nên P_A’B’C’ = 70cm và P_ABC = 30 cm.

Vậy chu vi của ∆ ABCD là 30cm, chu vi của ∆A’B’C’ là 70cm.

Bài 2. Cho ∆ MNP có MN = 4cm; NP = 6cm; PQ = 8cm. Tam giác M’N’P’ đồng dạng với tam giác MNP có độ dài cạnh lớn nhất là 16 cm. Tính độ dài các cạnh còn lại của ∆M’N’P’?

Lời giải:

Tam giác MNP có cạnh PQ dài nhất.

Mà ∆M’N’P’$\infty$∆ MNP nên cạnh P’Q’ là cạnh dài nhất trong tam giác M’N’P’

Ta có: ∆M’N’P’$\infty$∆ MNP

$\Rightarrow \frac{\mathrm{M}\text{'}\mathrm{N}\text{'}}{\mathrm{MN}}=\frac{\mathrm{N}\text{'}\mathrm{P}\text{'}}{\mathrm{NP}}=\frac{\mathrm{M}\text{'}\mathrm{P}\text{'}}{\mathrm{MP}}\Rightarrow \frac{\mathrm{M}\text{'}\mathrm{N}\text{'}}{4}=\frac{\mathrm{N}\text{'}\mathrm{P}\text{'}}{6}=\frac{16}{8}=2$

Suy ra: M’N’ = 2.4 = 8 cm

N’P’ = 6.2 = 12 cm.

Vậy độ dài các cạnh còn lại M’N’ = 8cm và N’P’ = 12 cm.

Bài 3. Cho ∆ ABC ∆ MNP có tỉ số đồng dạng là $\mathrm{k}=\frac{2}{7}$, chu vi của ∆ABC bằng 12cm. Chu vi của ∆MNP là?

Lời giải:Ta có: ∆ ABC$\infty$∆ MNP nên:

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{MN}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{NP}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{MP}}=\frac{2}{7}$

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{MN}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{NP}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{MP}}=\frac{\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{AC}}{\mathrm{MN}+\mathrm{NP}+\mathrm{MP}}=\frac{{\mathrm{P}}_{\mathrm{ABC}}}{{\mathrm{P}}_{\mathrm{MNP}}}=\frac{2}{7}$

Mà P_ABC = 12cm nên P_MNP = 42 cm.

Vậy chu vi tam giác MNP là 42 cm.

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 4: Khái niệm về hai tam giác đồng dạng

Bài 1:

A. 10cm; 15cm

B. 12cm; 16cm

C. 20cm; 10cm

D. 10cm; 20cm

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Chu vi ΔEMC bằng 30.$\frac{2}{3}$ = 20 cm

Vậy chu vi ΔDBM và chu vi ΔEMC lần lượt là 10cm; 20cm

Bài 2:

A.$\frac{1}{k^2}$

B.$\frac{1}{k}$

C. k²

D. k

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Vì ΔABC ⁓ ΔMNP theo tỉ số k   

Bài 3:

A. 60 cm

B. 20 cm

C. 30 cm

D. 45 cm

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Bài 4: Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo AC lấy điểm E sao cho AC = 3AE. Qua E vẽ đường thẳng song song với CD, cắt AD và BC theo thứ tự ở M và N. Cho các khẳng định sau

(I) ΔAME ~ ΔADC, tỉ số đồng dạng k₁ =$\frac{1}{3}$

(II) ΔCBA ~ ΔADC, tỉ số đồng dạng bằng k₂ = 1

(III) ΔCNE ~ ΔADC, tỉ số đồng dạng k₃ =$\frac{2}{3}$

Chọn câu đúng.

A. (I) đúng, (II) và (III) sai

B. (I) và (II) đúng, (III) sai

B. Cả (I), (II), (III) đều đúng

D. Cả (I), (II), (III) đều sai.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Vì ABCD là hình bình hành nên ME // DE và EN // AB.

+ ME // DC nên ΔAME ~ ΔADC,

tỉ số đồng dạng$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$

+ Vì ABCD là hình bình hành

nên góc B = D; AD = BC; AB = DC

=> ΔCBA ~ ΔADC

ΔCBA ~ ΔADC, tỉ số đồng dạng bằng 1

+ EN // AB nên ΔCNE ~ ΔADC, do đó ΔCNE ~ ΔADC,

tỉ số đồng dạng $\frac{CE}{AC}=\frac{2}{3}$

Vậy cả (I), (II), (III) đều đúng.

Bài 5:

A. Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng

B. Hai tam giác đều luôn đồng dạng với nhau

C. Hai tam giác đồng dạng là hai tam giác có tất cả các cặp góc tương ứng bằng nhau và các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ

D. Hai tam giác vuông luôn đồng dạng với nhau

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

+ Hai tam giác bằng nhau có các cặp góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng bằng nhau nên chúng đồng dạng theo tỉ số 1.

+ Hai tam giác đều có các góc đều bằng 60⁰ và các cạnh tương ứng tỉ lệ nên chúng đồng dạng.

+ Hai tam giác vuông chưa chắc đồng dạng nên D sai.

Bài 6:

A. 1

B. $\frac{1}{k}$

C. k

D. k²

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Vì tam giác ABC đồng dạng với tam giác A’B’C’ theo tỉ số k nên  

Vậy tỉ số chu vi của tam giác A’B’C’ và ABC là $\frac{1}{k}$ .

Bài 7:

(I) ΔAME ~ ΔADC, tỉ số đồng dạng k₁ =$\frac{1}{3}$

(II) ΔCBA ~ ΔADC, tỉ số đồng dạng bằng k₂ = 1

(III) ΔCNE ~ ΔADC, tỉ số đồng dạng k₃ =$\frac{2}{3}$

Số khẳng định đúng là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Vì ABCD là hình bình hành nên ME // DE và EN // AB.

+ ME // DC nên ΔAME ~ ΔADC,

tỉ số đồng dạng $\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$

+ Vì ABCD là hình bình hành nên góc B = D; AD = BC; AB = DC

=> ΔCBA ~ ΔADC

ΔCBA ~ ΔADC, tỉ số đồng dạng bằng 1

+ EN // AB nên ΔCNE ~ ΔADC, do đó ΔCNE ~ ΔADC,

tỉ số đồng dạng $\frac{CE}{AC}=\frac{2}{3}$

Vậy cả (I), (II), (III) đều đúng nên có 3 khẳng định đúng.

Bài 8:

A. ΔAMN đồng dạng với ΔACB

B. ΔABC đồng dạng với MNA

C. ΔAMN đồng dạng với ΔABC

D. ΔABC đồng dạng với ΔANM

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Vì MN // BC => tam giác AMN đồng dạng với tam giác ABC

Bài 9:

$\hat{B}$ = 70⁰, $\hat{F}$ = 30⁰; BC = 6cm. Nếu ΔABC đồng dạng với ΔDEF thì:

A. $\hat{D}$ = 170⁰; EF = 6cm

B. $\hat{E}$ = 80⁰; ED = 6cm

C. $\hat{D}$ = 70⁰

D. $\hat{C}$ = 30⁰

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Vì tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF nên

$\hat{A}=\hat{D}$ = 80⁰; $\hat{B}=\hat{E}$ = 70⁰;

$\hat{C}=\hat{F}$ = 30⁰

Vậy $\hat{C}$ = 30⁰ là đúng

Bài 10:

A. ΔAMN đồng dạng với ΔABC

B. ΔABC đồng dạng với MNC

C. ΔNMC đồng dạng với ΔABC

D. ΔCAB đồng dạng với ΔCMN

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Vì MN // AB => tam giác CMN đồng dạng với tam giác CBA hay ΔNMC đồng dạng với ΔABC