Lý thuyết Chia đa thức cho đơn thức (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 8

Lý thuyết Toán 8 Bài 11: Chia đa thức cho đơn thức

Bài giảng Toán 8 Bài 11: Chia đa thức cho đơn thức

A. Lý thuyết

Quy tắc: Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho B) ta làm như sau:

- Chia lần lượt từng hạng tử của đa thức A cho đơn thức B;

- Cộng các kết quả tìm được lại với nhau.

Chú ý: Trong thực hành ta có thể nhẩm và bỏ bớt một số phép tính trung gian.

Ví dụ 1: (15x²y + 17xy³ – 6xy ) : 3xy

= (15x²y : 3xy) + (17xy³ : 3xy) – (6xy : 3xy)

$=5x+\frac{17}{3}{y}^2-2$

Chú ý: Trường hợp đa thức A có thể phân tích thành nhân tử, ta thường phân tích A trước để rút gọn cho nhanh.

Ví dụ 2: (

= (2x – 3y)(4x² + 6xy + 9y²) : (2x – 3y)

= 4x² + 6xy + 9y².

B. Bài tập tự luyện

Bài 1: Thực hiện phép tính:

a) (15.3¹¹ + 4.27⁴ + 3¹⁴) : 9⁷;

b) (2a³ + 3a⁴ – 10a) : a;

c) [2(x + y)⁴  – 5(x + y)³] : 3(x + y)².

Lời giải:

a)  (15.3¹¹ + 4.27⁴ + 3¹⁴) : 9⁷

= (5.3.3¹¹ + 4.27⁴ + 3¹⁴) : 3¹⁴

= (5.3¹² : 3¹⁴) + (4.27⁴ : 3¹⁴) + (3¹⁴ : 3¹⁴)

= (5 : 3²) + (4.(3³)⁴ : 3¹⁴) + (3¹⁴ : 3¹⁴)

$=\frac{5}{9}+\frac{4}{9}+1$

= 2

b) (2a³ + 3a⁴ – 10a) : a

= (2a³ : a) + (3a⁴ : a) – (10a : a)

= 2a² + 3a³ – 10

c) [2(x + y)⁴  – 5(x + y)³] : 3(x + y)²

= [2(x + y)⁴ : 3(x + y)²] – [5(x + y)³ : 3(x + y)²]

$=\frac{2}{3}{(x+y)}^2$$-\frac{5}{3}(x+y)$

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức:

a) M = (6a³b + a²b) : 2ab tại a = 4.

b) N = [(2x²y)² + 3x⁴y³ – 6x³y²] : (xy)² tại x = y = 2.

Lời giải:

a) M = (6a³b + a²b) : 2ab

M = (6a³b : 2ab) + (a²b : 2ab)

$M=3a^2+\frac{1}{2}a$

Thay a = 4 vào M ta được: $M={3.4}^2+\frac{1}{2}.4=50$.

b) N = [(2x²y)² + 3x⁴y³ – 6x³y²] : (xy)²

N = (2x⁴y² + 3x⁴y³ – 6x³y²) : x²y²

N = (2x⁴y² : x²y²) + (3x⁴y³ : x²y²) – (6x³y² : x²y²)

N = 2x² + 3x²y – 6x

Thay x = y = 2 vào N, ta được: N = 2.2² + 3.2².2 – 6.2 = 20.

Bài 3: Tìm điều kiện của số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đơn thức B:

a) A = 5x³ – 4x² + x và B = 2xⁿ ;

b) A = –11a¹⁸ b^{2n - 3} + 15a¹⁶b⁷ và B = 4a^{3n + 1}b⁶.

Lời giải:

a) Bậc thấp nhất của biến x trong đa thức A là 1 nên n ≤ 1.

Vì n là số tự nhiên nên n = 0 hoặc n = 1.

b) Đa thức A chia hết cho đơn thức B nếu bậc của mỗi biến trong B không lớn hơn bậc thấp nhất của biến đó trong A.

Bậc thấp nhất của biến a trong đa thức A là 16 nên 3n + 1 ≤ 16  (1)

Vì bậc thấp nhất của biến b trong đa thức A luôn lớn hơn hoặc bằng bậc của biến b trong đơn thức B nên 2n – 3 ≥ 6  (2)

Từ (1) suy ra n ≤ 5.

Từ (2) suy ra $n\ge \frac{9}{2}$.

Do đó $\frac{9}{2}\le n\le 5$

Vì n là số tự nhiên nên n = 5.

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 11: Chia đa thức cho đơn thức

Bài 1:

A. -3x²y + x – 2y²                                

B. 3x⁴y + x³ – 2x²y²

C. -12x²y + 4x – 2y²                            

D. 3x²y – x + 2y²

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

(-12x⁴y + 4x³ – 8x²y²) : (-4x²)

= (-12x⁴y) : (-4x²) + (4x³) : (-4x²) – (8x²y²) : (-4x²)

= 3x²y – x + 2y²

Bài 2:

Điền vào chỗ trống (…) đa thức thích hợp

A. 6x² + 12xy + 8y²                             

B. 9x² + 12xy + 16y²

C. 9x² – 12xy + 16y²                           

D. 3x² + 12xy + 4y²

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có

27x³ – 64y³

= (3x)³ – (4y)³

= (3x – 4y)((3x)² + 3x.4y + (4y)²)

= (3x – 4y)(9x² + 12xy + 16y²)

Vậy đa thức cần điền là 9x² + 12xy + 16y²

Bài 3:

(9x⁴y³ – 18x⁵y⁴ – 81x⁶y⁵) : (-9x³y³) là đa thức có bậc là:

A. 5                       

B. 9                       

C. 3                       

D. 1

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có

(9x⁴y³ – 18x⁵y⁴ – 81x⁶y⁵) : (-9x³y³)

= [(9x⁴y³) : (-9x³y³)] – [18x⁵y⁴ : (-9x³y³)] – [81x⁶y⁵ : (-9x³y³)]

= -x + 2x²y + 9x³y²

Đa thức -x + 2x²y + 9x³y² có bậc 3 + 2 = 5

Bài 4:

A. x = -1               

B. x = 2                 

C. x = 1                 

D. x = 0

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Bài 5:

D = (9x²y² – 6x²y³) : (-3xy)² + (6x²y + 2x⁴) : (2x²)

sau khi rút gọn là đa thức có bậc là

A. 1                       

B. 3                       

C. 4                       

D. 2

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

D = (9x²y² – 6x²y³) : (-3xy)² + (6x²y + 2x⁴) : (2x²)

$\iff$D = 9x²y² : (-3xy)² – 6x²y³ : (-3xy)² + 6x²y : (2x²) + 2x⁴ : (2x²)

$\iff$D = $1-\frac{2}{3}y+3y+x^2$ 

$\iff$D = $x^2+\frac{7}{3}y+1$ 

Đa thức D = $x^2+\frac{7}{3}y+1$ có bậc 2

Bài 6:

A. Giá trị của M luôn là số âm            

B. Giá trị của M luôn là số dương

C. Giá trị của M luôn bằng 0               

D. Giá trị của M luôn bằng 1

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có

M = $(x^4{y}^{n+1}-\frac{1}{2}{x}^3{y}^{n+2}):\left(\frac{1}{2}{x}^3{y}^n\right)-20x^{4}y:5x^{2}y$

= $\left(x^4{y}^{n+1}\right):\left(\frac{1}{2}{x}^3{y}^n\right)-\left(\frac{1}{2}{x}^3{y}^{n+2}\right):\left(\frac{1}{2}{x}^3{y}^n\right)-4x^2$  

= 2x^4-3y^n+1-n – x^3-3y^n+2-n – 4x²

= 2xy – y² – 4x²

= -(y² – 2xy + x² + 3x²)

= -[(x – y)² + 3x²]

Vì với x; y ≠ 0 thì (x – y)² + 3x² > 0

nên -[(x – y)² + 3x²] < 0; Ɐ x; y ≠ 0

Hay giá trị của M luôn là số âm

Bài 7:

Điền vào chỗ trống đa thức thích hợp

A. (3x + 1)⁵           

B. 3x + 1               

C. 3x – 1               

D. (3x + 1)³

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có

(27x³ + 27x² + 9x + 1) : (3x + 1)²

= (3x + 1)³ : (3x + 1)²

= 3x + 1

Bài 8:

Điền vào chỗ trống đa thức thích hợp

A. x² – 2x + 2       

B. x² – 4x + 2        

C. x² – x + 5          

D. x² – 2x + 5

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có

(7x⁴ – 21x³) : 7x² + (10x + 5x²) : 5x

= 7x⁴ : (7x²) – 21x³ : (7x²) + 10x : (5x) + 5x² : (5x)

= x² – 3x + 2 + x

= x² – 2x + 2

Bài 9:

A. x² – x + 10       

B. 2x² – x + 10      

C. 2x² – x – 10      

D. 2x² + x + 10

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có (2x³ – x² +10x) : x

= (2x³ : x) – (x² : x) + (10x : x)

= 2x² – x + 10

Bài 10:

D = (15xy² + 18xy³ + 16y²) : 6y² – 7x⁴y³ : x⁴y

tại $x=\frac{2}{3}$ và y = 1

 

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

D = (15xy² + 18xy³ + 16y²) : 6y² – 7x⁴y³ : x⁴y

$\iff$D = 15xy² : (6y²) + 18xy³ : (6y²) + 16y² : (6y²) – 7x⁴y³ : x⁴y

$\iff$D = $\frac{5}{2}x+3xy+\frac{8}{3}-7y^2$ 

Tại $x=\frac{2}{3}$ và y = 1 ta có

D = $\frac{5}{2}.\frac{2}{3}+3.\frac{2}{3}.1+\frac{8}{3}-{7.1}^2$

=$\frac{5}{3}+2+\frac{8}{3}-7=\frac{13}{3}-5$ 

$=-\frac{2}{3}$