Lý thuyết Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 8

Lý thuyết Toán 8 Bài 1: Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

Bài giảng Toán 8 Bài 1: Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

A. Lý thuyết

1. Thứ tự trên tập hợp số

Trên tập hợp số thực, khi so sánh hai số a và b, có thể xảy ra một trong ba trường hợp sau:

Số a bằng số b, kí hiệu a = b;

Số a nhỏ hơn số b, kí hiệu a < b;

Số a lớn hơn số b, kí hiệu a > b.

Ví dụ 1.

$\frac{3}{-2}=\frac{-18}{12};$

−25,08 < −22,5;

2,45 > 1,75.

Khi biểu diễn số thực trên trục số (vẽ theo phương nằm ngang), điểm biểu diễn số nhỏ hơn ở bên trái điểm biểu diễn số lớn hơn.

Ví dụ 2. Biểu diễn các số −0,75 và   trên trục số như sau:

Ta thấy: trên trục số, điểm biểu diễn số −0,75 nằm bên trái điểm biểu diễn số $\frac{5}{3}$.

Do đó −0,75 < $\frac{5}{3}$.

2. Bất đẳng thức

Hệ thức dạng a < b (hay dạng a > b; a ≥ b; a ≤ b) được gọi là bất đẳng thức và gọi a là vế trái, b gọi là vế phải của bất đẳng thức.

Ví dụ 3. Bất đẳng thức (−3) + 5 > −4 có vế trái là (−3) + 5 và vế phải là (−4).

3. Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

a) Tính chất

Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

b) Tổng quát

Cho ba số a, b và c, ta có:

Nếu a < b thì a + c < b + c;

Nếu a ≤ b thì a + c ≤ b + c;

Nếu a > b thì a + c > b + c;

Nếu a ≥ b thì a + c ≥ b + c.

Ví dụ 4. Chứng minh 2021 + (−32) < 2022 + (−32).

Lời giải:

Theo tính chất trên, cộng (−32) vào hai vế của bất đẳng thức 2021 < 2022.

Ta suy ra 2021 + (−32) < 2022 + (−32).

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?

a) −5 > 3 + (−10);

b) 2 . (−6) < 2 . (−8);

c) −6 ≤ 2 . (−4);

d) x² + 2 ≥ 2.

Lời giải:

a) Ta có: 3 + (−10) = −7.

Vì −5 > −7 nên −5 > 3 + (−10).

Do đó khẳng định −5 > 3 + (−10) là đúng.

b) Ta có: 2 . (−6) = −12; 2 . (−8) = − 16.

Vì −12 > −16 nên 2 . (−6) > 2 . (−8).

Do đó khẳng định 2 . (−6) < 2 . (−8) là sai.

c) Ta có: 2 . (−4) = −8.

Vì −6 > −8 nên −6 > 2 . (−4)

Do đó khẳng định −6 ≤ 2 . (−4) là sai.

d) Với mọi số thực x ta có: x² ≥ 0.

Suy ra x² + 2 ≥ 2.

Do đó khẳng định x² + 2 ≥ 2 đúng với mọi số thực x.

Vậy khẳng định a) và d) là đúng, khẳng định b) và c) là sai.

Bài 2. Cho a > b, hãy so sánh:

a) a + 25 và b + 25;

b) a – 12 và b – 12.

Lời giải:

Ta có bất đẳng thức: a > b.

a) Cộng cả hai vế của bất đẳng thức a > b với 25, ta được:

a + 25 > b + 25.

b) Cộng cả hai vế của bất đẳng thức a > b với (–12), ta được:

a + (–12) < b + (–12)

Vậy a – 12 < b – 12.

Bài 3. So sánh a và b nếu:

a) a – 34 ≤ b – 34;

b) 21 + a ≥ 21 + b.

Lời giải:

a) Ta có: a – 34 ≤ b – 34.

Cộng hai vế của bất đẳng thức a – 34 ≤ b – 34 với 34, ta được:

a – 34 + 34 ≤ b – 34 + 34.

Do đó a ≤ b.

b) Ta có: 21 + a ≥ 21 + b.

Cộng hai vế của bất đẳng thức 21 + a ≥ 21 + b với (−21), ta được:

21 + a + (−21) ≥ 21 + b + (−21).

Do đó a ≥ b.

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 1: Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

Bài 1:

A. -2a - 5 < -2a + 1

B. 3a - 3 < 3a - 1

C. 4a < 4a + 1

D. -5a + 1 < -5a - 2

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

+ Vì -5 < 1 nên cộng hai vế của bất đẳng thức với số -2a bất kì ta được: -2a - 5 < -2a + 1 $\Rightarrow$ A đúng.

+ Vì 0 < 1 nên cộng hai vế của bất đẳng thức với số 4a bất kì ta được: 4a < 4a + 1 $\Rightarrow$ C đúng.

+ Vì 1 > -2 nên cộng hai vế của bất đẳng thức với số -5a bất kì ta được: -5a + 1 > -5a - 2 $\Rightarrow$ D sai.

+ Vì -3 < -1 nên cộng hai vế của bất đẳng thức với số 3a bất kì ta được: 3a - 3 < 3a - 1 $\Rightarrow$ B đúng.

Bài 2:

A. x < y

B. x = y 

C. x > y

D. x ≤ y

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Cộng cả hai vế của bất đẳng thức x - 3 ≤ y - 3 với 3 ta được:

x - 3 ≤ y - 3

$\Rightarrow$ x - 3 + 3 ≤ y - 3 + 3

$\Rightarrow$ x ≤ y.

Bài 3:

A. Chưa thể kết luận

B. a = b

C. a > b

D. a < b

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: -1 < 0 nên b + (-1) < b + 0

hay b - 1 < b (1)

Lại có: a < b – 1 (giả thiết) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: a < b

Bài 4:

A. x < y

B. x = y

C. x > y

D. x ≤ y

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Cộng hai vế của bất đẳng thức x - 5 ≤ y - 5 với 5 ta được:

x - 5 + 5 ≤ y - 5 + 5

$\Rightarrow$ x ≤ y

Bài 5:

A. 5 - a ≥ 5 - b.

B. 5 - a > 5 - b.

C. 5 - a ≤ 5 - b.

D. 5 - a < 5 - b.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: a > b $\Rightarrow$ -a < -b

$\iff$ 5 + (-a ) < 5 + (-b )

hay 5 - a < 5 - b.

Bài 6:

A. (x + y)² ≥ 2xy

B. (x + y)² = 2xy

C. (x + y)² < 2xy

D. Cả A, B, C đều sai

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

P = (x + y)² - 2xy

= x² + 2xy + y² - 2xy

= x² + y² ≥ 0, "x, y

Do đó P ≥ 0; "x; y.

Suy ra (x + y)² ≥ 2xy.

Dấu “=” xảy ra khi x = y = 0.

Bài 7:

A. a - b > 0

B. a - b < 0

C. a - b = 0

D. a - b ≤ 0

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Từ a > b, cộng -b vào hai vế

ta được a - b > b - b, tức là a - b > 0.

Bài 8:

A. 2a - 5 < 2a + 1

B. 3a - 3 > 3a - 1

C. 4a < 4a + 1

D. 5a + 1 > 5a - 2

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

+ Vì -5 < 1 nên cộng hai vế của bất đẳng thức với số 2a bất kì ta được

2a - 5 < 2a + 1 $\Rightarrow$ A đúng.

+ Vì 0 < 1 nên cộng hai vế của bất đẳng thức với số 4a bất kì ta được

4a < 4a + 1 $\Rightarrow$ C đúng.

+ Vì 1 > -2 nên cộng hai vế của bất đẳng thức với số 5a bất kì ta được

5a + 1 < 5a - 2 $\Rightarrow$ D đúng.

+ Vì -3 < -1 nên cộng hai vế của bất đẳng thức với số 3a bất kì ta được

3a - 3 < 3a - 1 $\Rightarrow$ B sai.

Bài 9:

A. m < n

B. m = n

C. m ≤ n

D. m > n

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: m - $\frac{1}{2}$ = n

$\Rightarrow$ m - n = $\frac{1}{2}$ 

$\Rightarrow$ m - n > 0 => m > n.

Bài 10:

(I) a - 1 < b - 1

(II) a - 1 < b

(III) a + 2 < b + 1

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

+ Vì a < b, cộng hai vế của bất đẳng thức với -1 ta được: a - 1 < b - 1  (I) đúng.

+ Vì a - 1 < b - 1 (cmt) mà b - 1 < b nên a - 1 < b $\Rightarrow$ (II) đúng.

+ Vì a < b, cộng hai vế của bất đẳng thức với 1 ta được: a + 1 < b + 1 mà

a + 1 < a + 2 nên ta chưa đủ dữ kiện để nói rằng a + 2 < b + 1 $\Rightarrow$ (III) sai.

Do đó có 2 khẳng định đúng.