Lý thuyết Thể tích của hình chóp đều (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 8

Lý thuyết Toán 8 Bài 9: Thể tích của hình chóp đều

Bài giảng Toán 8 Bài 9: Thể tích của hình chóp đều

A. Lý thuyết

1. Công thức tính thể tích

Thể tích của hình chóp bằng một phần ba của diện tích đáy nhân với chiều cao:

$\mathrm{V}=\frac{1}{3}\mathrm{S}.\mathrm{h}$ (trong đó S: diện tích đáy, h: chiều cao)

Ví dụ 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh đáy là 4cm, chiều cao 6cm. Tính thể tích của hình chóp.

Lời giải:

Diện tích đáy của hình chóp là: S = 4² = 16cm²

Thể tích của hình chóp đều là

$\mathrm{V}=\frac{1}{3}.{\mathrm{S}}_{\mathrm{ABCD}}.\mathrm{SO}=\frac{1}{3}.16.6=32\left({\mathrm{cm}}^3\right)$

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình chóp S.MNPQ có đáy là hình chữ nhật và MN = 3cm; NP = 4cm .

Biết thể tích của hình chóp S.MNPQ bằng 48cm³. Tính độ dài đường cao của hình chóp?

Lời giải:

Diện tích đáy của hình chóp là:

S = MN. NP = 3.4 = 12cm²

Áp dụng công thức thể tích của hình chóp ta có:

$\mathrm{V}=\frac{1}{3}.\mathrm{h}.\mathrm{S}\Rightarrow \mathrm{h}=\frac{3\mathrm{V}}{\mathrm{S}}=\frac{3.48}{12}=12\left(\mathrm{cm}\right)$

Vậy chiều cao của hình chóp là 12cm.

Bài 2. Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên SA = 5cm và độ dài cạnh đáy là cm. Tính thể tích của hình chóp tứ giác đều.

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông ABC có;

AC² = AB² + BC² = ${\left(3\sqrt{2}\right)}^2+{\left(3\sqrt{2}\right)}^2=36$

Suy ra: AC = 6 cm và $\mathrm{AO}=\frac{1}{2}\mathrm{AC}=3\mathrm{cm}$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông SAO có:

 SO² = SA² -  AO² =  5² -  3² = 16 nên SO = 4cm

Diện tích đáy là: ${\left(3\sqrt{2}\right)}^2=18{\mathrm{cm}}^2$

Thể tích của hình chóp là: $\mathrm{V}=\frac{1}{3}.18.4=24{\mathrm{cm}}^3$

Vậy thể tích của hình chóp là 24 cm³_.

Bài 3. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có thể tích là $12\sqrt{3}$ cm³; chiều cao của hình chóp là 4cm. Tính độ dài cạnh đáy?

Lời giải:

Thể tích của hình chóp đều là:

$\mathrm{V}=\frac{1}{3}{\mathrm{S}}_{\mathrm{d}}.\mathrm{h}\Rightarrow {\mathrm{S}}_{\mathrm{d}}=\frac{3\mathrm{V}}{\mathrm{h}}=\frac{3.12\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}{\mathrm{cm}}^2$

Gọi độ dài cạnh đáy là a.

Do đáy là tam giác đều nên diện tích đáy là  ${\mathrm{S}}_{\mathrm{d}}=\frac{{\mathrm{a}}^2\sqrt{3}}{4}{\mathrm{cm}}^2$

Suy ra: $\frac{{\mathrm{a}}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}\iff {\mathrm{a}}^2=36\iff \mathrm{a}=6\mathrm{cm}$.

Vậy độ dài cạnh đáy là 6cm

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 9: Thể tích hình chóp đều

Bài 1:

A. 12cm

B. 13cm

C. 11cm

D. 16cm

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Xét hình chóp tứ giác đều S.ABCD có V = 200cm³, đường cao SH = 12cm.

Ta có V = $\frac{1}{3}$S_d.h

=> S_d = $\frac{3V}{SH}=\frac{3.200}{12}$= 50 (cm²)

Tức BC² = 50

Tam giác BHC vuông cân nên

HB² + HC² = BC²

hay 2HC² = BC² hay 2HC² = 50

Suy ra HC² = 25

SC² = SH² + HC²

= 12² + 25² = 169 = 13².

Vậy SC = 13cm.

Vậy độ dài cạnh bên là 13cm.

Bài 2:

1. Tính thể tích của hình chóp S.ABCD.

A. 32cm³

B. 72cm³

C. 16cm³

D. 64cm³

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Thể tích hình chóp S.ABCD bằng $\frac{1}{3}$ .6².6 = 72cm³

2. Tính thể tích của hình chóp cụt ABCD.A’B’C’D’.

A. 16cm³

B. 50cm³

C. 64cm³

D. $\frac{152}{3}$cm³

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có SH’ = $\frac{2}{3}$SH =$\frac{2}{3}$ .6 = 3cm

Xét tam giác SAH có: A’H’ // AH

Bài 3:

A. 10m

B. 10m²

C. 30m

D. 30m²

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Diện tích đáy ABC là:$\left(3.150\right):15=30m$

Bài 4:

A. 16cm

B. 8cm

C. 4cm

D. 10cm

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Xét hình chóp tứ giác đều S.ABCD có V = 64cm³, đường cao h = 12cm.

Ta có V = $\frac{1}{3}$S_d.h

=> S_d = $\frac{3V}{SH}=\frac{3.64}{12}$ = 16 (cm²)

Tức BC² = 50 => BC = 4

Vậy độ dài cạnh đáy là 4cm

Bài 5:

A. 1cm

B. 9cm

C. 18cm

D. $\frac{4}{3}cm$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Diện tích toàn phần của hình chóp là , khi đó diện tích mặt đáy của hình chóp

là: $240:4=60c{m}^2$

Chiều cao của hình chóp là: $\left(180.3\right):60=9cm$

Bài 6:

A. 75cm³

B. 225cm³

C. 180cm³

D. 60cm³

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Đáy của hình chóp tứ giác đều là hình vuông nên diện tích đáy là

S = 5² = 25cm²

Thể tích cần tìm là

V = $\frac{1}{3}$ .9.25 = 75cm³.

Bài 7:

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Diện tích đáy ABCD là:

$4.4=16c{m}^2$

Thể tích hình chóp SABCD là

$\frac{1}{3}\mathrm{.16.15}=80c{m}^3$

Thể tích hình nón cụt MNPQ.ABCD là:

$80-30=50c{m}^3$

Bài 8:

A. 210 m³

B. 630 m³

C. 70 m³

D. 30 m³

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Diện tích của một mặt là:

90 : 3 = 30m²

Thể tích của hình chóp là:

$\frac{1}{3}.30.7=70m^3$

Bài 9:

A. 24,64cm³

B. 25,46cm³

C. 26,46cm³

D. 26,64cm³

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Chóp tam giác đều S.ABC có SH  (ABC) nên H là trọng tâm tam giác ABC và D là trung điểm BC.

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác ABD vuông tại D ta có

$AD=\sqrt{A{B}^2-B{D}^2}=\sqrt{6^2-3^3}=3\sqrt{3}$ 

nên diện tích đáy

S = $\frac{1}{2}$AD.BC

= $\frac{1}{2}.3\sqrt{3}.6=9\sqrt{3}$  cm².

Vì H là trọng tâm tam giác ABC

=> SH = $\frac{2}{3}$AD

=$\frac{2}{3}.3\sqrt{3}=2\sqrt{3}$

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác ASH vuông tại H ta được

$SH=\sqrt{S{A}^2-A{H}^2}=\sqrt{6^2-{\left(2\sqrt{3}\right)}^2}=2\sqrt{6}$

Từ đó thể tích hình chóp là

$V=\frac{1}{3}.SH.S_{ABC}=\frac{1}{3}.2\sqrt{6}.9\sqrt{3}\approx 25,46c{m}^3$

Bài 10:

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Diện tích đáy ABCD là:

$4.4=16c{m}^2$

Thể tích hình chóp SABCD là

$\frac{1}{3}\mathrm{.16.15}=80c{m}^3$

Thể tích hình nón cụt MNPQ.ABCD là:

$80-60=20c{m}^3$