Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp theo) (năm 2023 + Bài Tập) – Toán 8

Lý thuyết Toán 8 Bài 4: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp theo)

Bài giảng Toán 8 Bài 4: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp theo)

A. Lý thuyết

1. Lập phương của một tổng

Lập phương của một tổng bằng lập phương số thứ nhất cộng ba lần tích của bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai cộng ba lần tích của số thứ nhất nhân bình phương số thứ hai cộng lập phương số thứ hai.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³.

Ví dụ 1:

${\left(\frac{x}{3}+1\right)}^3={\left(\frac{x}{3}\right)}^3+3{\left(\frac{x}{3}\right)}^2.1+3.\frac{x}{3}{.1}^2+1^3=\frac{x^3}{27}+\frac{x^2}{3}+x+1$

(2m + n)³ = (2m)³ + 3.(2m)².n + 3.2m.n² + n³

= 8m³ + 12m²n + 6mn² + n³.

2. Lập phương của một hiệu

Lập phương của một hiệu bằng lập phương số thứ nhất trừ ba lần tích của bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai cộng ba lần tích của số thứ nhất nhân bình phương số thứ hai trừ lập phương số thứ hai.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A – B)³ = A³ – 3A²B + 3 AB² – B³

Ví dụ 2:

(x² – y)³ = (x²)³ – 3.(x²)².y + 3.x².y² – y³ = x⁶ – 3x⁴y + 3x²y² – y³.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1: Khai triển các hằng đẳng thức sau:

Lời giải:

b) (x² + 1)³ = (x²)³ + 3.(x²)².1 + 3.x².1² + 1³ = x⁶ + 3x⁴ + 3x² + 1

Bài 2: Tính giá trị biểu thức.

a) P = x³ – 3x² + 3x – 1 tại x = 1001.

b) Q = 27x³y⁶ – 54x²y⁴z + 36xy²z² – 8z³ tại x = 4; y = 5; z = 150.

c) R = y³ + 3y²(1 – y) + 3y(1 – y)² + (1 – y)³  tại y = 1000.

Lời giải:

a) P = x³ – 3x² + 3x – 1

P = (x – 1)³

Thay x = 1001 vào P, ta được: P = (1001 – 1)³ = 1000³ = 1 000 000 000.

b) Q = 27x³y⁶ – 54x²y⁴z + 36xy²z² – 8z³

Q = (3xy²)³ – 3.(3xy²)².2z + 3.3xy².(2z)² – (2z)³

Q = (3xy² – 2z)³

Thay x = 4; y = 5; z = 150 vào Q, ta được: Q = (3.4.5² – 2.150)³ = 0.

c) R = y³ + 3y²(1 – y) + 3y(1 – y)² + (1 – y)³  

R = (y + 1 – y)³

R = 1³

R = 1.

Vậy R = 1.

Bài 3: Tính nhanh

a) A = 102³ – 6.102² + 12.102 – 8;

b) B = 47³ + 9.47² + 27.47 + 27.

Lời giải:

a) A = 102³ – 6.102² + 12.102 – 8

A = 102³ – 3.102².2 + 3.102.2² – 2³

A = (102 – 2)³

A = 100³

A= 1 000 000

b) B = 47³ + 9.47² + 27.47 + 27

B = 47³ + 3.47².3+ 3.47.3² + 3³

B = (47 + 3)³

B = 50³

B = 125 000

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 4: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp theo)

Bài 1:

A. (A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³         

B. (A - B)³ = A³ - 3A²B - 3AB² - B³

C. (A + B)³ = A³ + B³                                    

D. (A - B)³ = A³ - B³

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có (A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³

nên phương án C sai, A đúng.

(A - B)³ = A³ - 3A²B + 3AB² - B³

nên phương án B sai, D sai.

Bài 2:

A. x³ – 3xy + 3x²y + y³                                  

B. x³ – 6x²y + 12xy² – 8y³

C. x³ – 6x²y + 12xy² – 4y³                             

D. x³ – 3x²y + 12xy² – 8y³

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có (x – 2y)³

= x³ – 3.x².2y + 3x.(2y)² – (2y)³

= x³ – 6x²y + 12xy² – 8y³

Bài 3:

Giá trị của biểu thức B = a³ + b³ + c³ – 3abc bằng

A. B = 0                

B. B =1                 

C. B = 2                

D. B = 3

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có (a + b)³

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³

= a³ + b³ + 3ab(a + b)

=> a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b)

Từ đó B = a³ + b³ + c³ – 3abc

= (a + b)³ – 3ab(a + b) + c³ – 3abc

= [(a+b)³ + c³] – 3ab(a + b +c)

= (a + b + c)[(a + b)² – (a + b)c + c²] – 3ab(a + b + c)

Mà a + b + c = 0 nên

B = 0.[(a + b)² – (a + b)c + c²] – 3ab.0

= 0

Vậy B = 0

Bài 4:

A = 8x³ – 12x²y + 6xy² – y³ + 12x² – 12xy + 3y² + 6x – 3y + 11 bằng

A. A = 1001          

B. A = 1000          

C. A = 1010          

D. A = 990

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có

A = 8x³ – 12x²y + 6xy² – y³ + 12x² – 12xy + 3y² + 6x – 3y + 11

= (2x)³ – 3.(2x)².y + 3.2x.y - y³ + 3(4x² – 4xy + y²) + 3(2x – y) + 11

= (2x – y)³ + 3(2x – y)² + 3(2x – y) + 1 + 10

= (2x – y + 1)³ + 10

Thay 2x – y = 9 vào A = (2x – y + 1)³ + 10

ta được A = (9 + 1)³ + 10 = 1010

Vậy A = 1010

Bài 5:

A. 8 + 12y + 6y² + y³ = (8 + y³)                    

B. a³ + 3a² + 3a + 1 = (a + 1)³

C. (2x – y)³ = 2x³ – 6x²y + 6xy – y³              

D. (3a + 1)³ = 3a³ + 9a² + 3a + 1

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có 8 + 12y + 6y² + y³

= 2³ + 3.2²y + 3.2.y² + y³

= (2 + y)³ ≠ (8 + y³) nên A sai

+ Xét (2x – y)³

= (2x)³ – 3(2x)².y + 3.2x.y² – y³

= 8x³ – 12x²y + 6xy² – y³ ≠ 2x³ – 6x²y + 6xy – y³ nên C sai

+ Xét (3a + 1)³

= (3a)³ + 3.(3a)².1 + 3.3a.1² + 1

 = 27a³ + 27a² + 9a + 1

≠ 3a³ + 9a² + 3a + 1 nên D sai

+ Xét a³ + 3a² + 3a + 1 = (a + 1)³ nên B đúng

Bài 6:

A. (-b – a)³ = -a³ – 3ab(a + b) – b³                 

B. (c – d)³ = c³ – d³ + 3cd(d – c)

C. (y – 2)³ = y³ – 8 – 6y(y + 2)                      

D. (y – 1)³ = y³ – 1- 3y(y – 1)

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có

(-b – a)³ = [-(a + b)³]

= -(a + b)³

= -(a³ + 3a²b + 3ab² + b³)

=  -a³ - 3a²b - 3ab² - b³

= -a³ – 3ab(a + b) – b³ nên A đúng

+ Xét (c – d)³

= c³ – 3c²d + 3cd² - d³

= c³ – d³ + 3cd(d – c) nên B đúng

+ Xét (y – 1)³

= y³ – 3y².1 + 3y.1² – 1³

= y³ – 1 – 3y(y – 1) nên D đúng

+ Xét (y – 2)³

= y³ – 3y².2 +3y.2² – 2³

= y³ – 6y² + 12y – 8

= y³ – 8 – 6y(y – 2)

≠ y³ – 8 – 6y(y + 2) nên C sai

Bài 7:

P = -2(x³ + y³) + 3(x² + y²) khi x + y = 1 là

A. P = 3                

B. P = 1                 

C. P = 5                 

D. P = 0

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³

 x³ + y³ = (x + y)³ – (3x²y + 3xy²)

= (x + y)³ – 3xy(x + y)

Và (x + y)² = x² + 2xy + y²  x² + y²

= (x + y)² – 2xy

Khi đó P = -2(x³ + y³) + 3(x² + y²)

= -2[(x + y)³ – 3xy(x + y)] + 3[(x + y)² – 2xy]

Vì x + y = 1 nên ta có

P = -2(1 – 3xy) + 3(1 – 2xy)

= -2 + 6xy + 3 – 6xy = 1

Vậy P = 1

Bài 8:

Chọn câu đúng.

A. x = -3               

B. $x=-\frac{1}{3}$             

C. x = 3                 

D.$x=\frac{1}{3}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Bài 9:

Q = a³ + b³ biết a + b = 5 và ab = -3

A. Q = 170            

B. Q = 140            

C. Q = 80              

D. Q = -170

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

= a³ + b³ + 3ab(a + b)

Suy ra a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b)

Hay Q = (a + b)³ – 3ab(a + b)

Thay a + b = 5 và a.b = -3

vào Q = (a + b)³ – 3ab(a + b) ta được

Q = 5³ – 3.(-3).5 = 170

Vậy Q = 170

Bài 10:

Tính giá trị của A khi x = 1001

A. A = 1000³         

B. A = 1001          

C. A = 1000³ – 1   

D. A = 1000³ + 1

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có A = x³ – 3x² + 3x

= x³ – 3x² + 3x – 1 + 1

= (x – 1)³ + 1

Thay x = 1001 vào A = (x – 1)³ + 1 ta được

A = (1001 – 1)³ + 1

suy ra A = 1000³ + 1