Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp theo) (năm 2023 + Bài Tập) – Toán 8

Lý thuyết Toán 8 Bài 5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp theo)

Bài giảng Toán 8 Bài 5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp theo)

A. Lý thuyết

1. Tổng hai lập phương

Tổng của lập phương hai biểu thức bằng tích của tổng hai biểu thức và bình phương thiếu của hiệu hai biểu thức đó.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A³ + B³ = (A + B)(A² – AB + B²)

Chú ý: A² – AB + B² được gọi là bình phương thiếu của một hiệu.

Ví dụ 1:

x³ + 4³ = (x + 4)(x² – 4x + 4²) = (x + 4)(x² – 4x + 16)

$\frac{1}{27}+u^3={\left(\frac{1}{3}\right)}^3+u^3=\left(\frac{1}{3}+u\right)\left.{\left(\frac{1}{3}\right)}^2-\frac{1}{3}u+u^2\right]=\left(\frac{1}{3}+u\right)\left(\frac{1}{9}-\frac{u}{3}+u^2\right)$

2. Hiệu hai lập phương

Hiệu của lập phương hai biểu thức bằng tích của hiệu hai biểu thức và bình phương thiếu của tổng hai biểu thức đó.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A³ – B³ = (A – B)(A² + AB + B²)

Chú ý: A² + AB + B² được gọi là bình phương thiếu của một tổng.

Ví dụ 2:

x³ – (2y)³ = (x – 2y)[x² + 2xy + (2y)²] = (x – 2y)(x² + 2xy + 4y²)

27a³ – 1 = (3a)³ – 1³ = (3a – 1)[(3a)² + 3a.1 + 1²] = (3a – 1)(9a² + 3a + 1)

 B. Bài tập tự luyện

Bài 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng tích.

a) $x^3+\frac{y^3}{64}$;

b) 8u³ – v³ .

Lời giải:

a) $x^3+\frac{y^3}{64}=x^3+{\left(\frac{y}{4}\right)}^3$$=\left(x+\frac{y}{4}\right)\left(x^2-\frac{xy}{4}+\frac{y^2}{16}\right)$

b) 8u³ – v³ = (2u)³ – v³ = (2u – v)(4u² + 2uv + v²).

Bài 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng hoặc hiệu các lập phương.

Lời giải:

Bài 3: Tính giá trị biểu thức.

a) M = x³ + y³ + 6x²y²(x + y) + 3xy(x² + y²) khi x + y = 1;

b) $N={\left(\frac{x}{4}\right)}^3+{\left(\frac{y}{2}\right)}^2$ biết x + 2y = 0.

Lời giải:

a) M = x³ + y³ + 6x²y²(x + y) + 3xy(x² + y²)

M = (x + y)³ – 3xy(x + y) + 6x²y²(x + y) + 3xy(x² + y²)

M = 1³ – 3xy.1 + 6x²y². 1+ 3xy(x² + y²) (vì x + y = 1)

M = 1 – 3xy+ 3xy(2xy + x² + y²)

M = 1 – 3xy + 3xy(x + y)²

M = 1 – 3xy+ 3xy (vì x + y = 1)

M = 1.

Bài 4: Tìm x, biết:

x(x – 5)(x + 5) – (x + 2)(x² – 2x + 4) = 17.

Lời giải:

x(x – 5)(x + 5) – (x + 2)(x² – 2x + 4) = 17

x(x² – 25) – (x³ + 2³) = 17

x³ – 25x – x³ – 8 = 17

– 25x = 25

x = – 1

Vậy x = – 1.

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp theo p2)

Bài 1:

A. A³ + B³ = (A + B)(A² – AB + B²)            

B. A³ - B³ = (A - B)(A² + AB + B²)

C. (A + B)³ = (B + A)³                                   

D. (A – B)³ = (B – A)³

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có A³ + B³

= (A + B)(A² – AB + B²)

và A³ - B³

= (A - B)(A² + AB + B²) nên A, B đúng.

Vì A + B = B + A

=> (A + B)³ = (B + A)³ nên C đúng

Vì A – B = - (B – A)

=> (A – B)³ = -(B – A)³ nên D sai

Bài 2:

(x – 3y)(x² + 3xy + 9y²) dưới dạng hiệu hai lập phương

A. x³ + (3y)³          

B. x³ + (9y)³          

C. x³ – (3y)³          

D. x³ – (9y)³

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có (x – 3y)(x² + 3xy + 9y²)

= (x – 3y)(x + x.3y + (3y)²)

= x³ – (3y)³

Bài 3:

(3x – 4)(9x² + 12x + 16) dưới dạng hiệu hai lập phương

A. (3x)³ – 16³        

B. 9x³ – 64            

C. 3x³ – 4³                  

D. (3x)³ – 4³

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có (3x – 4)(9x² + 12x + 16)

= (3x – 4)((3x)² + 3x.4 + 4²)

= (3x)³ – 4³

Bài 4:

M = (2x + 3)(4x² – 6x + 9) – 4(2x³ – 3)

ta được giá trị của M là

A. Một số lẻ                                         

B. Một số chẵn     

C. Một số chính phương                      

D. Một số chia hết cho 5

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có

M = (2x + 3)(4x² – 6x + 9) – 4(2x³ – 3)

= (2x + 3)[(2x)² – 2x.3 + 3²] – 8x³ + 12

= (2x)³ + 3³ – 8x³ + 12

= 8x³ + 27 – 8x³ + 12 = 39

Vậy giá trị của M là một số lẻ

Bài 5:

E = (x + 1)(x² – x + 1) – (x – 1)(x² + x + 1) là

A. 2                       

B. 3                       

C. 1                       

D. 4

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có

E = (x + 1)(x² – x + 1) – (x – 1)(x² + x + 1)

= x³ + 1 – (x³ – 1)

= x³ + 1 – x³ + 1 = 2

Vậy E = 2

Bài 6:

Chọn câu đúng

A. M = N              

B. N = M + 2        

C. M = N – 20      

D. M = N + 20

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có

M = 8(x – 1)(x² + x + 1) – (2x – 1)(4x² + 2x + 1)

= 8(x³ – 1) – ((2x)³ – 1)

= 8x³ – 8 – 8x³ + 1 = -7

nên M = -7

N = x(x + 2)(x – 2) – (x + 3)(x² – 3x + 9) – 4x

= x(x² – 4) – (x³ + 3³) + 4x

= x³ – 4x – x³ – 27 + 4x

= -27

=> N = -27

Vậy M = N + 20

Bài 7:

H = (x + 5)(x² – 5x + 25) – (2x + 1)³ + 7(x – 1)³ – 3x(-11x + 5)

ta được giá trị của H là

A. Một số lẻ                                         

B. Một số chẵn     

C. Một số chính phương                      

D. Một số chia hết cho 12

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có

H = (x + 5)(x² – 5x + 25) – (2x + 1)³ + 7(x – 1)³ – 3x(-11x + 5)

= x³ + 5³ – (8x³ + 3.(2x)².1+ 3.2x.1² + 1) + 7(x³ – 3x² + 3x – 1) + 33x² – 15x

= x³ + 125 – 8x³ – 12x² – 6x – 1 + 7x³ – 21x² + 21x – 7 + 33x² – 15x

= (x³ – 8x³ + 7x³) + (-12x² – 21x² + 33x²) + (-6x + 21x – 15x) + 125 – 1 – 7

= 117

Vậy giá trị của M là một số lẻ

Bài 8:

A = (x² – 3x + 9)(x + 3) – (54 + x³)

A. 54                     

B. -27                    

C. -54                    

D. 27

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có A = (x² – 3x + 9)(x + 3) – (54 + x³)

A = (x² – 3x + 3²)(x + 3) – (54 + x³)

A = x³ + 3³ – 54 – x³

A = 27 – 54 = -27

Vậy A = -27

Bài 9:

dưới dạng tổng hai lập phương

A. (x²)³ + 3³          

B. (x²)³ – 3³           

C. (x²)³ + 9³          

D. (x²)³ – 9³

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có (x² + 3)(x⁴ – 3x² + 9)

= (x² + 3)((x²)² – 3.x² + 3²)

= (x²)³ + 3³

Bài 10:

Khi đó

A. A chia hết cho 11                            

B. A chia hết cho 5

C. Cả A, B đều đúng                           

D. Cả A, B đều sai

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có A = 1³+ 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ + 7³ + 8³ + 9³ + 10³

= (1³ + 10³) + (2³ + 9³) + (3³ + 8³) + (4³ + 7³) + (5³ + 6³)

= 11(1² – 10 + 10²) + 11(2² – 2.9 + 9²) + … + 11(5² – 5.6 + 6²)

Vì mỗi số hạng trong tổng đều chia hết cho 11 nên A ⁝ 11.

Lại có A = 1³+ 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ + 7³ + 8³ + 9³ + 10³

= (1³ + 9³) + (2³ + 8³) + (3³ + 7³) + (4³ + 6³) + (5³ + 10³)

= 10(1² – 9 + 9²) + 10(2² – 2.8 + 8²) + … + 5³ + 10³

Vì mỗi số hạng trong tổng đều chia hết cho 5 nên A ⁝ 5.

Vậy A chia hết cho cả 5 và 11