Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phối hợp nhiều phương pháp (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 8

Lý thuyết Toán 8 Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phối hợp nhiều phương pháp

Bài giảng Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phối hợp nhiều phương pháp

A. Lý thuyết

Khái niệm: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Khi thực hiện phân tích đa thức thành nhân tử các biểu thức phức tạp ta thường sử dụng phối hợp cả ba phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cơ bản: phương pháp nhân tử chung, phương pháp hằng đẳng thức, phương pháp nhóm hạng tử.

Chú ý: Nếu các hạng tử của đa thức có nhân tử chung thì ta nên sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung trước để đa thức trở lên đơn giản hơn rồi mới tiếp tục phân tích đến kết quả cuối cùng.

Ví dụ: Phân tích đa thức x³y + 6x²y² + 9xy thành nhân tử.

Lời giải:

x³y + 6x²y² + 9xy

= xy(x² + 6xy + 9)

= xy(x² + 2.xy.3 + 3²)

= xy(x + 3)²

B. Bài tập tự luyện

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

a) 3x – 2y + 9x² – 4y²;

b) 8x³ + 12x² + 6x + 1 – y³;

c) a² + 2a + 3 + 3(a + 1).

Lời giải:

a) 3x – 2y + 9x² – 4y²

= 3x – 2y + (3x – 2y)(3x + 2y)

= (3x – 2y)(1 + 3x + 2y)

b) 8x³ + 12x² + 6x + 1 – y³

= (2x + 1)³ – y³

= (2x + 1 – y )[(2x + 1)² + (2x + 1)y + y²]

= (2x + 1 – y )(4x² + 4x + 1 + 2xy + y + y²)

c) a² + 2a + 3 + 3(a + 1)

= a²  + 2a + 3 + 3a + 3

= (a² + 2a) + (3a + 6)

= a(a + 2) + 3(a + 2)

= (a + 3)(a + 2)

Bài 2: Tìm x, biết:

(2x + 1)² – 6x(x – 2) = (x + 3)².

Lời giải:

(2x + 1)² – 6x(x – 2) = (x + 3)²

(2x + 1)² – (x + 3)² – 6x(x – 2) = 0

[(2x + 1) – (x + 3)][(2x + 1) + (x + 3)] – 6x(x – 2) = 0

(x – 2)(3x + 4) – 6x(x – 2) = 0

(x – 2)[(3x + 4) – 6x] = 0

(x – 2)(4 – 3x) = 0

Bài 3: Tính giá trị biểu thức:

a) A = xy(x⁵ – y³) –  x²y(x⁴ – y³) tại x = 1.

b) B = m⁴ + 4 khi m² – 2m + 2 = 0

Lời giải:

a) A = xy(x⁵ – y³) –  x²y(x⁴ – y³) tại x = 1.

A = x⁶y – xy⁴ – x⁶y + x²y⁴

A =  – xy⁴ + x²y⁴

A = xy⁴ (x – 1)

Thay x = 1 vào A ta được: A =  xy⁴ .0 = 0

b) B = m⁴ + 4

B = m⁴ + 4m² – 4m² + 4

B = (m⁴ + 4m² + 4) – 4m²

B = (m² + 2)² – (2m)²

B = (m² + 2 – 2m)(m² + 2 + 2m)

Thay m² – 2m + 2 = 0 vào B, ta được: B = 0.(m² + 2 + 2m) = 0

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

Bài 1:

A. (x – 4)(x – 2)    

B. (x – 4)(x + 2)    

C. (x + 4)(x – 2)    

D. (x – 4)(2 – x)

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có

x² – 6x + 8

= x² – 4x – 2x + 8

= x(x – 4) – 2(x – 4)

= (x – 4)(x – 2)

Bài 2:

A. 0                       

B. 2                       

C. 1                       

D. 3

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Bài 3:

A = x² – 4y² + 4x + 4

tại x = 62, y = -18 là

A. 2800                 

B. 1400                 

C. -2800                

D. -1400

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có

A = x² – 4y² + 4x + 4

= (x² + 4x + 4) – 4y²

= (x + 2)² – (2y)²

= (x + 2 – 2y)(x + 2 + 2y)

Thay x = 62; y = -18 ta được

A = (62 + 2 – 2.(-18))(62 + 2 + 2.(-18))

= 100.28 = 2800

Bài 4:

x⁴ – 4x³ + 8x² – 16x + 16 = 0. Chọn câu đúng

A. x₀ > 2               

B. x₀ < 3                

C. x₀ < 1                

D. x₀ > 4

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Bài 5:

B = x³ + x²y – xy² – y³ tại x = 3,25 ; y = 6,75 là

A. 350                   

B. -350                  

C. 35                      

D. -35

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có

B = x³ + x²y – xy² – y³

= x²(x + y) – y²(x + y)

= (x² – y²)(x + y)

= (x – y)(x + y)(x + y)

= (x – y)(x + y)²

Thay x = 3,25 ; y = 6,75 ta được

B = (3,25 – 6,75)(3,25 + 6,75)²

= -3,5.10² = -350

Bài 6:

A. (x – 5)(x + 2)    

B. (x – 5)(x - 2)     

C. (x + 5)(x + 2)   

D. (x – 5)(2 – x)

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có

x² – 7x + 10

= x² – 2x – 5x + 10

= x(x – 2) – 5(x – 2)

= (x – 5)(x – 2)

Bài 7:

Phân tích C thành nhân tử và tính giá trị của C khi x = 9; y = 10; z = 101.

A. C = (z – 1)(xy – y – x + 1); C = 720

B. C = (z – 1)(y – 1)(x + 1); C = 7200

C. C = (z – 1)(y – 1)(x – 1); C = 7200

D. C = (z + 1)(y – 1)(x – 1); C = 7200

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có

C = xyz – (xy + yz + zx) + x + y + z – 1

= (xyz – xy) – (yz – y) – (zx – x) + (z – 1)

= xy(z – 1) – y(z – 1) – x(z – 1) + (z – 1)

= (z – 1)(xy – y – x + 1)

= (z – 1).[y(x – 1) – (x – 1)]

= (z – 1)(y – 1)(x – 1)

Với x = 9; y = 10; z = 101 ta có

C = (101 – 1)(10 – 1)(9 – 1)

= 100.9.8 = 7200

Bài 8:

x⁴ + 2x³ – 8x – 16 = 0. Chọn câu đúng

A. -3 < x₀ < -1       

B. x₀ < -3              

C. x₀ > -1              

D. x₀ = -3

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Bài 9:

Điền vào dấu … số hạng thích hợp

A. -3                      

B. 3                       

C. -6                      

D. 6

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có

(x² + x)² + 4x² + 4x – 12

= (x² + x)² + 4(x² + x) – 12

Đặt t = x² + x ta được

t² + 4t – 12 = t² + 6t – 2t – 12

= t(t + 6) – 2(t + 6)

= (t – 2)(t + 6)

= (x² + x – 2)(x² + x + 6)

Vậy số cần điền là 6.

Bài 10:

A. (5 + a – b)(5 – a – b)                       

B. (5 + a + b)(5 – a – b)         

C. (5 + a + b)(5 – a + b)                       

D. (5 + a – b)(5 – a + b)

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có

25 – a² + 2ab – b²

= 25 – (a² – 2ab + b²)

= 5² – (a – b)²

= (5 + a – b)(5 – a + b)