Lý thuyết Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 8

Lý thuyết Toán 8 Bài 2: Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

Bài giảng Toán 8 Bài 2: Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

A. Lý thuyết

1. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương

a) Tính chất

Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

b) Tổng quát

Với ba số a, b và c mà c > 0, ta có:

Nếu a < b thì ac < bc;

Nếu a ≤ b thì ac ≤ bc;

Nếu a > b thì ac > bc;

Nếu a ≥ b thì ac ≥ bc.

Ví dụ 1. Đặt dấu thích hợp (<, >, =) vào chỗ chấm:

Lời giải:

a) Ta có –21,5 < –21,25 và 6,5 > 0.

Nhân hai vế của bất đẳng thức

–21,5 < –21,25 với 6,5 ta được:

(–21,5) . 6,5 < (–21,25) . 6,5.

b) Ta có 5,15 > –5,25 và 3,6 > 0.

Nhân hai vế của bất đẳng thức

5,15 > –5,25 với 3,6 ta được:

2. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số âm

a) Tính chất

Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được một bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

b) Tổng quát

Với ba số a, b và c mà c < 0, ta có:

Nếu a < b thì ac > bc;

Nếu a ≤ b thì ac ≥ bc;

Nếu a > b thì ac < bc;

Nếu a ≥ b thì ac ≤ bc.

Ví dụ 2. Đặt dấu thích hợp (<, >, =) vào chỗ chấm:

Lời giải:

a) Ta có 48 > 45 và –12,5 < 0.

Nhân hai vế của bất đẳng thức

48 > 45 với (–12,5), ta được:

(–12,5) . 48 < (–12,5) . 45.

b) Ta có –5,5 < 6,25 và –11,2 < 0.

Nhân hai vế của bất đẳng thức

–5,5 < 6,25 với (–11,2), ta được:

(–5,5) . (–11,2) > 6,25 . (–11,2).

2. Tính chất bắc cầu của thứ tự

Tính chất bắc cầu: Với ba số a, b và c ta thấy nếu a < b và b < c thì a < c.

Trên trục số trên, a nằm bên trái b (a < b) và b nằm bên trái c (b < c) nên a nằm bên trái c (a < c).

Ví dụ 3. Cho a < b. Chứng minh a + 1 < b + 5.

Lời giải:

Cộng hai vế của bất đẳng thức a < b với 1, ta được:

a + 1 < b + 1.        (1)

Cộng hai vế của bất đẳng thức 1 < 5 với b, ta được:

b + 1 < b + 5.        (2)

Từ (1) và (2), theo tính chất bắc cầu, suy ra:

a + 1 < b + 5.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Số a là số âm, số 0 hay số dương nếu:

a) 10a > 2a;

b) −6b > 9b;

c) 8a ≤ 15a.

Lời giải:

a) Vì 10 > 2 mà 10a > 2a nên a là số dương;

b) Vì −6 < 9 mà −6a > 9a nên a là số âm;

c) Vì 8 < 15 mà 8a ≤ 15a nên a là số không âm (tức là a ≥ 0).

Bài 2. Đặt dấu thích hợp (<, >, =) vào chỗ chấm:

Lời giải:

a) Ta có 2,4 < 3,1 và 2,4 > 0.

Nhân hai vế của bất đẳng thức

2,4 < 3,1 với 5,12 ta được:

5,12 . 2,4 < 5,12 . 3,1.

b) Ta có 12,55 < 45 và –22 < 0.

Nhân hai vế của bất đẳng thức

12,55 < 45 với (–22), ta được:

(–22) . 12,55 > (–22) . 45.

Bài 3. Cho m > n, chứng minh:

a) m – 4 > n – 5;

b) 2m + 8 > 2n.

Lời giải:

a) Cộng hai vế của bất đẳng thức m > n với – 4, ta được:

m – 4 > n – 4.        (1)

Cộng hai vế của bất đẳng thức – 4 > – 5 với n, ta được:

n – 4 > n – 5.         (2)

Từ (1) và (2), theo tính chất bắc cầu, suy ra:

m – 4 > n – 5.

b) Nhân hai vế của bất đẳng thức m > n với 2, ta được: 2m > 2n.

Cộng hai vế của bất đẳng thức 2m > 2n với 8, ta được:

2m + 8 > 2n + 8.   (3)

Cộng hai vế của bất đẳng thức 8 > 0 với 2n, ta được:

2n + 8 > 2n.          (4)

Từ (3) và (4), theo tính chất bắc cầu, suy ra:

2m + 8 > 2n.

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 2: Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

Bài 1:

A. 2a + 1 < 2b + 5

B. 7 - 3b > 4 - 3b

C. a - b < 0

D. 2 - 3a < 2 - 3b

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

+ Vì a < b $\iff$ 2a < 2b

$\iff$ 2a + 1 < 2b + 1 < 2b + 5

hay 2a + 1 < 2b + 5 nên A đúng.

+ Vì a < b $\iff$ -3a > -3b

$\iff$ 7 - 3a > 7 - 3b > 4 - 3b

hay 7 - 3a > 4 - 3b nên B đúng.

+ Vì a < b $\iff$ a - b < b - b

$\iff$ a - b < 0 nên C đúng.

+ Vì a < b $\iff$ -3a > -3b

$\iff$ 2 - 3a > 2 - 3b nên D sai.

A. > 

B. <

C. =

D. Không đủ dữ kiện để so sánh

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

* Với a > b > 0 ta có:

+) a. a > a. b $\iff$ a² > ab

+) Ta có: a² > ab

$\Rightarrow$ a². a > a. ab $\iff$ a³ > a²b

Mà a > b > 0

$\Rightarrow$ ab > b. b $\iff$ ab > b²

$\Rightarrow$ ab. a > b². b $\Rightarrow$ a²b > b³.

 $\Rightarrow$a²b > b³ $\Rightarrow$ a³ > a²b > b³.

 $\Rightarrow$a³ > b³

Vậy a³ > b³.

Đáp án cần chọn là: A

Bài 3:

So sánh 2 số 2a + 2 và 2b + 4 nào dưới đây là đúng?

A. 2a +2 > 2b + 4

B. 2a + 2 < 2b + 4

C. 2a + 2 ≥ 2b + 4

D. 2a + 2 ≤ 2b + 4

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức

a + 1 ≤ b + 2 với 2 > 0 ta được

2(a + 1) ≤ 2(b + 2)

$\iff$ 2a + 2 ≤ 2b + 4.

Bài 4:

A. $\frac{{\text{a}}^{\text{2}}+{\text{b}}^{\text{2}}}{\text{2}}$ < ab

B. $\frac{{\text{a}}^{\text{2}}+{\text{b}}^{\text{2}}}{\text{2}}$ ≤ ab

C. $\frac{{\text{a}}^{\text{2}}+{\text{b}}^{\text{2}}}{\text{2}}$ ≥ ab

D. $\frac{{\text{a}}^{\text{2}}+{\text{b}}^{\text{2}}}{\text{2}}$ > ab

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Xét hiệu

P = $\frac{{\text{a}}^{\text{2}}+{\text{b}}^{\text{2}}}{\text{2}}$ - ab

=$\frac{{\text{a}}^{\text{2}}+{\text{b}}^{\text{2}}-\text{2ab}}{\text{2}}=\frac{{\text{(a}-\text{b)}}^{\text{2}}}{\text{2}}$  ≥ 0

(luôn đúng với mọi a, b)

Nên $\frac{{\text{a}}^{\text{2}}+{\text{b}}^{\text{2}}}{\text{2}}$ ≥ ab

Bài 5:

A. a² + b² + c² < ab + bc + ca

B. a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca

C. a² + b² + c² ≤ ab + bc + ca

D. Cả A, B, C đều sai

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

P = a² + b² + c² - (ab + bc + ca)

= $\frac{1}{2}$(2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2bc - 2ca)

=$\frac{1}{2}$ [(a² - 2ab + b²) + (a² - 2ac + c²) + (b² - 2bc - c²)]

=$\frac{1}{2}$ [(a - b)² + (a - c)² + (b - c)²] ≥ 0

với mọi a, b, c (vì (a - b)² ≥ 0;

(a - c)² ≥ 0; (b - c)² ≥ 0 với mọi a, b, c)

Nên P ≥ 0

$\iff$ a² + b² + c² ≥ ab + bc + ac.

Bài 6:

A. a² + b² < 2ab

B. a² + b² ≤ 2ab

C. a² + b² ≥ 2ab

D. a² + b² > 2ab

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Xét hiệu P = a² + b² - 2ab

= (a - b)² ≥ 0 (luôn đúng với mọi a, b)

Nên a² + b² > 2ab với mọi a, b.

Dấu “=” xảy ra khi a = b.

Bài 7:

So sánh 2 số 2a - 4 và 2b - 2 nào dưới đây là đúng?

A. 2a - 4 > 2b - 2

B. 2a - 4 < 2b - 2

C. 2a - 4 ≥ 2b - 2

D. 2a - 4 ≤ 2b - 2

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức

a - 2 ≤ b - 1 với 2 > 0 ta được:

2(a - 2) ≤ 2(b - 1)

$\iff$ 2a - 4 ≤ 2b - 2.

Bài 8:

So sánh x và y. Đáp án nào sau đây là đúng?

A. x < y

B. x > y

C. x ≤ y

D. x ≥ y

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Theo đề bài ta có: -2x + 3 < -2y + 3

 $\Rightarrow$-2x + 3 - 3 < -2y + 3 - 3

 $\Rightarrow$-2x < -2y

 $\Rightarrow$-2. $\left(-\frac{\text{1}}{\text{2}}\right)$x > -2.$\left(-\frac{\text{1}}{\text{2}}\right)$ y

 $\Rightarrow$x > y.

Bài 9:

So sánh x và y. Đáp án nào sau đây là đúng?

A. x < y

B. x > y

C. x = y

D. Không so sánh được

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Theo đề bài ta có: -3x - 1 < -3y - 1

 $\Rightarrow$-3x - 1 + 1 < -3y - 1 + 1

 $\Rightarrow$-3x < -3y

 $\Rightarrow$-3. $\left(-\frac{\text{1}}{\text{3}}\right)$x > -3. $\left(-\frac{\text{1}}{\text{3}}\right)$y

 $\Rightarrow$x > y.

Bài 10:

A. a³ + b³ - ab² - a²b < 0

B. a³ + b³ - ab² - a²b ≥ 0

C. a³ + b³ - ab² - a²b ≤ 0

D. a³ + b³ - ab² - a²b > 0

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có a³ + b³ - ab² - a²b

= a²(a - b) - b²(a - b)

= (a² - b²) (a - b)

= (a - b)(a + b)(a - b)

= (a - b)²(a + b) ≥ 0 (vì (a - b)² ≥ 0

với mọi a, b và a + b > 0 với a > 0, b > 0).