Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 8

Lý thuyết Toán 8 Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

Bài giảng Toán 8 Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

A. Lý thuyết

Khái niệm: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Phương pháp: Khi tất cả các số hạng của đa thức có một thừa số chung, ta đặt thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc () để làm nhân tử chung.

- Các số hạng bên trong dấu () có được bằng cách lấy số hạng của đa thức chia cho nhân tử chung.

Ví dụ 1:

a) x² – 3x = x.x – 3.x = x(x – 3).

b) (y + 3)² + 3(y + 3) = (y + 3).(y + 3) + 3.(y + 3) = (y + 3)(y + 3 + 3) = (y + 3)(y + 6).

Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử chung ta cần đổi dấu các hạng tử (lưu ý tới tính chất A = – (– A)).

Ví dụ 2:

3(x – y ) – 10x(y – x) = 3(x – y ) + 10x(x – y) = (x – y)(3 + 10x).

B. Bài tập tự luyện

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

a) 5x² – 10xy;

b) 14a²b² + 21ab³ – 7 a³b³;

c) 3(m – n²) + 2m(n² – m).

Lời giải:

a) 5x² – 10xy = 5x.x – 5x.2y = 5x(x – 2y).

b) 14a²b² + 21ab³ – 7 a³b³

= 7ab².2a + 7ab². 3b – 7ab².a²b

= 7ab²(2a + 3b – a²b).

c) 3(m – n²) + 2m(n² – m)

=  3(m – n²) – 2m(m – n²)

= (m – n²)(3 – 2m).

Bài 2: Tính giá trị biểu thức:

a) A = a(b + 2) – b(2 + b) tại a = 4; b = 2.

b) B = n² – 4n – m(n – 4) tại n = 2; m = 1.

c) C = xy (x + y) – 3x – 3y tại xy = 2; x + y = 3.

Lời giải:

a) A = a(b + 2) – b(2 + b)

A = a(b + 2) – b(b + 2)

A = (b + 2)(a – b)

Thay a = 4; b = 2 vào A ta được: A = (2 + 2)( 4 – 2) = 4.2 = 8.

b) B = n² – 4n – m(n – 4)

B = n(n – 4) – m(n – 4)

B = (n – 4)(n – m)

Thay n = 2; m = 1 vào B ta được: B = (2 – 4)(2 – 1) = – 2.

c) C = xy (x + y) – 3x – 3y

C = xy (x + y) – 3(x + y)

C = (x + y)( xy – 3)

Thay xy = 2; x + y = 3 vào C ta được: C = 3.( 2 – 3) = – 3.

Bài 3: Tìm x biết:

(x – 1)³ + (2 – x)(4 + 2x + x²) + 3x(x + 2) = 16.

Lời giải:

(x – 1)³ + (2 – x)(4 + 2x + x²) + 3x(x + 2) = 16

x³ – 3x² + 3x – 1 + 2³ – x³ + 3x² + 6x = 16

(x³ – x³) + (3x² – 3x²) + (3x + 6x) = 16 + 1 – 8

9x = 9

x = 1

Vậy x = 1.

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

Bài 1:

A. (x – 2)² – (2 – x)³ = (x – 2)²(x – 1)            

B. (x – 2)² – (2 – x) = (x – 2)(x – 1)

C. (x – 2)³ – (2 – x)² = (x – 2)²(3 – x)            

D. (x – 2)² + x – 2 = (x – 2)(x – 1)

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

+) Đáp án A:

(x – 2)² – (2 – x)³= (x – 2)² + (x – 2)³

= (x – 2)²(1 + x – 2)

= (x – 2)²(x – 1) nên A đúng.

+) Đáp án B:

(x – 2)² – (2 – x)

= (x – 2)² + (x – 2)

= (x – 2)(x – 2 + 1)

= (x – 2)(x – 1)

Nên B đúng

+) Đáp án C:

(x – 2)³ – (2 – x)²

= (x – 2)³ - (x – 2)²

= (x – 2)²(x – 2 – 1)

= (x – 2)²(x – 3) nên C sai.

+) Đáp án D:

(x – 2)² + x – 2

= (x – 2)(x – 2) + (x – 2)

= (x – 2)(x – 2 + 1)

= (x – 2)(x – 1)

Nên D đúng

Bài 2:

biểu thức 30(4 – 2x)² + 3x – 6 có thể là

A. x + 2                 

B. 3(x – 2)             

C. (x – 2)²             

D. (x + 2)²

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có

30(4 – 2x)² + 3x – 6

= 30(2x – 4)² + 3(x – 2)

= 30.2²(x – 2)² + 3(x – 2)

= 120(x – 2)² + 3(x – 2)

= 3(x – 2)(40(x – 2) + 1)

= 3(x – 2)(40x – 79)

Nhân tử chung có thể là 3(x – 2)

Bài 3:

Điền biểu thức thích hợp vào dấu …

A. 2a + b               

B. 1 + b                 

C. a² + ab              

D. a + b

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

ab(x – 5) – a²(5 – x)

= ab(x – 5) + a²(x – 5)

= (x – 5)(ab + a²)

= a(x – 5)(a + b)

Biểu thức cần điền vào dấu … là a + b

Bài 4:

thành nhân tử ta được

A. 3(x – 3y)²                              

B. (x – 3y)(3x + 9y)        

C. (x – 3y) + (3 – 9y)                

D. (x – 3y) + (3x – 9y)

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có

3x(x – 3y) + 9y(3y – x)

= 3x(x – 3y) – 9y(x – 3y)

= (x – 3y)(3x – 9y)

= (x – 3y).3(x – 3y)

= 3(x – 3y)²

Bài 5:

Khi đó B chia hết cho số nào dưới đây?

A. 151                   

B. 2¹²                     

C. 15                     

D. Cả A, B, C đều sai

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có

B = 8⁵ – 2¹¹ = (2³)⁵ – 2¹¹

= 2¹⁵ – 2¹¹ = 2¹¹.2⁴ – 2¹¹

= 2¹¹(2⁴ – 1) = 15.2¹¹

Vì 15 ⁝ 15

=> B = 15.2¹¹ ⁝ 15

Bài 6:

A. 5x(x – y) – (y – x) = (x – y)(5x + 1)         

B. 5x(x – y) – (y – x) = 5x(x – y)

C. 5x(x – y) – (y – x) = (x – y)(5x – 1)          

D. 5x(x – y) – (y – x) = (x + y)(5x – 1)

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có

5x(x – y) – (y – x)

= 5x(x – y) + (x – y)

= (x – y)(5x + 1)

Bài 7:

Điền biểu thức thích hợp vào dấu …

A. 3a² – b              

B. 3a²+ 4b             

C. 3a² – 4b            

D. 3a² + b

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

3a²(x + 1) – 4bx – 4b

= 3a²(x + 1) – (4bx + 4b)

= 3a²(x + 1) – 4b(x + 1)

= (x + 1)(3a² – 4b)

Vậy ta điền vào dấu … biểu thức 3a² – 4b

Bài 8:

Khi đó tổng trên chia hết cho số nào dưới đây?

A. 500                   

B. 201                   

C. 599                   

D. Cả A, B, C đều sai

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có

299² + 299.201

= 299.(299 + 201)

= 299.500 ⁝ 500

Bài 9:

Khi đặt nhân tử chung xⁿ ra ngoài thì nhân tử còn lại là

A. 4x² – 2              

B. 4x² – 8              

C. x² – 4                

D. x² – 2

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có

4xⁿ⁺² – 8xⁿ = 4xⁿ.x² – 8xⁿ

= xⁿ(4x² – 8)

Vậy khi đặt nhân tử chung xⁿ ra ngoài

ta được biểu thức còn lại là 4x² – 8

Bài 10:

Khi đó A chia hết cho số nào dưới đây với mọi n  N.

A. 2019                 

B. 2018                 

C. 2017                 

D. 2016

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có

A = 2019ⁿ⁺¹ – 2019ⁿ

= 2019ⁿ.2019 – 2019ⁿ

= 2019ⁿ(2019 – 1)

= 2019ⁿ.2018

Vì 2018 ⁝ 2018 => A ⁝ 2018 với mọi n  N.