Lý thuyết Trường hợp đồng dạng thứ ba (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 8

Lý thuyết Toán 8 Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ ba

Bài giảng Toán 8 Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ ba

A. Lý thuyết

1. Định lí

- Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

- Ví dụ 1. Cho tam giác ABC và các đường cao BH, CK. Chứng minh ∆ABH $\infty$ ∆ ACK.  

Lời giải:

Xét ∆ABH và ∆ACK có:

$\begin{array}{l}\hat{\mathrm{A}}\mathrm{chung}\\ \widehat{\mathrm{AHB}}=\widehat{\mathrm{AKC}}=90°\end{array}$

Suy ra: ∆ABH $\infty$ ∆ACK.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình bên, ABCD là hình thang (AB// CD) có AB = 12 cm; CD = 27cm $\widehat{\mathrm{DAB}}=\widehat{\mathrm{DBC}}$. Tính độ dài đoạn BD gần nhất bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Xét ∆ABD và ∆BDC có:

$\begin{array}{l}\widehat{\mathrm{BAD}}=\widehat{\mathrm{DBC}}\\ \widehat{\mathrm{ABD}}=\widehat{\mathrm{BDC}}\end{array}$

Suy ra: ∆ABD $\infty$ ∆BDC (g.g). 

$\Rightarrow \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BD}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}$hay

$\frac{12}{\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{x}}{27}\Rightarrow {\mathrm{x}}^2=12.27=324$

$\iff \mathrm{x}=18$

Vậy BD = 18cm.

Bài 2. Cho góc xOy khác góc bẹt. Trên tia Ox lấy 2 điểm A và B sao cho: OA = 5cm; OB = 16cm. Trên tia Oy, lấy hai điểm C và D sao cho OC = 8cm; OD =10cm.

a) Chứng minh ∆OCB $\infty$ ∆OAD.

b) Gọi I là giao điểm của các cạnh AD và BC. Chứng minh rằng ∆IBA $\infty$∆ IDC

Lời giải:

a) Xét ∆OCB và ∆ OAD có

$\begin{array}{l}\hat{\mathrm{O}}\mathrm{chung}\\ \frac{\mathrm{OC}}{\mathrm{OA}}=\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OD}}\left(\frac{8}{5}=\frac{16}{10}\right)\end{array}$

Suy ra: ∆OCB $\infty$∆OAD (c.g.c)

b)  Theo a ta có: ∆OCB $\infty$∆OAD

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{ADO}}=\widehat{\mathrm{CBO}}$ hay $\widehat{\mathrm{IDC}}=\widehat{\mathrm{IBA}}$ (1)

Mà $\widehat{\mathrm{CID}}=\widehat{\mathrm{AIB}}$ (vì đối đỉnh) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ∆IBA $\infty$ ∆IDC (g.g)

Bài 3. Tìm x, y trong hình vẽ sau:

Lời giải:

Xét ∆OAD và ∆OEC có:

$\widehat{\mathrm{AOD}}=\widehat{\mathrm{COE}}$ (hai góc đối đỉnh).

$\widehat{\mathrm{OAD}}=\widehat{\mathrm{OEC}}=90°$

Suy ra: ∆OAD $\infty$ ∆OEC (g.g)

$\Rightarrow \frac{\mathrm{OD}}{\mathrm{OC}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{EC}}\Rightarrow \frac{5}{6}=\frac{4}{\mathrm{x}}\Rightarrow \mathrm{x}=\frac{4.6}{5}=\frac{24}{5}$

Áp dụng định lý py ta go vào tam giác ADO có:

AO² = OD² – DA² = 9 nên AO = 3.

Khi đó; AC = AO + OC = 3 + 6 = 9

Xét ∆OAD và ∆BAC có:

$\widehat{\mathrm{ADO}}=\widehat{\mathrm{ACB}}$ (cùng phụ với góc $\hat{\mathrm{B}}$).

$\widehat{\mathrm{OAD}}=\widehat{\mathrm{BAC}}=90°$

Suy ra: ∆OAD $\infty$ ∆BAC (g.g)

$\Rightarrow \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{OD}}{\mathrm{BC}}\iff \frac{4}{9}=\frac{5}{\mathrm{BC}}\Rightarrow \mathrm{BC}=\frac{45}{4}$

Suy ra: $\mathrm{x}+\mathrm{y}=\frac{45}{4}\iff \frac{24}{5}+\mathrm{y}=\frac{45}{4}\Rightarrow \mathrm{y}=\frac{129}{20}$

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác

Bài 1:

A. 18cm

B. 20cm

C. 15cm

D. 9cm

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AB.

Tam giác ABD cân tại A 

Bài 2:

sao cho BM = $\frac{5}{13}$ BC. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại N. Độ dài MN là:

A. $\frac{12}{13}$

B. $\frac{45}{13}$

C. $\frac{40}{13}$

D. 12

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Pi-ta-go ta có:

BC² = AB² + AC²

=> BC² = 5² + 12² = 169

=> BC = 13

BM = BC = .13 = 5

=> CM = 13 - 5 = 8.

Xét ΔCMN và ΔCBA có:

N = A = 90⁰ (gt)

Góc C chung

=> ΔCMN ~ ΔCBA (g - g)

Bài 3:

có BC  BD, AB = 4cm, CD = 9cm. Độ dài BD là:

A. 8cm

B. 12cm

C. 9cm

D. 6cm

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Xét tam giác ABD và BDC có:

=> BD² = AB.CD = 4.9 = 36

=> BD = 6.

Bài 4:

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Bài 5:

A. x = 3

B.x = $\frac{27}{7}$

C. x = 4

D. x =$\frac{27}{5}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Xét ΔIPA và ΔITL ta có:

+) IPA = ITL = 90⁰

+) Góc TIL chung

=> ΔIPA ~ ΔITL (g - g)

=>$\frac{PA}{TL}=\frac{IA}{IL}\iff \frac{PA}{TL}=\frac{IA}{IA+AL}$

$\iff \frac{7}{10}=\frac{9}{9+x}$

$\iff x=\frac{27}{7}$

Bài 6:

A. 30cm

B. 20cm

C. 25cm

D. 15cm

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AB.

Tam giác ABD cân tại A 

Từ đó BC² = 25.36 suy ra BC = 5.6 = 30(cm)

Bài 7:

A.ΔABC ~ ΔFED

B. ΔACB ~ ΔFED

C. ΔABC ~ ΔDEF

D. ΔABC ~ ΔDFE

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Xét ΔABC có:  

 => ΔABC ~ ΔFED (g - g)

Bài 8:

1. Tam giác MBC đồng dạng với tam giác

A. MCK

B. MKC

C. KMC

D. CMK

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Tam giác ABC cân tại A 

Do đó ΔMBC ~ ΔMCK (g.g).

2. Tính MB.MK bằng

A. 2MC²

B. CA²

C. MC²

D. BC²

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Vì ΔMBC ~ ΔMCK nên $\frac{MC}{MK}=\frac{MB}{MC}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

Suy ra MC² = MB.MK

Bài 9:

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Vì AB // CD nên: $\widehat{ABD}=\widehat{BDC}$ (cặp góc so le trong)

Xét ΔADB và ΔBCD ta có:

$\widehat{ABD}=\widehat{BDC}$ (chứng minh trên)

$\widehat{ADB}=\widehat{BCD}$ (theo gt)

=> ΔADB ~ ΔBCD (g - g)

=> $\frac{AB}{BD}=\frac{DB}{CD}\iff \frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{CD}$

$\iff CD=\frac{\sqrt{5}.\sqrt{5}}{2}=\frac{5}{2}$ = 2,5 cm

Bài 10:

1. Chọn câu đúng.

A. ΔHBE ~ ΔHCD

B. ΔABD ~ ΔACE

C. Cả A, B đều đúng

D. Cả A, B đều sai

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

2. Chọn khẳng định sai.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Theo cmt ta có: ΔHBE ~ ΔHCD

Xét ΔHED và ΔHBC ta có:

Từ (1) và (2) ta có: $\widehat{HDE}=\widehat{HAE}$ nên A, B, C đúng, D sai.