SBT Toán 8 Bài 4: Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

Mục lục Giải SBT Toán 8 Bài 4: Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

Bài 13 trang 27 SBT Toán 8 Tập 1:Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

a) $\frac{25}{14x^{2}y};\frac{14}{21x{y}^5}$;

b) $\frac{11}{102x^{4}y};\frac{3}{34x{y}^3}$;

c) $\frac{3x+\text{\hspace{0.17em}}1}{12x{y}^4};\frac{y-2}{9x^2{y}^3}$;

d) $\frac{1}{6x^3{y}^2};\frac{x+\text{\hspace{0.17em}}1}{9x^2{y}^4};\frac{x-1}{4x{y}^3}$;

e) $\frac{3+\text{}2x}{10x^{4}y};\frac{5}{8x^2{y}^2};\frac{2}{3x{y}^5}$;

f) $\frac{4x-4}{2x(x+\text{}3)};\frac{x-3}{3x(x+1)}$;

g) $\frac{2x}{{(x+\text{}2)}^3};\frac{x-2}{2x{(x+2)}^2}$;

h) $\frac{5}{3x-_{3}12x};\frac{3}{(2x+4).(x+\text{}3)}$.

Lời giải:

a) Mẫu thức chung: 42x²y⁵

Ta có

$\frac{25}{14x^{2}y}=\frac{25.3y^4}{14x^{2}y.3y^4}=\frac{75y^4}{42x^2{y}^5}$

$\frac{14}{21x{y}^5}=\frac{14.2x}{21x{y}^5.2x}=\frac{28x}{42x^2{y}^5}$

b) Mẫu thức chung: 102x⁴y³

Ta có

$\frac{11}{102x^{4}y}=\frac{11y^2}{102x^{4}y.y^2}=\frac{11y^2}{102x^4{y}^3}$

$\frac{3}{34x{y}^3}=\frac{3.3x^3}{34x{y}^3.3x^3}=\frac{9x^3}{102x^4{y}^3}$

c) Mẫu thức chung: 36x²y⁴

Ta có

$\frac{3x+\text{\hspace{0.17em}}1}{12x{y}^4}=\frac{(3x+\text{\hspace{0.17em}}1).3x}{12x{y}^4.3x}=\frac{9x^2+\text{\hspace{0.17em}}3x}{36x^2{y}^4};$

$\frac{y-2}{9x^2{y}^3}=\frac{(y-2).4y}{9x^2{y}^3.4y}=\frac{4y^2-8y}{36x^2{y}^4}$

d) Mẫu thức chung: 36x³y⁴

Ta có

$\frac{1}{6x^3{y}^2}=\frac{1.6y^2}{6x^3{y}^2.6y^2}=\frac{6y^2}{36x^3{y}^4};$

$\frac{x+\text{\hspace{0.17em}}1}{9x^2{y}^4}=\text{\hspace{0.17em}}\frac{(x+\text{\hspace{0.17em}}1).4x}{9x^2{y}^4.4x}=\frac{4x^2+\text{\hspace{0.17em}}4x}{36x^3{y}^4};$

$\frac{x-1}{4x{y}^3}=\frac{(x-1).9xy_2}{4x{y}^3.9x^{2}y}=\frac{9x^{3}y-9x^{2}y}{36x^3{y}^4}$

e) Mẫu thức chung: 120x⁴y⁵

Ta có

$\frac{3+\text{}2x}{10x^{4}y}=\frac{(3+\text{}2x).12y^4}{10x^{4}y.12y^4}=\frac{36y^4+\text{}24x{y}^4}{120x^4{y}^5};$

$\frac{5}{8x^2{y}^2}=\frac{5.15x^2{y}^3}{8x^2{y}^2.15x^2{y}^3}=\frac{75x^2{y}^3}{120x^4{y}^5};$

$\frac{2}{3x{y}^5}=\frac{2.40x^3}{3x{y}^5.40x^3}=\frac{80x^3}{120x^4{y}^5}$

f) Mẫu thức chung: 3x(x + 3)(x + 1)

Ta có

$\begin{array}{l}\frac{4x-4}{2x(x+\text{}3)}=\frac{2(x-1)}{x(x+3)}\\ =\frac{2(x-1).3(x+\text{}1)}{x(x+\text{}3).3(x+\text{}1)}=\frac{6(\text{}{x}^2-1)}{3x(x+3)(x+\text{}1)};\end{array}$

$\begin{array}{l}\frac{x-3}{3x(x+1)}=\frac{(x-3)(x+\text{}3)}{3x(x+1).(x+\text{}3)}\\ =\frac{x^2-9}{3x(x+1).(x+\text{}3)}\end{array}$

g) Mẫu thức chung: 2x(x + 2)³

Ta có

$\frac{2x}{{(x+\text{}2)}^3}=\frac{2x.2x}{{(x+\text{}2)}^3.2x}=\frac{4x^2}{2x{\left(x+2\right)}^3};$

$\begin{array}{l}\frac{x-2}{2x{(x+2)}^2}=\frac{(x-2).(x+\text{}2)}{2x{(x+2)}^2.(x+\text{}2)}\\ =\frac{x^2-4}{2x{(x+\text{}2)}^3}\end{array}$

h) Ta có: 3x³ – 12x = 3x(x² – 4) = 3x(x – 2)(x + 2)

(2x + 4)(x + 3) = 2(x + 2)(x + 3)

Suy ra mẫu thức chung là 6x(x – 2)(x + 2)(x + 3)

$\begin{array}{l}\frac{5}{3x-_{3}12x}=\frac{5}{3x(x+\text{}2).(x-2)}\\ =\frac{\mathrm{5.2.}(x+\text{}3)}{3x(x+\text{}2).(x-2).2(x+\text{}3)}\\ =\frac{10(x+3)}{6x(x+2)(x-2).(x+3)}\end{array}$

$\begin{array}{l}\frac{3}{(2x+4).(x+\text{}3)}=\frac{3}{2(x+2).(x+\text{}3)}\\ =\frac{3.3x(x-2)}{2(x+2).(x+\text{}3).3x(x-2)}\\ =\frac{9x(x-2)}{6x(x+2)(x-2)(x+3)}\end{array}$

Bài 14 trang 27 SBT Toán 8 Tập 1: Quy đồng mẫu thức các phân thức:

a) $\frac{7x-1}{2x^2+\text{}6x};\frac{5-3x}{x^2-9}$

b) $\frac{x+\text{}1}{x-x^2};\frac{x+\text{}2}{2-4x+\text{}2x^2}$;

c) $\frac{4x^2-3x+\text{}5}{x^3-1};\frac{2x}{x^2+x+\text{}1};\frac{6}{x-1}$;

d) $\frac{7}{5x};\frac{4}{x-2y};\frac{x-y}{8y^2-2x^2}$;

e) $\frac{5x^2}{x^3+\text{}6x^2+\text{}12x+\text{}8};\frac{4x}{x^2+4\text{}x+4};\frac{3}{2x+\text{\hspace{0.17em}}4}$

Lời giải:

a) Ta có: 2x² + 6x = 2x(x + 3); x² – 9 = (x + 3)(x – 3)

Mẫu thức chung: 2x(x + 3)(x – 3)

$\frac{7x-1}{2x^2+\text{}6x}=\frac{7x-1}{2x(x+3)}=\frac{(\text{}7x-1).(x-3)}{2x(x+\text{}3).(x-3)};$

$\frac{5-3x}{x^2-9}=\frac{5-3x}{(x+\text{}3)(x-3)}=\frac{2x(5-3x)}{2x(x+\text{}3)(x-3)}$

b) Ta có: x – x² = x(1 – x); 2 – 4x + 2x² = 2(1 – 2x + x²) = 2(1 – x)²

Mẫu thức chung: 2x(1 – x)²

^{$\begin{array}{l}\frac{x+\text{}1}{x-x^2}=\frac{x+\text{\hspace{0.17em}}1}{x(1-x)}\\ =\frac{(x+\text{}1)\mathrm{.2.}(1-x)}{x(1-x).2(1-x)}=\frac{2(1-x^2)}{2x{(1-x)}^2};\end{array}$}

^{$\frac{x+\text{}2}{2-4x+\text{}2x^2}=\frac{x\text{}+2}{2{(1-x)}^2}=\frac{(x\text{}+2).x}{2x{(1-x)}^2}$}

c) Ta có: x³ – 1 = (x – 1)(x² + x + 1).

Mẫu thức chung: x³ – 1 = (x – 1)(x² + x + 1)

$\frac{4x^2-3x+\text{}5}{x^3-1}=\frac{4x^2-3x+\text{}5}{(x-1).(x^2+\text{\hspace{0.17em}}x+\text{}1)};$

$\frac{2x}{x^2+x+\text{}1}=\frac{2x.(x-1)}{(x^2+x+\text{\hspace{0.17em}}1).(x-1)};$

$\frac{6}{x-1}=\frac{6(x^2+\text{\hspace{0.17em}}x+\text{}1)}{(x-1).(x^2+\text{\hspace{0.17em}}x+\text{\hspace{0.17em}}1)}$

d) Ta có: 8y² – 2x² = 2(4y² – x²) = 2(2y + x)(2y – x)

Mẫu thức chung: 10x(2y + x)(2y – x)

$\begin{array}{l}\frac{7}{5x}=\frac{7.2(2y+x).(2y-x)}{5x.2(2y+x).(2y-x)}\\ =\frac{14(2y+x).(2y-x)}{10x(2y+x).(2y-x)};\end{array}$

$\begin{array}{l}\frac{4}{x-2y}=\frac{-4}{2y-x}=\frac{-40x(2y+\text{}x)}{10x(2y-x)(2y+x)}\\ =\frac{-4.10x(2y+\text{}x)}{(2y-x).10x(2y+x)}\\ =\frac{-40x(2y+\text{}x)}{10x(2y-x)(2y+x)};\end{array}$

$\begin{array}{l}\frac{x-y}{8y^2-2x^2}=\frac{x-y}{2(2y+\text{}x).(2y-x)}\\ =\frac{(x-y).5x}{2(2y+\text{}x).(2y-x).5x}\\ =\frac{5x(x-y)}{10x(2y+\text{}x).(2y-x)};\end{array}$

e) Ta có: x³ + 6x² + 12x + 8 = x³ + 3x².2 + 3.x.2² + 2³ = (x + 2)³

x² + 4x + 4 = (x + 2)²; 2x + 4 = 2(x + 2)

Mẫu thức chung: 2(x + 2)³

^{$\begin{array}{l}\frac{5x^2}{x^3+\text{\hspace{0.17em}}6x^2+\text{\hspace{0.17em}}12x+\text{}8}=\frac{5x^2}{{(x+\text{}2)}^3}\\ =\frac{5x^2.2}{{(x+\text{}2)}^3.2}=\frac{10x^2}{2{(x+\text{}2)}^3};\end{array}$}

^{$\begin{array}{l}\frac{4x}{x^2+\text{\hspace{0.17em}}4x+4}=\frac{4x}{{(x+2)}^2}\\ =\frac{4x\mathrm{.2.}(x+2)}{{(x+2)}^2.2(x+\text{}2)}=\frac{8x(x+2)}{2{(x+2)}^3};\end{array}$}

^{$\begin{array}{l}\frac{3}{2x+\text{\hspace{0.17em}}4}=\frac{3}{2(x+\text{}2)}\\ =\frac{3{(x+\text{}2)}^2}{2(x+\text{}2).{(x+\text{}2)}^2}=\frac{3{(x+\text{}2)}^2}{2{(x+\text{}2)}^3}\end{array}$}

Bài 15 trang 28 SBT Toán 8 Tập 1: Cho đa thức B = 2x³ + 3x² – 29x + 30 và hai phân thức $\frac{x}{2x^2+\text{}7x-15};\frac{x+\text{\hspace{0.17em}}2}{x^2+\text{\hspace{0.17em}}3x-10}$

a) Chia đa thức B cho các mẫu thức của hai phân thức đã cho

b) Quy đồng mẫu thức của hai phân thức đã cho.

Lời giải:

a) Ta có: B = 2x³ + 3x² – 29x + 30

Khi đó: B : (2x² + 7x – 15) = x – 2.

Khi đó: B : (x² + 3x – 10) = 2x – 3.

b) Mẫu thức chung: B = 2x³ + 3x² – 29x + 30 (vì theo câu a, B chia hết cho các mẫu thức của hai phân thức đã cho). Khi đó ta có:

$\begin{array}{l}\frac{x}{2x^2+\text{}7x-15}=\frac{x(x-2)}{(2x^2+\text{}7x-15)(x-2)}\\ =\frac{x^2-2x}{2x^3+3x^2-29x+30};\end{array}$

$\begin{array}{l}\frac{x+\text{\hspace{0.17em}}2}{x^2+\text{\hspace{0.17em}}3x-10}=\frac{(x+\text{\hspace{0.17em}}2)(2x-3)}{(x^2+\text{\hspace{0.17em}}3x-10)(2x-3)}\\ =\frac{2x^2-3x+\text{\hspace{0.17em}}4x-6}{2x^3+3x^2-29x+30}\\ =\frac{2x^2\text{\hspace{0.17em}}+x-6}{2x^3+3x^2-29x+30}\end{array}$

Bài 16 trang 28 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hai phân thức $\frac{1}{x^2-4x-5};\frac{2}{x^2-2x-3}$ . Chứng tỏ rằng có thể chọn đa thức x³ – 7x² + 7x + 15 làm mẫu thức chung để quy đồng mẫu thức của hai phân thức đã cho. Hãy quy đồng mẫu thức.

Lời giải:

Ta có:

Suy ra: x³ – 7x² + 7x + 15 = (x² – 4x – 5)(x – 3)

Lại có:

Suy ra: x³ – 7x² + 7x + 15 = (x² – 2x – 3)(x – 5)

Khi đó ta thấy rằng có thể chọn đa thức x³ – 7x² +7x + 15 làm mẫu thức chung để quy đồng hai phân thức đã cho.

Vậy

$\begin{array}{l}\frac{1}{x^2-4x-5}=\frac{1.(x-3)}{(x^2-4x-5).(x-3)}\\ =\frac{x-3}{x^3-7x^2+\text{\hspace{0.17em}}7x+\text{\hspace{0.17em}}15};\end{array}$

$\begin{array}{l}\frac{2}{x^2-2x-3}=\frac{2.(x-5)}{(x^2-2x-3).(x-5)}\\ =\frac{2(x-5)}{x^3-7x^2+\text{\hspace{0.17em}}7x+\text{\hspace{0.17em}}15}\end{array}$

Bài tập bổ sung