SBT Toán 8 Ôn tập chương 2 - Phần Hình học

Mục lục Giải SBT Toán 8 Ôn tập chương 2 - Phần Hình học

Bài 51 trang 166 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC với ba đường cao AA’, BB’, CC’. Gọi H là trực tâm của tam giác đó. Chứng minh rằng $\frac{HA\text{'}}{A\text{}A\text{'}}+\frac{HB\text{'}}{BB\text{'}}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\frac{HC\text{'}}{C\text{}C\text{'}}=1\text{}$

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}{S}_{HBC}=\frac{1}{2}HA\text{'}.BC;\\ S_{HAC}=\frac{1}{2}HB\text{'}.AC;\\ S_{HAB}=\frac{1}{2}HC\text{'}.AB;\\ S_{ABC}=\frac{1}{2}AA\text{'}.BC\\ =\frac{1}{2}BB\text{'}.AC\\ =\frac{1}{2}CC\text{'}.AB\end{array}$

Và  S_HBC + S_HAC + S_HAB = S_ABC

Bài 52 trang 166 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC.

a) Tính tỉ số đường cao BB’, CC’ xuất phát từ đỉnh B, C.

b) Tại sao nếu AB < AC thì BB' < CC’?

Lời giải:

a) Ta có: 

$\begin{array}{l}{S}_{ABC}=\frac{1}{2}BB\text{'}.AC\\ =\frac{1}{2}CC\text{'}.AB\end{array}$

Suy ra: BB'.AC = CC'.AB

Do đó, $\frac{BB\text{'}}{CC\text{'}}=\frac{AB}{AC}$.

b) Nếu AB < AC thì $\frac{AB}{AC}<\text{\hspace{0.17em}}1$

Mà theo a) $\frac{BB\text{'}}{CC\text{'}}=\frac{AB}{AC}$

Suy ra: $\frac{BB\text{'}}{CC\text{'}}<1$

Do đó, BB' < CC'.

Bài 53 trang 166 SBT Toán 8 Tập 1: Qua tâm O của hình vuông ABCD cạnh a, kẻ đường thẳng l cắt cạnh AB và CD lần lượt tại M và N. Biết MN = b. Hãy tính tổng các khoảng cách từ các đỉnh của hình vuông đến đường thẳng l theo a và b (a và b có cùng đơn vị đo).

Lời giải:

Gọi h₁ và h₂ là khoảng cách từ đỉnh B và đỉnh A đến đường thẳng l

Tổng khoảng cách là S.

Vì O là tâm đối xứng của hình vuông nên OM = ON (tính chất đối xứng tâm)

MN = b nên MO = NO = $\frac{b}{2}$

Suy ra AM = CN.

Mà: $\widehat{AMP}=\widehat{DNS}$ (đồng vị)

Và  (đối đỉnh)

Suy ra: $\widehat{DNS}=\widehat{C\text{}NR}$

Suy ra: ΔAPM = ΔCRN (cạnh huyền, góc nhọn)

⇒ CR = AP = h₂

Vì AM = CN ⇒ BM = DN

Và  $\widehat{BMQ}=\widehat{DNS}$ (so le trong)

Suy ra: ΔBQM = ΔDSN (cạnh huyền, góc nhọn)

⇒ DS = BQ = h₁

S_BOA = $\frac{1}{4}$S_ABCD = $\frac{1}{4}$a² (l)

S_BOA = S_BOM + S_AOM 

$\begin{array}{l}=\frac{1}{2}.\frac{b}{2}.h_1\text{}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{1}{2}.\frac{b}{2}.h_2\\ =\frac{b{h}_1+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}b{h}_2}{4}\\ =\frac{1}{4}.\left(h_1+h_2\right)b\end{array}$   (2)

Từ (1) và (2) suy ra

h₁ + h₂ = $\frac{a^2}{b}$

Vậy: S = 2(h₁ + h₂) = $\frac{2a^2}{b}$

Bài 54 trang 166 SBT Toán 8 Tập 1:Tam giác ABC có hai trung tuyến AM, BN vuông góc với nhau. Hãy tính diện tích tam giác đó theo AM và BN.

Lời giải:

Tứ giác ABMN có hai đường chéo vuông góc nên

S_ABMN = $\frac{1}{2}$AM.BN

Vì Δ ABM và Δ AMC có chung chiều cao kẻ từ A, cạnh đáy BM = MC nên:

S_ABM = S_AMC = $\frac{1}{2}$S_ABC

Vì ΔMNA và ΔMNC có chung chiều cao kẻ từ M, cạnh đáy AN = NC nên:

S_MAN = S_MNC = $\frac{1}{2}$S_AMC = $\frac{1}{4}$S_ABC

Ta có: S_ABMN = S_ABM + S_MNA 

= $\frac{1}{2}$S_ABC + $\frac{1}{4}$S_ABC = $\frac{3}{4}$S_ABC

Vậy S_ABC = $\frac{4}{3}$S_ABMN

= $\frac{4}{3}.\frac{1}{2}$.AM.BN

= $\frac{2}{3}$AM.BN.

Bài 55 trang 166 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi K và L là hai điểm thuộc BC sao cho BK = KL = LC. Tính tỉ số diện tích của:

a) Các tam giác DAC và DCK;

b) Tam giác DAC và tứ giác ADLB;

c) Các tứ giác ABKD và ABLD.

Lời giải:

a) Ta có: S_ACD = S_BCD = S_DAB 

= S_CAB = $\frac{1}{2}$S_ABCD (1)

ΔDCK và ΔDCB có chung chiều cao kẻ từ đỉnh D, cạnh đáy CK = $\frac{2}{3}$CB nên

S_DCK = $\frac{2}{3}$S_DBC (2)

Từ (1) và (2) ⇒ $S_{DCK}=\frac{2}{3}{S}_{DA\text{}C}$

$\Rightarrow \frac{S_{D\text{}C\text{}K}}{S_{D\text{}A\text{}C}}=\frac{2}{3}$

b) Ta có: S_ADLB = S_ADB + S_DLB

Vì ΔDBC và ΔDLB có chung chiều cao kẻ từ D, cạnh đáy LB = $\frac{2}{3}$BC

⇒ S_DLB = $\frac{2}{3}$S_DBC

Mà S_DAC = S_ADB = S_DBC (chứng minh trên)

Suy ra:

S_ADLB = S_DAC + $\frac{2}{3}$S_DAC 

= $\frac{5}{3}$S_DAC 

⇒  $\frac{S_{DA\text{}C}}{S_{ADLB}}=\frac{3}{5}$

c) Ta có: S_ABKD = S_ABD + S_DKB

Vì ΔDKB và ΔDCB có chung chiều cao kẻ từ D, cạnh đáy BK = $\frac{1}{3}$BC

⇒ S_DKB = $\frac{1}{3}$S_DCB

Mà S_DCB = S_DAC = S_ABD (chứng minh trên).

Bài 56 trang 166 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A và có BC = 2AB = 2a. Ở phía ngoài tam giác, ta vẽ hình vuông BCDE, tam giác đều ABF và tam giác đều AGC.

a) Tính các góc B, C, cạnh AC và diện tích tam giác ABC.

b) Chứng minh rằng FA vuông góc với BE và CG. Tính diện tích các tam giác FAG và FBE.

c) Tính diện tích tứ giác DEFG.

Lời giải:

a) Gọi M là trung điểm của BC, ta có:

AM = MB = BC = a (tính chất trung tuyến của tam giác vuông)

Suy ra MA = MB = AB = a.

Suy ra ΔAMB đều

⇒ $\widehat{ABC}$= 60^o

Mặt khác: $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}$ = 90° (tính chất tam giác vuông)

Suy ra: $\widehat{ACB}$ = 90^o - $\widehat{A\text{}BC}$

 = 90^o – 60^o = 30^o

Trong tam giác vuông ABC, theo Pi-ta-go, ta có:

BC² = AB²+ AC²

⇒ AC² = BC² - AB² 

= 4a² - a² = 3a² 

⇒ AC = $a\sqrt{3}$

Vậy S_ABC = $\frac{1}{2}$.AB.AC

$=\frac{1}{2}a.a\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$  ( đvdt).

b) Ta có: $\widehat{FAB}=\widehat{ABC}$ = 60^o

Do đó: FA // BC (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

Và BC ⊥ BE (vì BCDE là hình vuông)

Suy ra: FA ⊥ BE

Vì BC ⊥ CD (vì BCDE là hình vuông) và FA // BC

Suy ra: FA ⊥ CD

Gọi giao điểm BE và FA là H, FA và CD là K.

⇒ BH ⊥ FA và FH = HA = $\frac{a}{2}$ (tính chất tam giác đều)

Ta có:

$\widehat{ACG}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\widehat{ACB}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{BCD}$

 = 60^o + 30^o + 90^o = 180^o

⇒ G, C, D thẳng hàng

⇒ AK ⊥ CG và GK = KC $=\frac{1}{2}GC=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

S_FAG = $\frac{1}{2}$GK.AF

= $\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.a$

$=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ ( đvdt)

S_FBE = $\frac{1}{2}$FH.BE

= $\frac{1}{2}.\frac{a}{2}$.2a = $\frac{1}{2}$a² (đvdt)

c) S_BCDE = BC² = (2a)² = 4a² (dvdt)

Trong tam giác vuông BHA, theo Pi-ta-go, ta có:

AH² + BH² = AB²

⇒ BH² = AB² - AH² 

=$a^2-\frac{a^2}{4}=\frac{3a^2}{4}$

$\Rightarrow BH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

S_ABF = $\frac{1}{2}$BH.FA

=  $\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.a$

$=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ ( đvdt)

Trong tam giác vuông AKC, theo Pi-ta-go, ta có:

AC² = AK² + KC²

⇒ AK² = AC² - KC² 

$=3a^2-\frac{3a^2}{4}=\frac{9a^2}{4}$

$\Rightarrow AK=\frac{3a}{2}$

S_ACG = AK.CG

= $\frac{1}{2}.\frac{3a}{2}.a\sqrt{3}$

$=\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}$ ( đvdt)

Ta có:

S_DEFG = S_BCDE + S_FBE + S_FAB + S_FAG + S_ACG + S_ABC

Bài tập bổ sung